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1、人 教 版 义 务 教 育课 程 标 准 实 验 教科 书 八 年 级 上 册 乘法公式 15.2.1平方差公式 执教人：赣县石芫中学黄新杰 2012 年 12 月 2 乘法公式（第 1 课时） 15. 2. 1 平方差公式 教学任务分析 教 学 目 标 知识技能 1.学会推导平方差公式. 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行相关的运算. 数学思考 1.经历探索平方差公式的过程，体验知识的产生与发展，感觉利用归纳、 数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略. 2. 培养学生观察、归纳、概括的能力，发展语言表达能力. 解决问题 通过平方差公式的推导过程，体会数形结合法在问题解决中的作用
2、，同时 让学生学会发现问题，提出问题，然后解决问题，体会在解决问题的过程中与 他人合作的重要性. 情感态度 1.在探索平方差公式的过程中，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人 的见解，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 2. 在公式的学习及运用中积累解题的经验，体验成功的喜悦，提高学习数 学的积极性 . 重 点 平方差公式的推导和应用. 难 点 理解平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式. 教学流程安排 活动流程图内容和目的 活动一：创设情境，快乐起航 从生活中的实例引入，既能激发学生的学习兴趣， 又能为说明平方差公式的几何意义做好铺垫. 活动二：自主探索，获取新知 通过多项式的乘法法则践
3、行猜想，让感知得到理 性的检验，初步感知平方差公式的特征. 活动三：剖析公式，提示本质 引导学生分析公式的结构特征，是学生理解公式， 并能灵活运用公式解决问题. 活动四：数形结合，几何说理 通过“自制拼图板”验证平方差公式，从数形结 合的角度加深对公式理解. 活动五：巩固运用，内化新知 通过学生对平方差公式由易到难的运用，能灵活 运用平方差公式解决实际问题. 活动六：回味无穷，反思提升 在回顾知识中，借助作业和阅读材料来拓展学生 对平方差公式的理解运用. 教学过程设计 3 问题情境师生行为设计意图 一、创设情境，快乐起航 从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a 米的正 方形土地租给张老汉种植
4、.第二年，他对张老汉说：“我把 这块地的一边减少5 米，相邻的另一边增加5 米，继续租 给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一 听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧 . ”回到家中， 他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉， 你吃亏了！” 张老汉非常吃惊，你知道张老汉是否吃亏了吗？ 教师展示动画，提出 问题，引出课题，学生观 看. 本 次 活 动 应 重 点 关 注： （1） 学生是否从实际 问题中抽象出几何图形. （2） 学生以否感觉到 参与数学活动的趣味性. 从生活中的实例引 入，既能激发学生的学 习兴趣，又能为说明平 方差公式的几何意义做 好铺垫 . 二、自主探索，获取新
5、知 问题 1：做题比赛。看谁做得又对、又快！ （1）(x+3)(y+4) = （2）(x+3)(x-2) = （3）(m+2)(m-2) = （4）(2x+y)(2x-y)= 问题 2：同样是两个二项式相乘（3） （4）两小题的积 却只有两项，这是为什么呢？你发现了什么？ 追问 1：观察、分析第（3） （ 4）两小题左边的算式和 右边的结果，你能从中发现什么规律？ 观察： （3）(m+2)(m-2) =m 2-4=m2-22 （4）(2x+y)(2x-y)= 4x2-y2=(2x)2-y2 发现：左边的两个因式中有两项相同，另外两项符号 相反；右边是相同项的平方减去相反项的平方. 问题 3：如
6、果相同项用a，相反项分别用b和-b 表示， 那么这两个等式就可以写成：(a+b)(a-b)=a 2-b2 如果把 a,b分别看作两个数， 用文字语言怎样表述呢？ （两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方 差. ）这就是乘法中的“平方差公式” . 教师出示题目，学生 尝试用整式乘法的法则进 行计算。在做题过程中教 师观察学生的做题情况， 适当的进行鼓励. 教师提出问题，鼓励 学生发表自己的见解，其 他学生倾听并互相交流. 引导学生观察、 发现、 分析后两个小题的特征. 教师提出问题，引导 学生通过猜想得出平方差 公式的字母表达式. 并能 用自己的文字语言进行表 述 . 教师引导学生交流归
7、 纳出平方差公式. 本次活动中，教师应 重点关注： （1） 让学生充分经历探 究平方差的过程，让学生 感受到某些特殊形式的多 项式相乘，可以利用公式 帮助简化运算 . （2） 从特殊到一般的 数学思想方法及归纳的能 力的培养 . 以一组相关联但又 有区别的问题为载体， 让学生通过计算，观察 每个算式的特点和结果 的特点，挖掘题目之间 的共性，发现规律，猜 想公式，从而经历从一 般到特殊、从具体到抽 象的过程，体会归纳这 一数学思想方法. 通过多项式的乘法 法则践行猜想，让感知 得到理性的检验，体现 数 学 学 科 思 维 的 严 谨 性，让合情推理与演绎 推理并进，进而准确地 运 用 数 学
8、语 言 表 达 公 式 . 发展学生有条理地 思考的能力 . 4 问题情境师生行为设计意图 三、剖析公式，提示本质 这个公式是乘法运算中一个重要的公式，用它直接运 算很方便，但只有符合公式的结构特征才能运用. 问题 4：你能说出公式的结构特征吗？ 结构特征：左边右边 （a+b） （a-b）= a2 - b2 相同项相反项相同项 2 相反项 2 （学生先自主辨析， 再交流互补， 不断完善 . ） 教师给予评价，归纳. 本次活动中教师应重 点关注： （1） 让学生充分经历探 索平方差公式的结构特征 的过程 . （ 2） 学生在观察（a+b） （a-b） = a2 - b2时应让学 生有一个自主交流
9、探索的 时间和空间 . 分析公式的结构特 征，是学生理解公式， 并能灵活运用公式解决 问题的前提条件，让学 生自主辨析、合作交流、 共同总结得以明晰，既 体现了学生学习的主动 性，又为学生学习公式 进行了学法指导，可谓 “一箭双雕” . 四、数形结合，几何说理 问题 5： 现在，你知道张老汉是否吃亏了吗？为什么？ 追问：如果将张老汉所租的边长为a 米的正方形土地 的一边减少b 米(ba),另一边增加b 米，那样土地面积变 为多少？ 你能通过拼图来验证变化后的土地面积为a2-b2吗？ 五、巩固运用，内化新知 1.代一代 你能用和分别代替a 和 b表示平方差公式吗？ ( + )( - )= 2 -
10、 2 教师出示问题，引导 学生分析、思考，并结合 模型进行演示. 学生尝试 将图 1 重新拼图得到如图 2 所示，验证结论的正确 性. 教师巡视，学生展示. 学生口答后，师生共 同小结：其中的和可 以表示数、式 . 本次活动中教师应重点关 注： （1） 学生在活动中的参 与 意 识 及 回 答 问 题 的勇 气. （2） 让学生进一步熟悉 平方差公式的结构特征. 使学生直观地经历 图形变化的过程，从数 形结合的角度加深对公 式理解 . 这 道 开 放 题 的 设 计，以剖析a、b 的广泛 含义为目的，对于帮助 学生认清式公式的结构 特征起到事半功倍的作 用，在接下来的公式运 用中，相信学生会更
11、加 得心应手 . 5 问题情境师生行为设计意图 2.填一填 (a+b)(a-b) a b a 2-b2 结果 ( x + 2 ) ( x - 2 ) (-x+2y)(- x-2y) (m+2n)(2n -m) 学生尝试填空，教师 对结果进行适时评价. 在 此基础上让学生明白： （1） 在运用平方差公式时必须 先弄清 a、b，再依公式进 行运算 .（2）a、b 为分数， 负数，或整体时，一定要 括号 . （3）可以利用加法 的交换律进行变形转化. 本次活动中教师应重 点关注： （1）学生能否准确， 熟 练地找到a、b. （2）计算结果的规范 性. 此题旨在将式子中 的各项与公式中的a、b 进行对
12、照，进一步体会 字母 a、b 的含义，让学 生举一反三，加深对字 母广泛性的理解. 3.辨一辨 判断对错，如果有错，如何改正？ （1）(x-2)(x+2)=x 2-2 （） ； （2）(1 2 +4xy)(1 2 -4xy)= 1 4 -16x 2y2 （） ； （3）(-3a-2)(3a-2)=9 a 2-4 （） ； （4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9 （）. 学生独立思考，自主 完成练习， 教师给予评讲. 本次活动中教师应重 点关注： （1） 让学生注意观察 计算的结果 . （ 2）让学生养成认 真，细致的解题习惯. 对学生经常出现的 错误进行预设，防微杜 渐 . 有助于培
13、养学生良 好的解题习惯，获得成 功的体验 . 4.算一算 计算：（1） (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) ； （2） 10298 部分学生演板，其他 学生在纸上独立完成；教 师巡视，了解学生对知识 的掌握情况 . 本次活动中教师应重 点关注： （1） 学生在练习中的 反映出的问题有针对性地 讲解 . （2） 学生能灵活地运 用平方差公式去分析和解 决问题 . 通过转化，利用公 式计算，体会平方差公 式的便捷以及局限性. 初步发展学生综合运用 的能力 . 6 问题情境师生行为设计意图 5. 用一用 （1）填空： (5x+2y )( )=25x2-4y2 写出与 （-a+b）相乘能利用平
14、方差公式进行 计算的因式 _. 6.试一试 计算： (a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a1024+1) 学生讨论并展示自己 的成果，教师引导学生灵 活运用平方差公式进行解 题 . 本次活动中教师应重 点关注： （1） 学生能否用逆向 思维和发散思维去解决问 题. （2）计算的准确性、 熟练性、灵活性. 通过变式训练，让 学生学会逆向思维和发 散思维，从而加强学生 对 公 式 结 构 特 征 的 理 解. 六、回味无穷，反思提升 1 （1）本节课你学到了哪些数学知识? （2）本节课你感悟到了哪些数学思想方法? 2.作业 （1）必做题： 第 156 页习题 15.2 的第 1 题； 先
15、化简，再求值：x(x+2)-(x+1)(x-1)，其中 x=1 2 . （2） 选做题： 如图 3 所示，从边长为a 的大正方形纸板中， 挖去一个边长为b 的小正方形后，将其截成4 个相同的等 腰梯形，再拼成一个平行四边形. 那么通过计算平行四边形 的面积，可以验证公式 _. 3.阅读材料：拼图法验证平方差公式（见学案）. 学生反思后充分发表 自己的意见，教师倾听. 本次活动中教师应重 点关注： （1） 积极评价不同层 次的学生对本节课的不同 认识 . （2） 通过小结明确本 节课的主要内容，思想方 法，培养学生善于反思的 良好习惯 . 教师布置作业，学生 按要求独立完成. 本次活动中教师应重
16、 点关注： （ 1）不同层次的学生 对 平 方 差 公 式 所 掌 握程 度，应有针对性的分析与 点评 . （ 2）学生的动手能力 和数形结合思想的培养. 通过课内作业，巩 固所学的知识，加深学 生 对 平 方 差 公 式 的 理 解；课外练习，体现了 数学作业的发展性，满 足了学生多样化的学习 需要，再次利用数形结 合，进一步从几何意义 上深化平方差公式. 附：板书设计 15.2.1平方差公式 例题学生板演左边右边 (a+b)(a-b) = a 2-b2 两个数的和与这两个 数的差的积等于这两 个数的平方差 . 7 教案设计说明 一、教材分析 1、教材的地位和作用 平方差公式是在学习了有理数
17、运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及 整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式 的乘法， 是从一般到特殊的认知规律的典型范例. 对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法 的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、 函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法. 因此， 平方差公式在初中阶段的 教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式. 二、学情分析 学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号 及漏项等问题学生学习平方差公式的困
18、难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生 的理解因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加 深学生对公式的理解 三、教学设计说明 本节课的内容是： 乘法公式平方差公式。本章的学习目的主要是熟练掌握整式的运算， 并且这些知识是以后学习分式、根式运算以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科 及其他科学技术不可或缺的数学工具.而本节是整式乘法中乘法公式的首要内容，学生只有熟练掌握 了包括平方差公式在内的乘法公式及它的推导过程，才能实现本节乃至本章作为数学工具的重要作 用. 因此，在教学安排上，我选择从学生熟悉的求多边形面积入手，遵循从感性认识上
19、升为理性思维 的认知规律，得出抽象的概念，并在多项式乘法的基础上，再次推导公式，使原本枯燥的数学概念 具有一定的实际意义和说理性；之后安排了一系列的例题和练习题，把新知运用到实战中去，解决 简单的实际问题，这样既调动了学生学习的主动性，又锻炼了思维，整个过程由浅入深，在对所得 结论不断观察、讨论、分析中，加深对概念的理解，增强学生应用知识解决问题的能力，从而达到 较好的授课效果. 数学是一门抽象的学科，但数学是来源于实际生活的. 因此， 数学教育的目的是将数学运用到实 际生活中去，让学生深切感受到数学是有价值的科学，来源于生活，是其他科学的基础. 本节公式中 字母的含义对学生来讲很抽象，是本节的难点，也是学生运用公式解决实际问题的最大障碍，通过 巩固练习， 让学生逐步体会，为今后学习其他乘法公式做好准备. 乘法公式的逆用就是因式分解的重 要方法，因此，在本节补充练习中，已经开始渗透这部分知识，为后面学习因式分解做好铺垫. 本节课设计了一系列学生活动，老师作为引导者引领学生进入本节的知识结构中，展现了学生 自主学习的特点，在思考、讨论、口答、小结等环节中掌握新知.