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1、概率与统计 1随机抽样方法 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且 是不放回抽样 问题 1某社区现有480 个住户，其中中等收入家庭200 户、低收入家庭160 户，其他为高 收入家庭在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6 户，则该社区本 次抽取的总户数为_ 答案24 解析由抽样比例可知 6 x 480200160 480 ，则 x 24. 2对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据对 于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率茎 叶图没有原始数据信息的损失，但数据很
2、大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了 问题 2从某校高三年级随机抽取一个班，对该班 50 名学生的高校招生体检表中视力情况进 行统计， 其结果的频率分布直方图如图所示若某高校A 专业对视力的要求在0.9 以上， 则该 班学生中能报A 专业的人数为_ 答案20 3众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平 均数 )叫做这组数据的中位数 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标 平均数：样本数据的算术平均数，即x 1
3、n(x1 x2, xn) 平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和 标准差的平方就是方差，方差的计算 (1)基本公式s 21 n(x 1 x ) 2 (x 2 x ) 2, (xn x )2 (2)简化计算公式s 21 n(x 2 1 x 2 2, x 2 n)n x 2，或写成 s 21 n(x 2 1x 2 2, x 2 n) x 2，即方 差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方 问题 3已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14 ，则该样 本的众数、中位数分别是_ 答案0.1
4、5、0.145 4变量间的相关关系 假设我们有如下一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)， , ， (xn，yn)回归方程 y b xa ， 其中 b i1 n xi x yi y i1 n xi x 2 i1 n xiyin x y i1 n x 2 i n x 2 ， a y b x . 问题 4回归直线方程 y b x a 必经过点 _ 答案( x ， y ) 5独立性检验的基本方法 一般地，假设有两个分类变量X 和 Y，它们的取值分别为x1，x2 和y1，y2，其样本频数列联 表如表： y1y2总计 x1a b ab x2c d cd 总计ac bd a bcd 根据观测数据计算由公
5、式k n adbc 2 ab a c b d c d 所给出的检验随机变量K2的观测值k， 并且 k 的值越大， 说明“ X 与 Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X 与 Y有 关系”的可信程度 问题 5为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班 50 名学生进行了问卷调查，得 到了如下的2 2列联表： 喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生20525 女生101525 合计302050 则至少有 _的把握认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示) 附： K2 n adbc 2 ab cdacbd P(K 2 k0)0.100.050.0250.0100.0050.001 k02.
6、7063.8415.0246.6357.87910.828 答案99.5% 6互斥事件有一个发生的概率P(AB)P(A)P(B) (1)公式适合范围：事件A 与 B 互斥 (2)P( A )1P(A) 问题 6抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现 2 点，已 知 P(A)1 2，P(B) 1 6，则出现奇数点或 2点的概率之和为_ 答案 2 3 7古典概型 P(A) m n (其中， n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件 A 在试验中包含的基本事件个 数) 问题7若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2 次，则出现向上的点数之和为4 的概率为 _ 答案 1 1
7、2 8几何概型 一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A， 则事件 A发生的概率为P(A) d的度量 D的度量 .此处 D 的度量不为0， 其中“度量”的意义依D 确定， 当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等 即 P(A) 构成事件 A的区域长度面积和体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积和体积 问题 8在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCDA1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于1 的概率为 () A. 12 B1 12
8、C. 6 D1 6 答案B 解析记“点 P 到点 O 的距离大于1”为 A， P(A) 2 31 2 4 3 1 3 2 3 1 12. 9解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合 解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位 问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法； 至多至少问题间接法 (1)排列数公式 A m nn(n1)(n2), n(m 1) n！ nm ！ ，其中 m，nN *，mn.当 mn 时， An nn (n 1) , 21n！ ，规定 0！ 1. (2)组合数公式 C m n
9、 A m n A m m n n1n2 ,n m1 m！ n！ m！ nm ！. (3)组合数性质 C m nC nm n ， Cm nC m1 n Cm n1，规定 C 0 n1，其中 m，nN *，mn. 问题 9(1)将 5 封信投入3 个邮筒，不同的投法共有_种 (2)从 4 台甲型和5 台乙型电视机中任意取出3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则 不同的取法共有_种 答案(1)3 5 (2)70 10二项式定理 (1)定理： (a b) nC0 na nC1 na n1b , Cr na nrbr, C n1 nab n1 Cn nb n (nN*) 通项 (展开式的第r1 项
10、)： Tr1 Crna nrbr，其中 Cr n(r0,1， , ， n)叫做二项式系数 (2)二项式系数的性质 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 C 0 nC n n，C 1 n C n1 n ，C2 nC n2 n ，, ，Cr nC nr n. 二项式系数的和等于2 n(组合数公式 )，即 C 0 nC 1 nC 2 n, C n n2 n. 二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C1 n C 3 nC 5 n, C0 nC 2 nC 4 n, 2 n1. 特别提醒： 二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也
11、有很大的 差别，往往因为概念不清导致出错 问题 10设 x 2 x 6 的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则 AB_. 答案41 解析Tr1Cr 6x 6r(1)r 2 x r Cr 6( 1) r2r 3 6 2r x ，63 2r3，r2，系数 A60，二项式系数 BC 2 615，所以 AB 41. 41. 11要注意概率P(A|B)与 P(AB)的区别： (1)在 P(A|B)中，事件A，B 发生有时间上的差异，B 先 A 后；在 P(AB)中，事件A，B 同时发 生 (2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件 B 成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为，因而有 P(A|B
12、)P(AB) 问题 11设 A、 B 为两个事件， 若事件 A 和 B 同时发生的概率为 3 10， 在事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的概率为 1 2，则事件 A 发生的概率为_ 答案 3 5 12求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正还要注意识别独立重 复试验和二项分布，然后用公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p， 那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 为 Pn(k)C k np k (1p)nk. 问题 12若随机变量 的分布列如下表，则E( )的值为 _. 012345 P 2x 3x 7x 2x 3x x 答案 20 9 解析根据概率
13、之和为1，求出 x 1 18， 则 E( )02x13x, 5x40x 20 9 . 13一般地，如果对于任意实数a4)0.2， 由题意知图象的对称轴为直线x 2， P( 4)0.2， P(04)0.6. P(00，b 0 B.a 0，b 0 D.a 0.故a 0，b 0. 3(2014 湖北 )由不等式组 x0， y0， yx 20 确定的平面区域记为1，不等式组 xy1， xy 2 确定 的平面区域为2，在 1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为 () A. 1 8 B. 1 4 C.3 4 D. 7 8 答案D 解析如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分
14、就是 区域 OACD， 易知 C( 1 2， 3 2)，故由几何概型的概率公式， 得所求概率 P S 四边形 OACD SOAB 2 1 4 2 7 8. 4(2014 湖南 )( 1 2x2y) 5 的展开式中x2y3的系数是 () A 20 B 5 C5 D 20 答案A 解析(1 2x2y) 5 展开式的通项公式为Tr1Cr5(1 2x) 5r ( 2y)r Cr 5 (1 2) 5r (2) r x 5r y r. 当 r3 时， C 3 5(1 2) 2 (2)3 20. 5.如图，矩形ABCD 中，点 E 为边 CD 上任意一点，若在矩形ABCD 内部随机 取一个点Q，则点 Q 取
15、自 ABE 内部的概率等于() A. 1 4 B. 1 3 C.1 2 D. 2 3 答案C 解析这是一道几何概型的概率问题，点 Q 取自 ABE 内部的概率为 SABE S矩形ABCD 1 2 |AB| |AD| |AB| |AD | 1 2. 故选 C. 6(2014 福建 )如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到 阴影部分的概率为_ 答案 2 e 2 解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S2 0 1(eex)dx2(ex e x)|1 02e e(01)2. 又该正方形面积为e2， 故由几何概型的概率公式可得所求概率为 2 e 2
16、. 7(2014 江西 )10 件产品中有7 件正品， 3 件次品，从中任取4 件，则恰好取到1 件次品的概 率是 _ 答案 1 2 解析从 10 件产品中取4 件，共有C4 10种取法，取到 1 件次品的取法为C 1 3C 3 7种，由古典概型 概率计算公式得P C 1 3C 3 7 C 4 10 335 210 1 2. 8如图所示，图2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边 长为1 的正方形若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的 概率是 1 4，则此长方体的体积是 _ 答案3 解析设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知
17、，质点落在长方体的平面展开图内 的概率 P 24h 2h2 2h1 1 4，解得 h3 或 h 1 2(舍去 )，故长方体的体积为 11 33. 9已知某人投篮的命中率为 3 4，则此人投篮 4 次，至少命中3 次的概率是 _ 答案 189 256 解析该人投篮4 次，命中3 次的概率为 P1C 3 4 3 4 3 13 4 27 64； 该人投篮4 次，命中4 次的概率为P2C 4 4 3 4 481 256， 故至少命中3 次的概率是P 27 64 81 256 189 256. 10某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1 000 辆汽车通过该站，现在随机抽取其中 的 200 辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一 时段内通过该站的汽车中车速不小于90 km/h 的约有 _辆 (注：分析时车速均取整数) 答案300 解析由图可知，车速大于等于90 km/h 的车辆未标出频率，而小于90 km/h 的都标出了，故 考虑对立事件由题图知车速小于90 km/h 的汽车总数的频率之和为(0.010.020.04) 10 0.7，所以车速不小于90 km/h 的汽车总数的频率之和为10.70.3.因此在这一时段内通过该 站的车速不小于90 km/h 的汽车有1 0000.3300(辆 )