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1、1 选修 44坐标系与参数方程 1极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做 _，从 O 点引一条射线Ox，叫做 _，再选定一个 长度单位、一个角度单位(通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系 设 M 是平面内一点，极点O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的 _，记为 ，以极轴 Ox 为始边，射线OM 为终 边的角叫做点M 的极角，记为 .有序数对 ( ， )叫做点 M 的极坐标，记作M( ， ) (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的 长度单位，设M 是平面内任意一点，它
2、的直角坐标是(x，y)，极坐标为 ( ， )，则它们之间的关系为x_，y _. 另一种关系为 2_，tan _. 2简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 ( R)表示过极点且与极轴成角的直线； cos a表示过 (a,0)且垂直于极轴的直线； sin b 表示过b， 2 且平行于极轴的直线； sin( ) 1sin( 1)表示过 (1，1)且与极轴成角的直线方程 (2)圆的极坐标方程 2rcos 表示圆心在 (r,0)，半径为 |r|的圆； 2rsin 表示圆心在r， 2 ，半径为 |r |的圆； r 表示圆心在极点，半径为|r|的圆 3曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，如果
3、曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变量t 的函数 xf t ， yg t . 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的_，其 中变量 t 称为 _ 4一些常见曲线的参数方程 2 (1)过点 P0(x0，y0)，且倾斜角为的直线的参数方程为_( t 为参数 ) (2)圆的方程 (xa) 2(yb)2r2 的参数方程为_(为参数 ) (3)椭圆方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的参数方程为 _(为参数 ) (4)抛物线方程y 22px(p0)的参数方程为 _(t 为参数 ) 1在极坐标系中，直线 sin( 4)2 被圆 4 截得的弦长
4、为 _ 2极坐标方程 sin 2cos 能表示的曲线的直角坐标方程为_ 3已知点P(3， m)在以点 F 为焦点的抛物线 x4t 2， y4t (t 为参数 )上，则 PF_. 4直线 x 1tsin 40， y 3tcos 40 (t 为参数 )的倾斜角为 _ 5已知曲线C 的参数方程是 x3t， y2t 2 1 (t 为参数 )则点 M1(0,1)，M2(5,4) 在曲线 C 上的是 _ 题型一极坐标与直角坐标的互化 例 1在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C 的极坐标方程为 cos( 3) 1，M，N 分别为 C 与 x轴、 y 轴的交点 (1)
5、写出 C 的直角坐标方程，并求M、N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为P，求直线OP 的极坐标方程 思维升华直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x cos 及 y sin 直接代入并化简即可；而极坐标方程 化为直角坐标方程要通过变形，构造形如 cos ， sin ， 2 的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同 除以 )及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检 3 验 在极坐标系中，已知圆 2cos 与直线 3 cos 4 sin a0 相切，求实数a 的值 题型二参数方程与普通方程的互化 例 2已知两曲线参数方程分别为 x5co
6、s ， ysin (0 )和 x5 4t 2， yt (tR)，求它们的交点坐标 思维升华(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等对于与角 有 关的参数方程，经常用到的公式有sin 2 cos 2 1,1 tan2 1 cos 2等 (2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普 通方程与参数方程的等价性 将下列参数方程化为普通方程 (1) x 2t 2 1t 2， y 42t 2 1t 2 (t 为参数 )； (2) x2 4cos 2 ， y 1sin 2 (为参数 ) 题型三极坐标、参数方
7、程的综合应用 例 3在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C 的极坐标方程是 4 4cos ，直线 l 的参数方程是 x 3 3 2 t， y 1 2t (t 为参数 )，M，N 分别为曲线C、直线 l 上的动点，求MN 的最 小值 思维升华涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解转 化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用 (2013 辽宁 )在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线 C2的 极坐标方程分别为 4sin ， cos 4 2 2. (1
8、)求 C1与 C2交点的极坐标； (2)设 P 为 C1的圆心， Q 为 C1与 C2交点连线的中点 已知直线 PQ 的参数方程为 xt 3a， y b 2t 31 (tR 为参数 )， 求 a， b 的值 参数的几何意义不明致误 典例： (10 分)已知直线l 的参数方程为 x 1 2t， y 2 2 3 2 t (t 为参数 )，若以直角坐标系xOy 的 O 点为极点， Ox 方向为 极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为 2cos( 4) (1)求直线 l 的倾斜角； (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求AB. 易错分析不明确直线的参数方程中的几何
9、意义导致错误 规范解答 5 解(1)直线的参数方程可以化为 xtcos 60 ， y 2 2 tsin 60 ， 2 分 根据直线参数方程的意义，直线l 经过点 (0， 2 2 )， 倾斜角为60 .4 分 (2)直线 l 的直角坐标方程为y3x 2 2 ，6 分 2cos( 4)的直角坐标方程为 (x 2 2 ) 2(y 2 2 ) 21，8 分 所以圆心 ( 2 2 ， 2 2 )到直线 l 的距离 d 6 4 . 所以 AB 10 2 .10 分 温馨提醒对于直线的参数方程 x x0tcos ， y y0tsin (t 为参数 )来说，要注意t 是参数，而则是直线的倾斜角 与此类似，椭圆
10、参数方程 xacos ， ybsin 的参数 有特别的几何意义，它表示离心角 6 方法与技巧 1曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式 cos x， sin y， 2x2 y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以 等 2参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2 sin 2 1,1tan 2 1 cos 2 . 3利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法 失误与防范 1极径 是一个距离，所以 0，但有时可以小于零极角 规定逆时针方向为正，极
11、坐标与平面直角坐标不 同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定 0,0 2 ，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一 对应的，但仍然不包括极点 2在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普 通方程与参数方程的等价性 A 组专项基础训练 1(2013 江苏 )在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 xt1， y2t (t 为参数 )，曲线C 的参数方程为 x 2tan 2 ， y 2tan ( 为参数 )试求直线l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标 2已知曲线C 的参数方程为 xsin ， ycos 2
12、 ， 0,2 )，曲线 D 的极坐标方程为 sin( 4) 2. (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程； 7 (2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点？试说明理由 3(2013 福建 )在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标 为(2， 4)，直线 l 的极坐标方程为 cos( 4)a，且点 A 在直线 l 上 (1)求 a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆 C 的参数方程为 x1cos ， ysin (为参数 )，试判断直线l 与圆 C 的位置关系 4在极坐标系中，P 是曲线 12sin 上的动点， Q 是曲线 12cos 6
13、上的动点，试求PQ 的最大值 8 5在极坐标系中，已知三点M 2， 3 、N(2,0)、P 2 3， 6 . (1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上 6在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 x 1 2x， y 1 3y 后，曲线C：x2y236 变为何种曲线，并求曲线的焦 点坐标 B 组专项能力提升 1在极坐标系中，已知圆O： cos sin 和直线 l： sin( 4) 2 2 . (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 (0，)时，求直线l 与圆 O 公共点的极坐标 9 2已知圆O1和圆 O2的极坐标方程分别为 2，
14、22 2 cos( 4) 2. (1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 3(2013 课标全国 )已知曲线C1的参数方程为 x45cos t， y55sin t (t 为参数 )，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 2sin . (1)把 C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1与 C2交点的极坐标 ( 0,0 2) 4(2012 辽宁 )在直角坐标系xOy 中，圆 C1：x 2y24，圆 C 2：(x2) 2y24. (1)在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C
15、1，C2的极坐标方程，并求出圆 C1，C2的交点坐 10 标(用极坐标表示 )； (2)求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程 11 答案 要点梳理 1(1)极点极轴极径 (2) cos sin x 2y2y x 3参数方程参数 4(1) x x0 tcos y y0 tsin (2) xa rcos yb rsin (3) xacos ybsin (4) x2pt 2 y2pt 夯基释疑 14 32.x 2y22xy0 3.44.50 5.M1 题型分类 深度剖析 例 1解(1)由 cos( 3)1 得 (1 2cos 3 2 sin )1. 从而 C 的直角坐标方程为 1 2x 3 2 y1
16、，即 x3y2. 当 0 时， 2，所以 M(2,0) 当 2时， 2 3 3 ，所以 N(2 3 3 ， 2) (2)M 点的直角坐标为(2,0) N 点的直角坐标为(0， 2 3 3 ) 所以 P 点的直角坐标为(1， 3 3 ) 则 P 点的极坐标为(2 3 3 ， 6)， 所以直线 OP 的极坐标方程为 6( R) 跟踪训练1解将极坐标方程化为直角坐标方程， 得圆的方程为x 2 y2 2x，即 (x1)2 y2 1， 直线的方程为3x4ya0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 12 即有 |3 140a| 3 242 1，解得 a 8 或 a2. 故 a 的值为 8 或 2
17、. 例 2解将两曲线的参数方程化为普通方程分别为 x 2 5 y 21 (0y1， 5x5)和 y 24 5x，联立解得交点为 1， 2 5 5 . 跟踪训练2解(1)x 2t 2 1t 2， y 42t 2 1t 2 4 1t 2 6t 2 1t 2 43 2t 2 1t 243x. 又 x 2t 2 1t 2 2 1t 2 2 1t 2 2 2 1t 20,2) x0,2) 所求的普通方程为3xy40(x0,2) (2)4cos 2 2x,4sin2 4(y1) 4cos 2 4sin2 2x4y4. 4yx20. 04cos 2 4，02x4， 2x2. 所求的普通方程为x 4y20(x
18、2,2) 例 3解化极坐标方程 4cos 为直角坐标方程x2y24x0， 所以曲线 C 是以 (2,0)为圆心， 2 为半径的圆 化参数方程 x 3 3 2 t， y 1 2t (t 为参数 )为普通方程x3y 30. 圆心到直线l 的距离 d |23| 13 5 2， 此时，直线与圆相离， 所以 MN 的最小值为 5 22 1 2. 13 跟踪训练3解(1)圆 C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线 C2的直角坐标方程为xy4 0. 解 x 2 y224， xy 40， 得 x10， y14， x22， y22. 所以 C1与 C2交点的极坐标为4， 2 ， 2 2， 4 ， 注：极坐标
19、系下点的表示不唯一 (2)由(1)可得， P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3) 故直线 PQ 的直角坐标方程为xy20， 由参数方程可得y b 2x ab 2 1， 所以 b 21， ab 2 12， 解得 a 1，b2. 练出高分 A 组 1解因为直线l 的参数方程为 xt1， y2t (t 为参数 )， 由 xt1 得 tx1，代入 y2t，得到直线l 的普通方程为2xy2 0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 22x. 联立方程组 y2 x1 ， y 22x， 解得公共点的坐标为(2,2)， 1 2， 1 . 2解(1)由 xsin ， ycos 2 ， 0,2 )得
20、x 2y1，x1,1 (2)由 sin( 4) 2得曲线 D 的普通方程为 xy20. 14 xy20， x 2y1 得 x 2x30. 解得 x 1 13 2 ?1,1， 故曲线 C 与曲线 D 无公共点 3解(1)由点 A(2， 4)在直线 cos( 4)a 上，可得 a2. 所以直线l 的方程可化为 cos sin 2， 从而直线l 的直角坐标方程为xy20. (2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x1) 2y21， 所以圆 C 的圆心为 (1,0)，半径 r1， 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d 1 2 2 2 1， 所以直线l 与圆 C 相交 4解 12sin ， 212 sin
21、 ， x 2y2 12y0，即 x 2 (y 6)236. 又 12cos 6 ， 2 12cos cos 6sin sin 6 ， x2y26 3x6y0， (x33)2(y 3)236， PQmax 6633 232 18. 5解(1)由公式 x cos ， y sin 得 M 的直角坐标为(1，3)； N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3) (2)kMN 3 21 3，kNP 30 32 3. kMNkNP，M、N、P 三点在一条直线上 6解圆 x 2y236 上任一点为 P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)，则 x2x， y3y， 15 4x 29y23
22、6，即x 2 9 y 2 4 1. 曲线 C 在伸缩变换后得椭圆 x 2 9 y 2 4 1，其焦点坐标为( 5，0) B 组 1解(1)圆 O： cos sin ，即 2 cos sin ， 圆 O 的直角坐标方程为x 2y2 xy， 即 x 2y2x y0， 直线 l： sin( 4) 2 2 ，即 sin cos 1， 则直线 l 的直角坐标方程为yx 1， 即 xy10. (2)由 x 2 y2 xy0， xy1 0 得 x0， y1， 故直线 l 与圆 O 公共点的极坐标为(1， 2) 2解(1)由 2 知 24，所以 x2y24； 因为 22 2 cos( 4)2， 所以 22 2
23、 (cos cos 4sin sin 4)2， 所以 x 2y22x2y20. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为xy1. 化为极坐标方程为 cos sin 1， 即 sin( 4) 2 2 . 3解(1)C1的参数方程为 x45cos t y55sin t . 5cos tx4 5sin ty5 . (x4) 2(y5)2 25(cos2t sin2t)25， 16 即 C1的直角坐标方程为(x4) 2(y5)225， 把 x cos ， y sin 代入 (x 4) 2(y5)2 25， 化简得： 28 cos 10 sin 160. (2)C2的直角坐标方程为x
24、 2 y22y， 解方程组 x4 2 y5225 x 2 y22y 得 x1 y1 或 x0 y2 . C1与 C2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2) C1与 C2交点的极坐标为2， 4 ， 2， 2 . 4解(1)圆 C1的极坐标方程为 2， 圆 C2的极坐标方程为 4cos . 解 2， 4cos 得 2， 3， 故圆 C1与圆 C2交点的坐标为2， 3 ， 2， 3 . 注：极坐标系下点的表示不唯一 (2)方法一由 x cos ， y sin 得圆 C1与 C2交点的直角坐标分别为(1，3)， (1，3) 故圆 C1与 C2的公共弦的参数方程为 x1， yt， 3t3. 或参数方程写成 x1， yy， 3y3 方法二将 x1 代入 x cos ， y sin 得 cos 1，从而 1 cos .于是圆 C1与 C2的公共弦的参数方程为 x1， ytan ， 3 3.