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1、延庆县 20142015 学年度第一学期期末考试 高二数学（文科） 2015.1 本试卷共4 页，满分150 分，考试时间120 分钟 . 一、填空题： （本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分. 把答案填在答题卡内） 1. 点)2, 1(P到直线052yx的距离d . 2. 双曲线1 1625 22 yx 的渐近线方程是 . 3. 已知函数 x xf 1 )(，则)1(f . 4. 已知三点)1, 1(A，)3,(xB，)5 ,4(C共线，则实数x . 5. 已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积 是 .注： 2 4 RS 球 （R为球的
2、半径） 6. 抛物线xy4 2 上一点P和焦点F的距离等于5， 则点P的坐标是 . 7. 某几何体的三视图如右图所示， 则它的体积是 8. 设Rba,，若直线0byax与直线013yx垂直，则实数a . 9. 过点)3,3(与圆034 22 xyx相切的直线方程为 . 10. 如图，正方体 1111 DCBAABCD的棱长为1， 线段 11D B上有两个动点FE,，且1EF， 则四面体EFBA的体积V . 二、选择题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，把答案涂在答题卡上. 11. 下列命题错误 的是 A已知直线ba /，且cb
3、 /，则ca/ B已知直线/a平面，且直线/b平面，则ba / C已知直线/a平面，过平面内一点作ab /，则b D过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内 12. 已知两圆04 22 xyx和086 22 xyx，则两圆的位置关系为 A.相交 B. 外切 C. 内切 D.相离 13. 从椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点P向x轴作垂线 , 垂足恰为右焦点 2 F,A是椭圆与x轴负半 轴的交点 ,B是椭圆与y轴正半轴的交点, 且/ /ABOP(O是坐标原点 ), 则该椭圆的离心率是 A 2 4 B 1 2 C 3 2 D 2 2 14. 设 点)
4、,(yxP, 则 “0x且1y” 是 “ 点P在 直 线01:yxl上 ” 的 （ ） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 15. 已知函数cbxaxxxf 23 )(的导函数)(xfy的图像如图所示，给出下列三个结论： 1 )(xf的单调递减区间是)3 ,1 (； 2函数 )(xf在1x处取得极小值； 3 9,6 ba. 正确的结论是 A. 13 B. 12 C. 23 D. 123 16. 曲线xxy3 3 过点)2, 1(的切线条数为 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或
5、演算步骤. 17. （本小题满分12 分） 已知函数44 3 1 )( 3 xxxf. （）求函数的极值； （）求函数在区间4,3上的最大值和最小值. 18. （本小题满分10 分） 已知在空间四边形ABCD中，BDBCADAC,， 且FE,分别是ADCD,的中点 . （）求证：/EF平面ABC； （）求证：ABCD. 19. （本小题满分12 分） 已知以点P为圆心的圆经过点)1 , 1(A和)3 , 1(B，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且 4|CD. （）求直线CD的方程； （）求圆P的方程 . 20. （本小题满分12 分） 如图，在四棱锥DCBEA中，BCAC， 底面DCBE
6、为平行四边形，DC平面ABC （）求证：DE平面ACD； （）若30ABC，2AB,3EB， 求三棱锥ACEB的体积； （）设平面ADE平面ABC直线l，求证：lBC /. AB C D E 21. （本小题满分12 分） 已知椭圆C的焦点为)0 ,2(和)0 ,2(，椭圆上一点到两焦点的距离之和为24. （）求椭圆C的标准方程； （）若直线)(:Rmmxyl与椭圆C交于BA,两点 . 当m变化时，求AOB面积的最大值 （O 为坐标原点）. 22. （本小题满分12 分） 已知函数)()1(ln)(Rmxmxmxf （）当2m时，求曲线)(xfy在点)1 (, 1 (f处的切线方程； （）讨论
7、)(xf的单调性 . 延庆县 20142015 学年度第一学期期末考试 高二数学答案及评分标准（文科） 2015.1 一、填空题： （05105） 1. 5 5 2. xy 5 4 3. 1 4. 3 5. 12 6. )4,4(，)4,4( 7. 12 8. 3 9. xy 3 3 ，3x 10. 12 2 二、选择题： （0365） 11.B 12.C 13.D 14.A 15.A 16.B 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分. 17. （本小题满分12 分） 已知函数44 3 1 )( 3 xxxf. （）求函数的极值； （）求函数在区间4,3上的最大值和最小值. 解： （）4)(
8、 2 xxf，,2 分 解方程04 2 x， 得2 1 x，2 2 x,3 分 当x变化时，)(xf，)(xf变化状态如下表： ,7 分 从表上看出，当2x时，函数有极大值，且 3 1 94)2(4)2( 3 1 )2( 3 f. ,8 分 当2x时，函数有极小值，且 3 1 14242 3 1 )2( 3 f. ,9 分 （）74)3(4)3( 3 1 )3( 3 f，,10 分 3 1 94444 3 1 )4( 3 f. ,11 分 与极值点的函数值比较，得已知函数在区间4,3上 的最大值是 3 1 9，最小值是 3 1 1. ,12 分 18. （本小题满分10 分） 已知在空间四边形
9、ABCD中，BDBCADAC,， 且FE,分别是ADCD ,的中点 . （）求证：/EF平面ABC； （）求证：ABCD. （）证明：因为FE,分别是ADCD,的中点， 所以，EF为ACD的中位线，所以ACEF /. ,2 分 又因为AC平面ABC，EF平面ABC, 所以，/EF平面ABC. ,4 分 （）证明：连结BEAE,， 在ACD中，因为,ADACE是CD中点，所以CDAE. ,6 分 同理可证，CDBE. ,7 分 又因为，EBEAE，AE平面ABE，BE平面ABE， 所以，CD平面ABE. ,9 分 又因为，AB平面ABE，所以ABCD. ,10 分 19. （本小题满分12 分）
10、 已知以点P为圆心的圆经过点)1 , 1(A和)3 , 1(B，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且 4|CD. （）求直线CD的方程； （）求圆P的方程 . 解： （）直线AB的斜率1k，AB中点坐标为)2,0(， 直线CD的斜率为1， 直线CD方程为xy2，即02yx,4 分 （）设圆心),(baP，则由P在CD上, 得 02ba,6 分 又直径4|CD,2| PA, 4) 1() 1( 22 ba ,8 分 由解得 1 1 b a 或 3 1 b a 圆心)1 ,1 (P或)3, 1(P,10 分 圆P的方程为4) 1() 1( 22 yx 和4)3() 1( 22 yx,12 分
11、20. （本小题满分12 分） 如图，在四棱锥DCBEA中，BCAC， 底面DCBE为平行四边形，DC平面ABC （）求证：DE平面ACD； （）若 30ABC，2AB,3EB， 求三棱锥ACEB的体积； （）设平面ADE平面ABC直线l，求证：lBC /. （）证明： 因为DC平面ABC，BC平面ABC，所以DCBC. ,1分 又因为，BCAC，AC平面ACD，CD平面ACD，CCDAC， 所以，BC平面ACD. ,3 分 因为，底面DCBE为平行四边形，所以EDBC/. 所以DE平面ACD. ,5 分 （）解：因为，底面DCBE为平行四边形，DC平面ABC， 所以BE平面ABC. 所以 A
12、BCEACEB VV 2 1 331 2 1 3 1 . ,8 分 （）证明：因为底面DCBE为平行四边形，所以EDBC /. ,9 分 因为BC平面ADE，ED平面ADE，所以/BC平面ADE. ,10 分 因为，平面ADE平面lABC，BC平面ABC，所以lBC /. ,12 分 21. （本小题满分12 分） 已知椭圆C的焦点为)0 ,2(和)0 ,2(，椭圆上一点到两焦点的距离之和为24. （）求椭圆C的标准方程； （）若直线)(:Rmmxyl与椭圆C交于BA,两点 . 当m变化时，求AOB面积的最大值 （O 为坐标原点）. （）设椭圆的标准方程为)0(1 2 2 2 2 ba b y
13、 a x ， 长轴长242a，22a，半焦距2c，4 222 cab. ,2分 AB C D E 椭圆C的标准方程为1 48 22 yx . ,3 分 （） mxy yx82 22 ，消去y并整理，得08243 22 mmxx. ,5 分 判别式 0) 82(34)4( 22 mm， 解得3232m. 由题意，知0m. ,6 分 设),( 11 yxA，),( 22 yxB，由韦达定理， 得 3 4 21 m xx， 3 82 2 21 m xx. ,7 分 设直线l与y轴的交点为E，则),0(mE. 所以AOB面积| 2 1 21 xxmS. ,9 分 2 21 22 )( 4 1 xxmS
14、 4)( 4 1 21 2 21 2 xxxxm 3 82 4) 3 4 ( 4 1 2 22mm m )12( 9 224 mm 8)6( 9 2 22 m)120( 2 m,11 分 所以，当6 2 m，即6m时，AOB面积取得最大值22. ,12 分 22. （本小题满分12 分） 已知函数)()1(ln)(Rmxmxmxf （）当2m时，求曲线)(xfy在点)1(, 1(f处的切线方程； （）讨论)(xf的单调性 . （）当2m时，xxxfln2)(， 1 2 )( x xf，31 1 2 )1(f，,2 分 111ln2)1(f,3 分 所以，曲线)(xfy在点)1 (, 1(f处的
15、切线方程为： )1(31xy，即023yx. ,4 分 （）函数)(xf的定义域为0|xx，,5 分 1 2 )(m x m xf x xmm)1(2 . ,6 分 （1）当1m时，0)(xf，)(xf在定义域), 0(上单调递增；,7 分 （2）当1m时，令0)(xf，解得 m m x 1 2 . ,8 分 1当 0m时，0)(xf，)(xf在定义域),0(上单调递减；,9 分 2 当10m时，当x变化时，)(xf，)(xf变化状态如下表： )(xf在) 1 2 ,0( m m 单调递增，在), 1 2 ( m m 单调递减 . ,12 分 欢迎访问 “ 高中试卷网 ” http:/sj.fjjy.org