4.4电磁感应中的双杆问题分类例析.pdf

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1、4.4 电磁感应中的双杆问题分类例析 电磁感应中的双杆问题分类例析 “双杆”类问题是电磁感应中常见的题型，也 是电磁感应中的一个难道，下面对“双杆”类问题 进行分类例析 1、 “双杆”在等宽导轨上向相反方向做匀速运动 当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电 池正向串联。 2.“双杆” 在等宽导轨上同向运动，但一杆加速另 一杆减速 当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反 向串联。 3. “双杆”中两杆在等宽导轨上做同方向上的加速 运动。 “双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一 杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加 速度做匀加速直线运动。 4 “双杆”在不等宽导轨上同向运动。

2、 “双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所 受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定 律解题。 【例 5】如图所示，间距 为 l、电阻不计的两根平行金属导轨MN、PQ（足 够长）被固定在同一水平面内，质量均为m、电阻 均为 R 的两根相同导体棒a、b 垂直于导轨放在导 轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线 与 a 棒连接，其下端悬挂一个质量为M 的物体 C， 整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中。 开始时使 a、 b、 C 都处于静止状态， 现释放 C， 经过时间 t， C 的速度为 1、 b的速度为2。 不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加 速度为

3、g，求： （1）t 时刻 C 的加速度值； （2）t 时刻 a、b 与导轨所组成的闭合回路消耗的 总电功率。 解析： （1）根据法拉第电磁感应定律，t 时刻回路 的感应电动势12 ()EBl t 回路中感应电流 2 E I R 以 a 为研究对象，根据牛顿第二定律 TB I lm 以 C 为研究对象，根据牛顿第二定律 M gTM 联立以上各式解得 2 2 12 2() 2 () MgRB l a R Mm （2）解法一：单位时间内，通过a 棒克服安培力 做功，把 C 物体的一部分重力势能转化为闭合回路 的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式 消耗掉，另一部分则转化为b 棒的动能，所以，

4、t 时刻闭合回路的电功率等于a 棒克服安培力做功的 功率，即 2 2 121 1 () 2 B l PBIl R 解法二： a 棒可等效为发电机， b 棒可等效为电动 机 a棒 的 感 应 电 动 势 为1a EBlv 闭 合 回 路 消 耗 的 总 电 功 率 为a PIE 联立解得 22 121 1 () 2 B l PBIl R 解法三：闭合回路消耗的热功率为 2222 12 () 22 B lvvE P RR 热 b 棒的机械功率为 22 122 2 () 2 B lvvv PBIl v R 机 故 闭 合 回 路 消 耗 的 总 电 功 率 为 PPP 热机 2 2 121 () 2

5、 B l R 说明：在单位时间t 内，整个系统的功能关系和能 量转化关系如下： C物体重力做 C物体重力势 C物体克服细C物体动能的 细绳拉力对a 模 型 ： a 棒 可 等 效 为 发 电 机 ， b 【例 1】两根平行的金属导轨，固定 在同一水平面上， 磁感强度 B0.05T 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很 小，可忽略不计 导轨间的距离 l0.20 m两根质 量均为 m0.10 kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上 无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根 金属杆的电阻为R0.50在 t0 时刻，两杆都 处于静止状态现有一与导轨平行、大小为0.20 N 的恒力 F 作用于金属杆

6、甲上， 使金属杆在导轨上滑 动经过 t5.0s ，金属杆甲的加速度为a1.37 m s，问此时两金属杆的速度各为多少? 本题综合了法拉第电磁感应定律、安培力、左手 定则、牛顿第二定律、动量定理、全电路欧姆定律 等知识，考查考生多角度、全方位综合分析问题的 能力 解析：设任一时刻t，两金属杆甲、乙之间的距 离为 x，速度分别为 vl和 v2，经过很短的时间 t， 杆甲移动距离v1t，杆乙移动距离v2t，回路面 积改变 S(x 一2t)+1tll(1-2) t 由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势 EBS/tB(l一2) 回路中的电流iE2 R 杆甲的运动方程FBlima 由于作用于杆甲和杆乙

7、的安培力总是大小 相等、方向相反，所以两杆的动量(t0 时为 0)等 于外力 F 的冲量Ftmlm2 联立以上各式解得 1 Ft/m 2R(F一ma) B 2 l 2 2 2Ftm 一 2R(F 一 ma)B2l 22 代入数据得移 l8.15 ms， v21.85 m s 【例 2】两根足够长的固定的平行 金属导轨位于同一水平面内，两导 轨间的距离为L。导轨上面横放着 两根导体棒 ab和 cd， 构成矩形回路， 如图所示两 根导体棒的质量均为m，电阻均为 R，回路中其余 部分的电阻可不计在整个导轨平面内都有竖直向 上的匀强磁场，磁感应强度为B设两导体棒均可 沿导轨无摩擦地滑行开始时，棒cd静

8、止，棒 ab 有指向棒 cd 的初速度 v0若两导体棒在运动中始 B v L ac db 终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少 （2）当 ab 棒的速度变为初速度的3/4 时， cd 棒的加速度是多少？ 解析： ab 棒向 cd棒运动时，两棒和导轨构成 的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应 电流ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减 速运动， cd 棒则在安培力作用下作加速运动在 ab 棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电 流，ab 棒继续减速， cd 棒继续加速两棒速度达 到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不 产生感应电流，两棒以相同的速度v 作匀速运

9、动 （1）从初始至两棒达到速度相同的过程中， 两棒总动量守恒，有 mvmv2 0根据能量守恒，整 个过程中产生的总热量 2 0 22 0 4 1 )2( 2 1 2 1 mvvmmvQ （2）设 ab 棒的速度变为初速度的3/4 时， cd 棒的速度为 v1，则由动量守恒可知： 100 4 3 mvvmmv 此时回路中的感应电动势和感应电流分别为： BLvvE) 4 3 ( 10， R E I 2 此时cd棒所受的安培力： IBLF，所以cd棒的 加速度为 m F a由以上各式，可得 mR vLB a 4 0 22 。 【例 3】两根相距d=0.20m 的平 行金属长导轨固定在同一水平面 内，

10、并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应 强度 B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构 成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25，回 路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平 行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速 平移，速度大小都是 v=5.0m/s，如图所示 .不计导轨 上的摩擦 . （1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小. （2）求两金属细杆在间距增加0.40m 的滑动 过程中共产生的热量 . 解析： （1） 当两金属杆都以速度v 匀速滑动时， 每 条 金 属 杆 中 产 生 的 感 应 电 动 势 分 别 为 ： E1=E2=Bdv 由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流

11、强度大 小为： r EE I 2 21 v v 因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉 力的大小为 F1=F2=IBd。 由以上各式并代入数据得 2 22 21 102.3 r vdB FF N （2）设两金属杆之间增加的距离为L，则两 金属杆共产生的热量为 v L rIQ 2 2 2 ， 代入数据得 Q=1.2810-2J. 【例 4】 如图， 在水平面上有两条平行导电导轨MN、 PQ，导轨间距离为 l，匀强磁场垂直于导轨所在的 平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B，两根 金属杆 1、2 摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质 量和电阻分别为12 mm、 和 R1、R2，两杆与导轨接触良 好，

12、与导轨间的动摩擦因数为，已知：杆1 被外 力拖动，以恒定的速度0 v 沿导轨运动；达到稳定状 态时，杆 2 也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻 可忽略，求此时杆2 克服摩擦力做功的功率。 解法 1：设杆 2 的运动速度为 v，由于两杆运动时， 两杆间和导轨构成的回路中 的磁通量发生变化，产生感 应电动势 )( 0 vvBlE 感应电流 21 RR E I 杆 2 作匀速运动，它受到的安培力等于它受到 的摩擦力， gmBlI 2 导体杆2 克服摩擦力做功的功率 gvmP 2 解得 )( 2122 2 02 RR lB gm vgmP 解法 2：以 F 表示拖动杆 1 的外力，以 I 表示由杆 1

13、、杆 2 和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时， 对杆 1 有 0 1 B I lgmF 对杆 2 有0 2g mB I l 外力 F 的功率0 FvPF 以 P 表示杆 2 克服摩擦力做功的功率，则有 0121 2 )(gvmRRIPP F 由以上各式得 )( 21 22 02 RR lB gm vgmP g 【例 5】如图所示，在倾角为30 0 的 斜面上，固定两条无限长的平行光滑 导轨，一个匀强磁场垂直于斜面向上，磁感强度B 0.4T，导轨间距 L0.5m。两根金属棒 ab、cd 3 3 B c d b a v 平行地放在导轨上，金属棒质量mab0.1kg ，mcd 0.2kg ，两金属

14、棒总电阻r 0.2 ，导轨电阻不计。 现使金属棒 ab 以 v1.5m/s 的速度沿斜面向上匀 速运动，求（ 1）金属棒 cd 的最大速度；（2）在 cd 有最大速度时，作用在金属棒ab上的外力做功的 功率。 说明： （1）分析清楚棒的受力情况和运动情况是 解决本题的关键。在第（1）问的分析中，也可以 对 cd 棒的运动方向进行判断，因为不管cd 的运动 方向如何，它速度最大时 mcdgsin30 0=I lB 式一定成 立。直接解 mcdgsin30 0=I lB、Blv Blvm、I /r 式，若 vm为正值则表示方向沿轨道向下，若 为负值则表示方向向上。 （2）对第（ 2）问的求解 方法

15、比较多。选研究对象时，可以用“整体法”， 也可以用隔离法。求功率时，可以根据定义PFv 计算，也可以根据能的转化和守恒定律求解。 【例 6】如图 4 所示，金属棒 a 跨接在两金属轨道 间，从高 h 处以速度 v0沿光滑弧形平行金属轨道下 滑，进入轨道的光滑水平部分之 后，在自下向上的匀强磁场中运 动， 磁场的磁感应强度为B.在轨道的水平部分另有 一个跨接在两轨道间的金属棒b，在 a 棒从高处滑 下前 b 棒处于静 (1）a 棒进入磁场后做什么运动？b 棒做什 么运动？ （2）a 棒刚进入磁场时， a、b 两棒加速度之 比. ？ (3）如果两棒始终没有相碰，a 和 b 的最大 速度各多大？ (

16、4）在整个全过程中，回路中消耗的电能是 多大？ 解析 1 a 棒在下滑过程中只有重力做正功，动 能增加，做加速运动 . 进入轨道的水平部分后在磁 场中运动，因切割磁感应线产生感应电动势，从而 在 a、b 棒与两滑轨组成的闭合回路中产生感应电 流，a 棒由此而受到向左的安培力Fa作用，运动受 阻而开始减速由于速度变小，感应电动势、感应 电流及安培力都在减小，所以a 棒的运动性质是加 速度逐渐减小的减速运动 与此同时， b 棒则受到向右的安培力FB作用自 静止起做加速运动随上述感应电流的减小，受到 的 FB也会相应减小， 所以 b 棒的运动性质是加速度 逐渐减小的加速运动 当 a、b 两棒速度相等

17、时，回路中磁通量不再变 化，因而不再有感应电流产生，a、b 棒所受安培力 都变为零，自此以后，两棒将以相等的速度即 b 棒所能达到的最大速度向右做匀速运动 2从 a 棒进入磁场后直到做匀速运动以前，a、b 棒都做加速度不断在变化的变速运动. 由于是在同 一匀强磁场中，回路中的感应电流各处相等，a、b 两棒跨接在滑轨之间部分的长度也相等，所以各时 刻 a、b 两棒分别所受的安培力总是等值反向的 （Fa=|FB|=ilB ）因此，根据牛顿第二定律, 尽管 加速度随时间都在逐渐减小, 但对于同一时刻来 说, 这一比值则 总是确定的 3a 棒进入磁场之初的速度最大，设为 va根据动能定理， 在水平轨道

18、上运动过程， 由于在两棒与轨 道组成的系统中， Fa与 FB总是等值反向的，即 合外力始终为零，所以这个系统动量守恒设 两棒最后共同运动速度为v ，则有 v 也就是 b 棒的最大速度 vB 4在整个相互作用过程中，回路中的电流总在变 化，且回路电阻未知，所以其中消耗的电能E电必 须根据能量守恒计算， 【例 7】如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导 轨， 置于垂直于导轨平面向里的匀强磁 场中，两根质量相同的导体棒a 和 b， 与导轨紧密接触且可自由滑动。 先固定 a，释放 b，当 b 的速度达到 10m/s 时，再释放 a， 经过 1s 后，a 的速度达到 12m/s，则 A、当 B、当 C、若

19、导轨足够长，它们最终的速度必相同 D、它们最终的速度不相同，但速度差恒定 解析: 当 b 棒先向下运动时，在a 和 b 以及导轨 所组成的闭合回路中产生感应电流，于是a 棒受到 向下的安培力， b 棒受到向上的安培力，且二者大 小相等。释放 a 棒后，经过时间t ，分别以 a 和 b 为研究对象，根据动量定理，则有： 代入数据可解得：当。 在 a、b 棒向下运动的过程中， a 棒产生的加速 度，b 棒产生的加速度。当 a 棒的速 度与 b 棒接近时，闭合回路中的逐渐减小，感应 电流也逐渐减小，则安培力也逐渐减小。最后，两 棒以共同的速度向下做自由落体运动。正确答案选 A和 C。 【例 8】如图

20、，足够长的光滑平行导轨水平放置， 电阻不计， MN部分的宽度为l 2，PQ部分的宽度为l， 金属棒 a和b的质量mmm ba 22， 其电阻大小RRR ba 22， a和b分别在MN和PQ上，垂直导轨相距足够远， 整个 装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感强度为B， 开始 a棒向右速度为 0 v，b棒静止，两棒运动时始终 保持平行且 a总在MN上运动，b总在PQ上运动，求a、 b最终的速度。 解析：本题由于两导轨的宽度不等， a、b系统动量 不守恒，可对 a、b分别用动量定理。a运动产生感 应电流， a、b在安培力的作用下，分别作减速和加 速 运 动 . b的 运 动 产 生 了 反 电 动 势

21、 。 回 路 的 baba BlvBlvEEE2 总， 随着 a v减小， b v增加， 总 E减小，安培力)3/( RlBEF 总 也随之减小， 故a棒的加速度 )2/( mFa a减小，b棒的加 速度 mFa b/ / 也减小。 当 0 总 E，即 ba BlvBlv2时，两者加速度为零，两棒 均匀速运动，且有abvv2 对 a、b分 别 用 动 量 定 理 )(2 baa vvmtF bb mvtF 而 ba FF2 联立以上各式可得： 3 0 v va 3 2 0 v vb 【例 9】如图所示， abcde和 / edcba为两平行的光滑轨 道，其中 abcd和 / edcba部分为处

22、于水平面内的导轨， ab与 a/b的间距为cd与dc / 间距的 2 倍，de、 ed / 部分为 与水平导轨部分处于竖直向上的匀强磁场中，弯轨 部分处于匀强磁场外。 在靠近 aa和 cc处分别放 着两根金属棒 MN、PQ，质量分别为 m2和 m。为使 棒 PQ 沿导轨运动，且通过半圆轨道的最高点ee ， 在初始位置必须至少给棒MN 以多大的冲量？设两 段水平面导轨均足够长，PQ 出磁场时 MN 仍在宽 导轨道上运动。 解析：若棒 PQ 刚能通过半圆形轨道的最高点ee ， 则由 R v mmg e 2 ， 可得其在最高点时的速度 gRve . 棒 PQ 在半圆形轨道上运动时机械能守恒，设其在

23、dd的速度为d v， 由 Rmgmvmv ed 2 2 1 2 1 22 可得： gRvd5 两棒在直轨上运动的开始阶段，由于回路中存在感 应电流，受安培力作用，棒MN 速度减小，棒PQ 速度增大。当棒 MN 的速度1 v 和棒 PQ 的速度2 v 达到 2 2 1 v v时，回路中磁通量不再变化而无感应电流，两 者便做匀速运动，因而 2 5 2 gR vv d。 在有感应电流存在时的每一瞬时，由 IlBF及 MN 为 PQ 长度的 2 倍可知，棒 MN 和 PQ 所受安培力 F1 和 2 F有关系 21 2FF。 从而，在回路中存在感应电流的时间t 内，有 21 2FF。 设棒 MN 的初速

24、度为 0 v，在时间 t 内分别对两 棒应用动量定理，有： 011 22mvmvtF， 22 mvtF 将以上两式相除，考虑到212FF， 并将 1 v、 2 v的表达式代入，可得 2 53 0 gR v 从而至少应给棒MN 的冲量：gRmmvI532 0 练习: 1如图所示，金属杆a 在离 地 h 高处从静止开始沿弧形轨 道下滑，导轨平行的水平部分 h a b B 有竖直向上的匀强磁场B，水平部分导轨上原来放 有一金属杆 b.已知杆的质量为ma， 且与 b杆的质量 比为 mamb=3，水平导轨足够长，不计摩擦， 求： （1）a 和 b 的最终速度分别是多大？ （2）整个过程中回路释放的电能是

25、多少？ （3）若已知 a、b 杆的电阻之比 RaRb=34， 其余电阻不计，整个过程中a、b 上产生的热量分 别是多少？ 答案:（1）va=vb= 7 3 gh2（2）E= 7 2 magh（3） Qa= 7 3 E= 49 12 magh ， Q b= 7 4 E= 49 16 magh 2如图所示， abcd 和 a /b/c/d/ 为水平放置的光滑平行导轨，区 域内充满方向竖直向上的匀强磁 场。ab、a/b /间的宽度是 cd、c/ d /间宽度的 2 倍。设 导轨足够长，导体棒ef 的质量是棒 gh 的质量的 2 倍。 现给导体棒 ef 一个初速度 v0， 沿导轨向左运动， 当两棒的速

26、度稳定时，两棒的速度分别是多少？ 解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电 a a b b d d c c e f g h 流为零，设导体棒ef 的速度减小到 v1， 导体棒 gh 的速度增大到 v2，则有 2BLv1-BLv2=0，即 v2=2v1。 对导体棒 ef 由动量定理得： 01 222mvmvtIBL 对导体棒gh 由动量定理 得： 0 2mvtIBL 由 以 上 各 式 可 得 ： 0201 3 2 , 3 1 vvvv 3如图所示，在匀强磁场区域内与B 垂直的 平面中有两根足够长的固定金属平行导轨，在它们 上面横放两根平行导体棒构成矩形回路，长度为 L， 质量为 m，电阻为 R

27、，回路部分导轨电阻可忽略， 棒与导轨无摩擦，不计重力和电磁辐射，且开始时 图中左侧导体棒静止，右侧导体棒具有向右的初速 v0，试求两棒之间距离增长量x 的最大值 解析：当 ab棒运动时，产生感应电动势，ab、 cd 棒中有感应电流通过， ab 棒受到安培力作用而 减速，cd棒受到安培力作用而加速。 当它们的速度 相等时，它们之间的距离最大。设它们的共同速度 为 v，则据动量守恒定律可得： mv02mv，即 0 2 1 vv。 v 对于 cd棒应用动量定理可得： BLq=mv-0=0 2 1 mv 所以， 通过导体棒的电量q= BL mv 2 0 而 tR I, 2 所 以q= R BLx t

28、tI 2 由 上 述 各 式 可 得 ： x= 22 0 LB Rmv 。 4 如图， 两根金属导轨与水平面成30 平行放置， 导轨间距 05m，导轨足够长且电阻不计，两根金 属棒 MN、PQ 垂直导轨放置， 由于摩擦， MN、PQ 均刚好保持静止， 两棒质量均为 01kg，电阻均为 01，它们与导轨间动摩擦因素均为 = ，空间有垂直导轨平面的匀强磁 场，磁感应强度B = 0.4T ，现用沿导轨 平面向上的力 F = 1 2N 垂直作用力于金属棒MN， 取 g = 10m/s 2，试求： （1）金属棒 MN 的最大速度； （2）金属棒 MN 运动达到稳定状态后， 1s内外 力 F 做的功，并计

29、算说明能量的转化是否守恒 解析： (1) 最初 MN 、PQ均刚好保持静止，根据 其受力情况可知MN 、PQ与导轨间的最大静摩擦力 Fm=mgsin30 o=0.5N 当用外力 F作用于 MN棒时，FFm=mgsin30 o， 故 MN开始沿导轨加速上滑，棒中产生感应电动势， 回路中形成感应电流。因此，棒MN又将受到安培 力的作用，当 MN棒所受的合外力为零时，金属棒 MN 达最大速度，设为m，则： F=F+mgsin30 o+F 1， 其中 F= mgcos30 o，F 1=BIl ，故 F1=0.4N。 考虑到此时 PQ的受力情况，应有mgsin30 o F1Fm，故棒 PQ保持静止。所以有： mgsin30 o+F 1+mgc os30 oF=0 解得：vm=2m/s。 (2) 金属棒达到稳定状态后，1s 内的位移为 s=vmt=2m，故 WF=Fs=1.2 2J=2.4J 。 对应时间内： WF=Fs= 0.6J ；WG= mgs sin30 o=1J；Q=F 1s=0.8J 。 所以有： WF+WF+WG=Q ，说明能量的转化是守恒 的。