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1、导数在不等式中的应用 导数是研究函数性质的一种重要工具。 例如求函数的单调区间、 求最大 （小） 值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用 函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决 不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。 一、利用导数证明不等式 （一） 、利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0 时，则该函数在该区 间上单调递增 （或递减）。因而在证明不等式时， 根据不等式的特点， 有时可以 构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的 目的。即
2、把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式： 1、直接构造函数， 然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单 调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。 例 1：x0 时,求证； x 2 x 2 ln(1+x)0 证明：设 f(x)= x 2 x 2 ln(1+x) (x0), 则 f (x)= 2 x 1x x0, f (x)0 时,f(x)ae, 求证:a bb a, (e 为自然对数的底 ) 证：要证 a bb a 只需证 lna blnba 即证： blnaalnb0 设 f(x)=xlnaalnx (xae)；则 f (x)=lna a
3、x , ae,xa lna1, a x 0,因而 f(x)在（e, +）上递增 ba, f(b)f(a)；故 blnaalnbalnaalna=0；即 blnaalnb 所以 a bb a 成立。 （注意，此题若以a为自变量构造函数f(x)=blnx xlnb (e0 时 b x,f (x)0 ln b 时 b x ln b ，故 f(x)在区间（ e, b） 上的增减性要由 b e ln b 与的大小而定，当然由题可以推测 b e ln b 故 f(x)在区间（ e, b）上的递减 ,但要证明 b e ln b 则需另费周折，因此，本题还 是选择以 a 为自变量来构造函数好，由本例可知用函数
4、单调性证明不等式时， 如何选择自变量来构造函数是比较重要的。） （二） 、利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式 的特点，有时可以构造函数， 用导数求出该函数的最值； 由当该函数取最大 （或 最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化 为函数求最值问题。 例 3、求证： nN *,n3 时，2n 2n+1 证明：要证原式，即需证：2 n2n10,n 3 时成立 设 f(x)=2 x2x1(x 3),则 f (x)=2 xln22(x 3), x 3, f(x) 2 3ln320。f(x)在3
5、，+ )上是增函数， f(x)的最小值为 f(3)=2 3231=10 所以， nN *,n3 时，f(n) f(3)0, 即 n 3 时,2n2n10 成立， 例 4、 xb 22 g(x)(1)(1) A ax 的定义域是 A=a,b)，其中 a,bR +,a 4 k(k1) （kN * ） 证明：由题知 g(x)= 2 2x22b2b 223a axx g(x)= 2 2x22b2b 223a axx =0 时 x 4ax3a2b2+a2bx=0 即(x 4a2b2)ax(x2ab)=0,化简得(x2ab)(x2ax+ab)=0 所以 x 2ax+ab =0或 x2ab=0，00 时 x
6、ab,b) , g(x) 4 k(k1) （kN * ）成立 3、利用导数求出函数的值域，再证明不等式。 例 5：f(x)= 1 3 x 3x, x 1,x21,1时，求证： |f(x1)f(x2)|4 3 证明：f(x)=x 21, x1,1时,f (x) 0, f(x)在1,1上递减 .故 f(x)在1,1上的最大值为 f(1)= 2 3 最小值为 f(1)= 2 3 ,即 f(x)在 1,1上的值域为 2 2 , 3 3 ； 所以 x1,x21,1时，|f(x1)| 2 3 , |f(x2)| 2 3 , 即有 |f(x1)f(x2)| |f(x1)|+ |f(x2)| 224 333
7、二、利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转 化为 mf(x) ( 或 m0 时，解得 0x 3 4 9 9 , h(x)0 时 x 3 4 9 9 所以 h(x)在（0， 3 4 9 9 ）上递增，在（ 3 4 9 9 ，+）上递减 , 故 h(x)的最大值为 3 4 94 h() 99 ，所以 4 a 9 三、利用导数解不等式 例 8：函数 f(x)= 2 x1ax(a0),解不等式 f(x) 1 解：由题知 12xx f (x)aa 2 22 1x1x x 11 2 1x a 1 时,f(x)0时 解 得x a (,) 2 1a a
8、 (,) 2 1a ,f (x) f (x)0 时解得 aa x(,) 22 1a1a 故 f(x)在 aa (,) 22 1a1a 上单调递减， f(x)在 a (,) 2 1a 或 a (,) 2 1a 上单调递增， 又 f(x)=1 时解得 x=0 或 x= 2a 2 1a ，且 0a1时 a2a 0 2 2 1a 1a 所以 0a1 时 f(x)1 的解为 x| 2a 0x 2 1a 由 上 得 ， a1 时 f(x) 1 的 解 为x|x 0 ， 0a1 时 f(x) 1 的 解 为 x| 2a 0x 2 1a 总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的 单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化 归思想在中学数学中的重要体现。