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1、第 1 讲实数 考标要求考查角度 1.理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有 理数 2借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反 数、倒数与绝对值 3理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的 算术平方根、平方根、立方根 4理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用 四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字 的个数，会用科学记数法表示一个数 5熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小. 实数是中学数学重 要的基础知识，中考多以 选择题、填空题和简单的 计算题的形式出现，主要 考查基本概念、基本技能 以及基本的数学思想方 法另外，命题
2、者也会利 用分析归纳、总结规律等 题型考查考生发现问题、 解决问题的能力. 知识梳理 一、实数的分类 二、实数的有关概念及性质 1数轴 (1)规定了 _、_、_的直线叫做数轴； (2)实数与数轴上的点是一一对应的 2相反数 (1)实数 a 的相反数是 _，零的相反数是零； (2)a 与 b 互为相反数ab_. 3倒数 (1)实数 a(a0)的倒数是 _； (2)a 与 b 互为倒数_. 4绝对值 (1)数轴上表示数a 的点与原点的 _，叫做数a 的绝对值，记作|a|. (2)|a| (a0)， (a0)， (a0). 5平方根、算术平方根、立方根 (1)平方根 定义：如果一个数x 的平方等于a
3、，即 x2a，那么这个数x 叫做 a 的平方根 (也叫二 次方根 )，数 a 的平方根记作 _ 一个正数有两个平方根，它们互为_；0 的平方根是0；负数没有平方根 (2)算术平方根 如果一个正数x 的平方等于a，即 x 2a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根， a 的 算术平方根记作_零的算术平方根是零，即00. 算术平方根都是非负数，即a0(a0) (a) 2a(a0)， a2|a| a(a0)， a(a0). (3)立方根 定义：如果一个数x 的立方等于a，即 x3a，那么这个数x 叫做 a 的立方根 (也叫三 次方根 )，数 a 的立方根记作 _ 任何数都有唯一一个立方根，一个数
4、的立方根的符号与这个数的符号相同 6科学记数法、近似数、有效数字 (1)科学记数法 把一个数 N 表示成 _(1 a10，n 是整数 )的形式叫做科学记数法当N1 时， n 等于原数N 的整数位数减1；当 N1 时， n 是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第 一个非零数字前零的个数(含整数位上的零) (2)近似数与有效数字 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从_第 1 个不为 0 的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字 三、非负数的性质 1常见的三种非负数 |a|0，a 2 0， a0(a 0) 2非负数的性质 (1)非负数的最小值是零；
5、(2)任意几个非负数的和仍为非负数； (3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0. 四、实数的运算 1运算律 (1)加法交换律：a b_. (2)加法结合律：(ab)c_. (3)乘法交换律：ab_. (4)乘法结合律：(ab)c_. (5)乘法分配律：a(b c) _. 2运算顺序 (1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从_至_的顺序进行； (3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的 3零指数幂和负整数指数幂 (1)零指数幂的意义为：a 0_(a0)； (2)负整数指数幂的意义为：a p_(a0， p为正整数 ) 五、实数的大小比较 1实数的
6、大小关系 在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数_ 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小 2作差比较法 (1)a b0ab；(2)ab0ab；(3)a b0aB 3倒数比较法 若 1 a 1 b，a0，b0，则 aB 4平方法 因为由 ab0，可得ab，所以我们可以把a与b的大小问题转化成比较a 和 b 的大小问题 (提示： 本书 知识梳理 栏目答案见第122123 页) 自主测试 1(2012 湖北黄石 )1 3的倒数是 ( ) A 1 3 B3 C 3 D 1 3 2 2 的绝对值等于() A 2 B 2 C 1 2 D 1 2 3
7、下列运算正确的是() A |3|3 B 1 3 1 3 C9 3 D 3 27 3 4(2012 北京 )首届中国 (北京 )国际服务贸易交易会(京交会 )于 2012 年 6 月 1 日闭幕， 本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000 美元将60 110 000 000 用科学记 数法表示应为 () A6.011 10 9 B60.1110 9 C6.01110 10 D0.601110 11 5已知实数m，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是() Am0 Bn0 C mn0 Dmn0 6计算： |5|163 2. 考点一、实数的分类 【例 1】 (
8、2012 云南 )写出一个大于2 且小于 4 的无理数： _. 解析： 设这个无理数为a， 2 24,4216，则 4a16，只要这个无理数的底数满 足 416 即可，如5，11等 答案：5，11等(答案不唯一 ) 方法总结本题在一定范围内确定一个无理数，首先明确无理数的意义，再确定这个无 理数左右两边最接近的整数，从而确定这个无理数 触类旁通1在实数 5， 3 7， 2，4中，无理数是() A5 B 3 7 C2 D4 考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴 【例 2】 (1)(2012 湖南娄底 )2 012 的倒数是 () A 1 2 012 B 1 2 012 C2 012 D 2 012
9、 (2)(2012 湖南株洲 )9 的相反数是 () A9 B 9 C 1 9 D 1 9 (3)(2012 湖南娄底 )写出一个 x的值， 使|x1|x1 成立， 你写出的 x 的值是 _ 解析： (1)2 012 的倒数为 1 2 012. (2)只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是0，9 的相反数是9. (3)|x1|x 1，x10， x1，故答案不唯一，只要x1 即可 答案： (1)A(2)A(3)答案不唯一，如2 等 方法总结1.求一个数的倒数，直接用1 除以这个数；求一个数的相反数，直接在这个 数的前面加上负号，0 除外，有时需要化简得出 2解有关绝对值和数轴的问题时常用
10、到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合 思想 3相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0 和正数 (即非负数 )；倒数是它 本身的数是 1. 触类旁通2下列各数中，相反数等于5 的数是 () A 5 B5 C 1 5 D1 5 考点三、平方根、算术平方根与立方根 【例 3】 (1)(2) 2 的算术平方根是() A2 B 2 C 2 D2 (2)实数 27 的立方根是 _ 解析： (1)(2)2的算术平方根，即(2)2 |2|2； (2)27 的立方根是 3 273. 答案： (1)A(2)3 方法总结1.对于算术平方根，要注意： (1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正 数；
11、 (2)0 的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根a具有双重非负性： 被开方数a 是非负数，即a0；算术平方根a本身是非负数，即a0. 2( 3 a) 3a，3 a 3A 触类旁通34 的平方根是 () A2 B 2 C16 D 16 考点四、科学记数法、近似数、有效数字 【例 4】 (2012 湖南常德 )我国南海海域的面积约为350 000 km 2，该面积用科学记数法 应表示为 _km 2. 解析： 用科学记数法表示的数必须满足a10 n(1|a|10， n 为整数 )的形式，则 3 500 000 3.5106. 答案： 3.5 106 方法总结1.用科学记数法表
12、示数，当原数的绝对值大于或等于1 时， n 等于原数的整 数位数减1；当原数的绝对值小于1 时， n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非 零数字前零的个数 2取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位 ”后的第一个数进行四舍五入， 而之后的数不予考虑 3用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数 (即 a)的有效数字即为该近似数的有效数 字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一 个有效数字处于哪一个数位上 触类旁通4某种细胞的直径是5 10 4 毫米，这个数是() A0.05 毫米B0.005 毫米C0.000 5 毫米D0.000 05 毫米 考
13、点五、非负数性质的应用 【例 5】 若实数 x，y 满足x 2(3y)20，则代数式xy x2的值为 _ 解析： 因为x2 0，(3y)20，而x2(3y)2 0，所以x2 0,3y0，解 得 x2，y3，则 xyx 223 222. 答案： 2 方法总结常见的非负数的形式有三种：|a|，a(a0)，a2，若它们的和为零，则每一 个式子都为0. 触类旁通5若 |m3| (n2) 20，则 m2n 的值为 ( ) A 4 B 1 C0 D4 考点六、实数的运算 【例 6】 计算： (1)2 1 3cos 30 |5|( 2 011) 0. (2)(1) 2 0111 2 3 cos 68 5 0
14、 |3 38sin 60 |. (1)分析： 2 11 2，cos 30 3 2 ，|5|5，( 2 011)0 1. 解： 原式 1 2 3 3 2 51 1 2 3 251 6. (2)分析： 1 2 3(21)3 23 8， cos 68 5 01，sin 60 3 2 . 解： 原式 181 338 3 2 83. 点拨： (1)根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即 a p 1 a p(a0) (2)a 01(a0) 方法总结提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活 地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、
15、倒数等相关知 识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径要特别注意把 好符号关 考点七、实数的大小比较 【例 7】 比较 2.5， 3，7的大小，正确的是() A 32.57 B2.5 37C 372.5 D72.5 3 解析：由负数小于正数可得3 最小，故只要比较2.5 和7的大小即可， 由 2.52 (7) 2， 得 2.57， 所以 32.57. 答案： A 方法总结实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围如：“差值比较法 ” 用 于比较任意两数的大小，而“商值比较法 ”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有 “平方法 ”、“倒数法 ”等要依据数值特点确定
16、合适的方法 触类旁通6在 6,0,3,8 这四个数中，最小的数是() A 6 B0 C3 D8 1(2012 湖南长沙 )3 的相反数是 () A 1 3 B 3 C 1 3 D3 2(2012 湖南娄底 )娄底市针对城区中小学日益突出的“大班额”问题，决定自 2012 年 起启动中心城区化解大班额四年(2012 年 2015 年)行动计划，计划投入资金8.71 亿元， 力争新增学位3.29 万个 .3.29 万用科学记数法表示为() A3.2910 5 B3.2910 6 C3.2910 4 D3.2910 3 3(2012 湖南湘潭 )文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数
17、后， 输出的数比输入的数的平方小1，若输入7，则输出的结果为() A5 B6 C7 D 8 4(2012 湖南常德 )若向东走5 米记作 5米，则向西走5 米应记作 _米 5( 2012 湖南长沙 )若实数 a，b 满足： |3a1|b 20，则 ab_. 6(2012 湖南常德 )规定用符号 m表示一个实数m 的整数部分， 例如 2 3 0，3.14 3， 按此规定 101的值为 _ 7(2012 湖南娄底 )计算： |2|( 3) 0 4 _. 1下列各数中，最小的数是() A0 B1 C 1 D2 2若 |a| 3，则 a 的值是 () A 3 B3 C 1 3 D 3 3下列计算正确的
18、是() A(8)80 B 1 2 (2)1 C (1)01 D|2| 2 4如图， 数轴上 A，B 两点对应的实数分别为1 和3，若点 A 关于点 B 的对称点为C， 则点 C 所表示的实数是() A2 31 B13 C 23 D2 31 5(1)实数 1 2的倒数是 _ (2)写出一个比4 大的负无理数 _ 6若将三个数3，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 _ 7 定义一种运算， 其规则 为 ab 1 a 1 b， 根据这个规则， 计算 23的值是 _ 8 如图， 物体从点 A出发，按照 AB(第 1步)C(第 2 步)DAEFGAB, 的顺序循环运动，则第2 012
19、步到达点 _处 9计算： |2|( 1) 2 012( 4)0. 参考答案 【知识梳理】 一、正整数正无理数 二、 1.(1)原点正方向单位长度 2(1)a(2)03.(1) 1 a (2)ab1 4(1)距离(2)a0a 5(1) a(a0)相反数(2)a(3) 3 a 6(1)a10 n (2)左边 四、 1.(1) ba(2)a(bc)(3)ba(4)a(bc)(5)abac 2(2)左右3.(1)1(2) 1 a p 五、 1.大 导学必备知识 自主测试 1C 3 1 3 1，1 3的倒数是 3. 2A 3DA 中 |3| 3，B 中 1 3 13， C 中 93. 4C因为科学记数法
20、的形式为a10 n，用科学记数法表示较大的数，其规律为 1a 10，n 是比原数的整数位数小1 的正整数，所以60 110 000 0006.01110 10. 5C因为从数轴可知：m 小于 0，n 大于 0，则 mn0，mn0. 6解： |5|163 254 90. 探究考点方法 触类旁通 1.C因为 5 是整数， 3 7是分数， 42 是整数 触类旁通 2.A因为 5 的相反数是5， 1 5的相反数是 1 5， 1 5的相反数是 1 5. 触类旁通 3.B 触类旁通 4.C因为 0.05510 2,0.0055 103,0.000 55104,0.000 05510 5，故选 C. 触类旁
21、通5.B因为 |m3|0，且 (n2)20，又因为 |m3|(n2)20，所以m3 0 且 n20.所以 m 3，n 2，所以 m2n32(2) 1. 触类旁通 6.A因为根据正数大于0,0 大于负数，正数大于负数，解答即可 品鉴经典考题 1D 2C因为科学记数法的形式为a10 n，用科学记数法表示较大的数，其规律为 1a 10，n 是比原数的整数位数小1 的正整数， 3.29 万 32 900，所以 3.29 万用科学记数法表 示为 3.29104. 3B根据题意，若输入7，则输出的数为(7) 2 1716. 45 51|3a1|0，b 20，且 |3a1|b20， 3a10， b0，a 1
22、 3， b0，a b1 3 01. 6491016，即 3104， 410 15，1014. 71原式 2121. 研习预测试题 1D因为正数和0 都大于负数，21，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所 以2最小 2D绝对值为3 的数有 3 和 3 两个，且互为相反数 3B(8)8 16， 1 2 (2) 1， (1) 0 1，|2|2. 4A因为数轴上A，B 两点对应的实数分别为1 和3， 所以 OA1，OB3.所以 ABOBOA31. 由题意可知，BCAB31. 所以 OCOB BC3(31)2 31. 5(1)2(2)42(答案不唯一 ) 6. 7因为30，113,173. 7.5 6 因为 2 31 2 1 3 3 6 2 6 5 6. 8A由题意知，每隔8 步物体到达同一点，因为2 012 8251 余 4，所以第 2 012 步 到达 A 点 9解： 原式 21 12.