2013年北京市数学中考一、二模拟题分类汇编：代几综合.pdf

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1、代几综合 1. （ 2013. 昌平一模25）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C在x轴上 ，点A，E在y 轴上，OBOC=13，AE=7，且 tan OCE=3，tan ABO=2. （1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）点D在（ 1）中的抛物线上，四边形ABCD是以BC为一底边的梯形，求经过B、D 两点的一次函数解析式； （3）在（ 2）的条件下，过点D作直线DQy轴交线段CE于点Q，在抛物线上是否存 在点P，使直线PQ与坐标轴 相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. OC E A B x y 2. （2013. 朝阳一模2

2、5）如图，二次函数y=ax 2+2ax+4 的图象与 x轴交于点A、B，与y轴交 于点C，CBO的正切值是2 ( 1) 求此二次函数的解析式 (2) 动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止 运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点 直接写出点P所经过的路线长 点D与B、C不重合时，过点D作DEAC于点E、作DFAB于点F，连接PE、PF， 在旋转过程中，EPF的大小是否发生变化？若不变，求EPF 的度数；若变化， 请说明理由 在的条件下，连接EF，求EF的最小值 y xBA C O 3. （ 2013. 大兴一模25）小明同学在研究某条抛物线 2( 0

3、)yaxa的性质时，将一把直角 三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两 点，请你帮小明解答以下问题： （1）若测得 2 2OAOB（如图 1），求a的值； （2） 对同一条抛物线， 小明将三角板绕点O旋转到 如图 2 所示位置时， 过B作BFx 轴于点F，测得1OF， 写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标 ； （3）对该抛物线，小明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B所连 的 线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标 4.（ 2013. 东城一模25）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 22 29yxmxm与x轴交 于A，B两点（点A在

4、点B的左侧，且OAOB），与y轴的交点坐标为（0，-5 ） . 点M 是线段AB上的任意一点，过点M（a，0）作直线MCx轴，交抛物线于点C，记点C关 于抛物线对称轴的对称点为D（C，D不重合），点P是线段MC上一点，连结CD，BD， PD. （1）求此抛物线的解析式； （2）当1a时，问点P在什么位置时，能使得PDBD； （3）若点P满足 1 4 MPMC，作PEPD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得 PE=PD，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. A B x O C y 5. （2013. 房山一模25）已知：半径为1的 O1与x轴交A、B两点，圆心O1的坐标为（ 2,

5、0) ，二次函数 2 yxbxc 的图象经过A、B两点，与y轴交于点C （1）求这个二次函数的解析式； （2）经过坐标原点O的直线l与 O1相切，求直线l的解析式； （3）若M为二次函数 2 yxbxc 的图象上一点，且横坐标为2，点P是x轴上的 任意一点， 分别联结 BC、BM试判断PCPM与BCBM的大小关系， 并说明理由 . （ 第 25 题图） 6.（ 2013. 丰台一模25）如图，在平面直角坐标系xOy中，C的圆心坐标为（2， 2）， 半径为2函数yx2 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为直线AB 上一动点 （1）若POA是等 腰三角形，且点P不与点A、B重合，直接写出点

6、P的坐标； （2）当直线PO与C相 切时，求POA的度数； （3）当直线PO与C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令POt，MO s，求s与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围 7. （ 2013. 海淀一模25）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 22 2yxmxmm的顶点 为C. （1）求点C的坐标（用含m的代数式表示） ； （2）直线2yx与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧. 若P为直线OC上一动点，求 APB的面积； 抛物线的对称轴与直线 AB交于点M ，作点B关于直线MC的对称点 B. 以M 为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得 2 2 QBQB的值最小

7、，则这个最小值 为 . 8. （2013. 怀柔一模25） 已知二次函数 2 yaxbx c （ 0a） 的图象经过点(10)A ，(2 0)B， (02)C，直线 xm（2m）与x轴交于点D （1）求二次函数的解析式； （2）在直线xm（2m）上有一点E（点E在第四象限），使得EDB、为顶点 的三角形与以AOC、为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（ 2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四 边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由 9.（2013. 门头沟一模25）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 y

8、xbx c与 x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C，顶点为D，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点 F，且点B的坐标为（ 3，0），点E的坐标为（ 2，3） （1）求抛物线的解析式； （2）若点G为抛物线对称轴上的一个动点，H为x轴上一点，当以点C、G、H、F四点 所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G、H的坐标； （3）设直线AE与抛物线对称轴的交点为P，M为直线AE上的任意一点，过点M作MN PD交抛物线于点N，以P、D、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？ 若能，请求点M的坐标；若不能，请说明理由 x y 1 1 O 10. （2013. 密云一模25）如图，经过原点的

9、抛物线 2 2(0)yxmx m与x轴的另一个 交点为 A.过点(1,)Pm作直线PMx轴于点 M ，交抛物线于点B.记点 B关于抛物线对 称轴的对称点为C（B、C不重合） . 连结 CB,CP 。 （1）当3m时，求点A的坐标及 BC的长； （2）当1m时，连结CA ，问m为何值时CACP？ （3）过点 P作PEPC且PEPC，问是否存在m，使得点 E落在坐标轴上？若存 在，求出所 有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由. x y 第24 题图 M C B A o P 11. （2013. 平谷一模25）如图 1，在直角坐标系中，已知直线 1 1 2 yx与y轴交于

10、点A， 与x轴交于点B，以线段BC为边向上作正方形ABCD. （1）点C的坐标为（），点D的坐标为（）； （2）若抛物线 2 2(0)yaxbxa经过C、D两点， 求该抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线 BA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时， 正方形停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y轴 右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式， 并写出相应自变量t的取值范围 . 图 1 O D A y C x B(E) F J 12. （2013. 石景山一模25）如图，把两个全等的RtAOB和 RtECD分别置于平面直角坐 标系xOy中，使点E与点B

11、重合，直角边OB、BC在y轴上已知点D (4 ， 2) ，过A、D 两点的直线交y轴于点F若ECD沿DA方向以每秒2个单位长度的速度匀速平移， 设平移的时间为t（秒） ，记ECD在平移过程中某时刻为E C D，E D与AB交 于点M，与y轴交于点N，C D与AB交于点Q，与y轴交于点P( 注：平移过程中，点 D始终在线段DA上，且不与点A重合 ). （1）求直线AD的函数解析式； （2）试探究在ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出 这个最大值及 t的取值；若不存在，请说明理由； （3）以MN为边，在E D的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH与坐标轴有两个公共

12、点时t的取值范围 13. （2013. 西城一模25）如图 1，在平面直角坐标系xOy中，直线l： 3 4 yxm与x轴、 y轴分别交于点A和点B(0,-1)，抛物线 21 2 yxbxc经过点B，且与直线l的另 一个交点为C(4,n) (1) 求n的值和抛物线的解析式； (2) 点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（00,舍去） 综上所述，当m=2时，点 E的坐标是（ 2,0 ）或（ 0,4 ）； 当 m=2 3 时，点 E的坐标是（ 4 3 ,0 ） 11. （2013. 平谷一模25）解：（ 1）C（3，2），D（1，32 分 （2）抛物线经过（1，3）、（3， 2），则 9322 23.

13、 ab ab 解得 1 2 3 . 2 a b 2 2 3 2 1 2 xxy . 3 分 （3）当点D运动到y轴上时，t= 1 2 . 4 分 0t 2 1 时，如图1DA交y轴于点E. tanBAO= OB OA =2,又BAO=EAA tanEAA=2, 即 EA AA =2 AA=5t, EA = 2 5t . SEA A 2 1 AAEA=5 2 1 t52t=5 t 25 分 当点B运动到点A时，t=1.6 分 当 2 1 t1 时，如图2 DC交y轴于点G，过G作GHAB于H. RtAOB中，AB=512 22 GH=5,AH= 2 1 GH= 2 5 AA=5t, HA=5t

14、2 5 ,GD=5t 2 5 . S梯形 AA D G 2 1 (5t 2 5 +5t) 5=5t 4 5 7分 图 2 图 1 当点C运动到y轴上时，t= 2 3 . 当 1t 2 3 时，如右图所示 设CD、CB分别交y轴于点M、N AA=5t，AB=5, AB=5t 5,BN=2AB=52t 52 BC=5, CN=BCBN=5352t C M = 2 1 CN= 2 1 (5352t) C MN S = 2 1 (5352t) 2 1 (5352t)=5t 215t + 4 45 S五边形 BA D MN=S正方形 B AD CSMNC= 2 )5(5t 215t + 4 45 )=5

15、t 2+15t 4 25 综上所述，S与x的函数关系式为：当0t 2 1 时 , S=5 2 t 当 2 1 t1 时，S=5t 4 5 当 1t 2 3 时，S=5t 2+15t 4 25 8 分 12. （2013. 石景山一模25）解： （1）由题意 A(2.0) 1 分 由D(4,2), 可得直线AD解析式：2xy2 分 由B(0 ， 4) ， 可得直线AB解析式：42xy，直线BD解析式：4 2 1 xy，J（21 ，）. （2）在ECD平移t秒时，由CDF=45， 可得D （tt 24，） ，N（t 2 3 40，） 设直线ED 解析式为： 13 4 22 yxt 可得M(tt24

16、,) ，3 分 Q（t t 2 2 2 ，） ，P（t20，） 由MQ D BJD, 得 2 ) 3 2 3 3 t S S BJD MQD （，可得 SMQD 2 ) 2 1 1(3t4 分 S梯形 EC PNtttt2 4 1 ) 2 1 22( 2 1 2 5 分 S四边形 MNPQ= S EC D SMQD S梯形 EC PN 2 3 )1( 2 1 1 2 1 2 2 t tt 当1t时,S最大= 2 3 6 分 （3）当点H在x轴上时，有M(tt24,) 横纵坐标相等 即tt24 3 4 t 3 4 0t. 8 分 13. （2013. 西城一模25）解：（ 1）直线l： 3 4

17、yxm经过点 B（0， 1）， 1m. 直线l的解析式为 3 1 4 yx. 直线l： 3 1 4 yx经过点C（4，n）， 3 412 4 n. 1 分 抛 物线 21 2 yxbxc经过点 C（ 4，2）和点B（0， 1）， 2 1 244, 2 1. bc c 解得 5 , 4 1. b c 抛物线的解析式为 2 15 1 24 yxx. 2 分 （2）直线l： 3 1 4 yx与x轴交于点A， 点A的坐标为（ 4 3 ，0）. OA= 4 3 . 在 RtOAB中，OB=1， AB= 22 OAOB= 22 45 ( )1 33 . DEy轴， OBA=FED. 矩形DFEG中，DFE

18、=90， DFE=AOB=90 . OABFDE. OAOBAB FDFEDE . 4 5 OA FDDEDE AB ， 3 5 OB FEDEDE AB . 4 分 p=2(FD+ FE)= 4314 2() 555 DEDE. D（t， 2 15 1 24 tt），E（t， 3 1 4 t），且04t， 22 3151 (1)(1)2 4242 DEttttt. 22141728 (2 ) 5255 ptttt. 5 分 2 728 (2) 55 pt，且 7 0 5 ， 当2t时，p有最大值 28 5 . 6 分 （3）点A1的横坐标为 3 4 或 7 12 . 8 分 说明：两种情况参看图9 和图 10，其中O1B1与x轴平行，O1A1与y轴平行 . F G y x O B A D C E l 图 8 图 9 图 10 B 1 O 1 A 1 l C A B O x y y x O B A C l A 1 O 1 B 1