江苏省徐州市第36中学2013年中考数学二模试卷(含解析).pdf

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1、2013 年江苏省徐州市第36 中学中考数学二模试卷 一、选择题： （本大题共8 题，每题3 分，满分24 分） 1 （3 分） （ 2013?松江区模拟）下列运算正确的是（） A2x 2x2=2 B（x 3 ） 2=x5 Cx 3?x6=x9 D（x+y ） 2=x2+y2 考点： 完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 专题 ： 计算题 分析： 根据合并同类项对A 进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对B 进行判断；根据同底数幂的乘法对C 进行判断；根据完全平方公式对D 进行判断 解答： 解： A、2x2x 2=x2，所以 A 选项错误； B、 （x 3）2=x6，所以

2、B 选项错误； C、x 3?x6=x9，所以 C 选项正确； D、 （x+y） 2=x2+2xy+y2，所以 D 选项错误 故选 C 点评： 本题考查了完全平方公式：（a b） 2=a2 2ab+b2也考查了合并同类项、同底数幂的乘法以及幂的乘 方与积的乘方 2 （3 分） （ 2013?松江区模拟）六个数6、2、 3、3、5、10 的中位数为（） A3B4C5D6 考点 ： 中位数 分析： 根据中位数的意义，将这组数据从小到大重新排列后，求出最中间两个数的平均数即可 解答： 解：把 6、2、3、3、5、10 从小到大排列为：2、3、3、 5、6、10， 最中间两个数的平均数是：（3+5） 2

3、=4， 则这组数据的中位数为4， 故选： B 点评： 此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小） 重新排列后， 最中间的那个数 （最 中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数 3 （3 分） （ 2012?包头）在 RtABC 中， C=90 ，若 AB=2AC ，则 sinA 的值是（） ABCD 考点 ： 特殊角的三角函数值；含30 度角的直角三角形 专题 ： 计算题 分析： 在 RTABC 中，根据AB=2AC ，可得出 B=30 ， A=60 ，从而可得出sinA 的值 解答： 解： C=90 ，AB=2AC ， B=30 ， A=60 ， 故可得 sinA= 故选

4、 C 点评： 此题考查了特殊角的三角函数值及直角三角形中，30 角所对直角边等于斜边一半，属于基础题，这 是需要我们熟练记忆的内容 4 （3 分）已知 O 的直径为8，直线 l 上有一点M，满足 OM=4 ，则直线l 与 O 的位置关系是（） A相交B相离或相交C相离或相切D相交或相切 考点 ： 直线与圆的位置关系 分析： 根据直线与圆的位置关系来判定判断直线和圆的位置关系：直线l 和 O 相交 ? dr；直线 l 和 O 相切 ? d=r；直线l 和 O 相离 ? dr分 OM 垂直于直线l，OM 不垂直直线l 两种情况讨 论 解答： 解： O 的直径为8， 半径为4， OM=4 ， 当 O

5、M 垂直于直线l 时，即圆心O 到直线 l 的距离 d=4=r， O 与 l 相切； 当 OM 不垂直于直线l 时，即圆心O 到直线 l 的距离 d 4=r， O 与直线 l 相交 故直线 l 与 O 的位置关系是相切或相交 故选 D 点评： 本题考查直线与圆的位置关系解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成 判定 5 （3 分） （2005?扬州）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学 习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（） A测量对角线是否相互平分B 测量两组对边是否分别相等 C 测量一组对角是否都为直角D测量其中四边形的三个角都

6、为直角 考点 ： 矩形的判定 专题 ： 方案型 分析： 根据矩形的判定定理有：（ 1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （ 2）有三个角是直角的四边形是矩形； （ 3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 解答： 解： A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形； B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形； C、一组对角是否都为直角，不能判定形状； D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形 故选 D 点评： 本题考查的是矩形的判定定理，难度简单 6 （3 分） （ 2013?松江区模拟）不等式组的解集是（） Ax3 Bx6 C3x6 Dx6 考点 ： 解一元一次不等式组 专题 ： 计算题 分

7、析： 先求出第一个不等式的解集，再求其公共解 解答： 解：， 由得， x6， 所以，不等式组的解集是3x6 故选 C 点评： 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的口 诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 7 （3 分）如图， O1、 O2内切于点 A，其半径分别是6 和 3，将 O2沿直线 O1O2平移至两圆外切时， 则点 O2移动的长度是（） A3B6C12 D6 或 12 考点 ： 圆与圆的位置关系；平移的性质 分析： 由题意可知点O2可能向右移，此时移动的距离为 O2的直径长；如果向左移，则此时移动的距离 为 O1的

8、直径长 解答： 解： O1、 O2相内切于点A，其半径分别是 6 和 3， 如果向右移：则点O2移动的长度是3 2=6， 如果向左移：则点O2移动的长度是6 2=12 点 O2移动的长度6 或 12 故选： D 点评： 此题考查了圆与圆的位置关系注意此题需要分类讨论，小心不要漏解 8 （3 分）如图， ABC 顶点坐标分别为A（ 1，0） 、 B（4，0） 、 C（1，4） ，将 ABC 沿 x 轴向右平移， 当点 C 落在直线 y=2x 6 上时，线段BC 扫过的面积为（） A4B8CD16 考点 ： 一次函数综合题 专题 ： 计算题 分析： 根据题意画出相应的图形，由平移的性质得到ABC

9、向右平移到 DEF 位置时， 四边形 BCFE 为平 行四边形， C 点与 F 点重合，此时C 在直线 y=2x6 上，根据 C 坐标得出CA 的长，即为FD 的长， 将 C 纵坐标代入直线y=2x 6 中求出 x 的值，确定出OD 的长，由ODOA 求出 AD ，即为 CF 的 长，平行四边形BCFE 的面积由底CF，高 FD，利用面积公式求出即可 解答： 解：如图所示， 当ABC 向右平移到 DEF 位置时， 四边形 BCFE 为平行四边形， C 点与 F 点重合， 此时 C 在直线 y=2x6 上， C（1，4） ， FD=CA=4 ， 将 y=4 代入 y=2x6 中得： x=5，即

10、OD=5 ， A（ 1，0） ，即 OA=1 ， AD=CF=OD OA=5 1=4， 则线段 BC 扫过的面积S=S平行四边形 BCFE=CF?FD=16 故选 D 点评： 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平移的性质，以及平行四边形面积 求法，做出相应的图形是解本题的关键 二、填空题： （本大题共10 题，每题3 分，满分30 分） 9 （3 分）计算： |+=+ 考点 ： 二次根式的加减法 分析： 首先进行绝对值的化简，然后合并即可 解答： 解：原式 =+ 故答案为：+ 点评： 本题考查了二次根式的加减，解答本题的关键是掌握绝对值的化简，比较简单 10 （ 3 分）

11、 （2009?铁岭）因式分解：a 3 4a=a（a+2） （a2） 考点 ： 提公因式法与公式法的综合运用 分析： 先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式进行二次分解因式 解答： 解： a 34a， =a（a 24） ， =a（a+2） （a2） 点评： 本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解 为止 11 （3 分） （2012?徐州）若a 2+2a=1，则 2a2+4a1= 1 考点 ： 因式分解的应用；代数式求值 分析： 先计算 2（a 2+2a）的值，再计算 2a 2+4a+1 解答： 解： a 2+2a=1， 2a 2+4a+1=

12、2（a2+2a） 1=1 点评： 主要考查了分解因式的实际运用，利用整体代入求解是解题的关键 12 （3 分） （2007?北京）若关于 x 的一元二次方程x 2+2xk=0 没有实数根， 则 k 的取值范围是 k 1 考点 ： 根的判别式 分析： 若关于 x 的一元二次方程x 2+2xk=0 没有实数根， 则=b24ac0，列出关于 k 的不等式， 求得 k 的取值范围即可 解答： 解：关于x 的一元二次方程x2+2x k=0 没有实数根， =b24ac0， 即 2 24 1 （ k） 0， 解这个不等式得：k 1 点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （ 1） 0? 方程有两

13、个不相等的实数根； （ 2）=0? 方程有两个相等的实数根； （ 3） 0? 方程没有实数根 13 （ 3 分） （2013?沛县一模）已知反比例函数的图象经过点（m，3）和（ 3，2） ，则 m 的值为 2 考点 ： 反比例函数图象上点的坐标特征 专题 ： 应用题 分析： 根据反比例函数图象上的点的特征，横坐标与纵坐标的积等于k 的值，列式计算即可得解 解答： 解：反比例函数的图象经过点（m， 3）和（ 3， 2） ， k=3m=（ 3） 2， 解得 m= 2 故答案为： 2 点评： 本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，根据反比例函数解析式的变形，k=xy 确定出横坐标 与纵坐标的积等

14、于k 的值是解题的关键 14 （ 3 分） （2013?松江区模拟）已知二次函数y=3x 2 的图象不动，把x 轴向上平移2 个单位长度，那么在 新的坐标系下此抛物线的解析式是y=3x 22 考点 ： 二次函数图象与几何变换 分析： 此题相当于坐标系不动，将图象向下平移两个单位，进而得出答案 解答： 解：将 y=3x 2 的图象向下平移2 个单位得： y=3x 22 故答案为： y=3x 22 点评： 此题考查了二次函数图象与坐标变化，可将坐标移动转化为图象向相反的方向运动来解答 15 （3 分） （2013?邗江区一模） 已知圆锥的底面半径为3cm，侧面积为 15 cm 2，则这个圆锥的高为

15、 4cm 考点 ： 圆锥的计算 专题 ： 计算题 分析： 先求出圆锥的底面圆的周长=2? 3=6 ，则展开后扇形的弧长为6 ，根据扇形的面积公式得到 ?6? AB=15 ，求出 AB=5 ，然后在RtOAB 中利用勾股定理即可计算出AO 的长 解答： 解：如图， OB=3cm， 圆锥的底面圆的周长=2? 3=6 ， 圆锥的侧面积为15 cm2， ?6? AB=15 ， AB=5， 在 RtOAB 中， OA=4（cm） 故答案为4 点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的母线长等于扇形的半径，圆锥的底面圆 的周长等于扇形的弧长也考查了弧长公式、扇形的面积公式以及勾股定理 1

16、6 （ 3 分） （2011?苏州）某初中学校的男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校男生、女 生以及教师的总人数为1200 人，则根据图中信息，可知该校教师共有108人 考点 ： 扇形统计图 分析： 首先求得教师所占百分比，乘以总人数即可求解 解答： 解：教师所占的百分比是：146%45%=9%， 则教师的人数是：1200 9%=108 故答案是： 108 点评： 本题主要考查了扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 17 （ 3 分） （2013?松江区模拟）在等腰RtABC 中， C=90 ，AC=BC ，点 D 在 AC 边上， DEAB ，垂 足为 E，AD

17、=2DC ，则 SADE： S四边形 DCBE的值为 考点 ： 等腰直角三角形 专题 ： 计算题 分析： 由题意画出图形，根据三角形ABC 为等腰直角三角形，DE 垂直于 AB ，得到一对直角相等，再由 一对公共角相等，得到三角形AED 与三角形ACB 相似，设AD=2 ，得到 CD=1 ，AC=3 ，利用勾股 定理求出AB ，AD ：AB 为相似比，三角形AED 与三角形ACB 面积之比为相似比的平方，求出面 积比，变形即可求出三角形ADE 与四边形DCBE 的比值 解答： 解：根据题意画出图形，如图所示， ABC 为等腰直角三角形，DEAB ， C=AED=90 ，AC=BC ， 由 AD

18、=2DC ，设 AD=2 ，DC=1，则 AC=3 ， 根据勾股定理得：AB=3， A= A， AED ACB ， =， SADE：SABC=4：18=2：9， 则 SADE：S四边形DCBE的值为 故答案为： 点评： 此题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是 解本题的关键 18 （3 分） （2011?德州）长为1，宽为 a的矩形纸片（） ，如图那样折一下，剪下一个边长等于矩 形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的 正方形 （称为第二次操作） ；如此反复操作下去若在第 n 此操作后， 剩下的

19、矩形为正方形，则操作终止 当 n=3 时， a 的值为或 考点 ： 一元一次方程的应用 专题 ： 压轴题；操作型 分析： 根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽所以首先需要判断矩形相 邻的两边中，哪一条边是矩形的宽当a1 时，矩形的长为1，宽为 a，所以第一次操作时所得 正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为1a，a由 1aa可知，第二次操作时所得正 方形的边长为1a，剩下的矩形相邻的两边分别为1a，a（ 1a）=2a1由于（ 1a）（ 2a 1）=2 3a，所以（ 1a）与（ 2a1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论又因为可以 进行三次操作，故分两种情况：

20、1a2a1； 1a2a1对于每一种情况，分别求出操作 后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a 的值 解答： 解：由题意，可知当a1 时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为 1a，所以第二次操作 时正方形的边长为1 a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1a，2a1此时，分两种情 况： 如果 1a 2a1，即 a，那么第三次操作时正方形的边长为2a1 经过第三次操作后所得的矩形是正方形， 矩形的宽等于1a， 即 2a1=（1a）（ 2a1） ，解得 a= ； 如果 1a 2a1，即 a，那么第三次操作时正方形的边长为1a 则 1a=（2a1）（ 1a） ，解得 a= 故

21、答案为或 点评： 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分两种情况：1a2a1； 1a2a 1分 别求出操作后剩下的矩形的两边 三、解答题： （本大题共7 题，满分20 分） 19 （ 10 分）计算： （1） （2） 考点 ： 分式的混合运算；实数的运算；零指数幂 分析： （ 1）分别根据0 指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （ 2）根据分式混合运算的法则进行计算即可 解答： 解： （1）原式 =1+32 =2； （2）原式 =（x+1） =（x+1） = 点评： 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 20 （ 10 分

22、） （1）解方程：； （2）解方程组： 考点 ： 解分式方程；解二元一次方程组 专题 ： 计算题 分析： （ 1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分 式方程的解； （ 2）方程组两方程变形后相加消去y 求出 x 的值，进而求出y 的值，即可得到方程组的解 解答： 解： （1）去分母得：1=x 13x+6， 解得： x=2， 经检验 x=2 是增根，原分式方程无解； （ 2）， 2+ 3 得： 11x=22，即 x=2， 将 x=2 代入得： 2+3y=1，即 y=1， 则方程组的解为 点评： 此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，解分式方

23、程的基本思想是“ 转化思想 ” ，把分式方 程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 21 （ 2009?无锡一模）如图，在梯形ABCD 中， AD BC， D=90 ，BEAC ，E 为垂足， AC=BC （1）求证： CD=BE ； （2）若 AD=3 ，DC=4，求 AE 考点 ： 梯形；全等三角形的判定与性质 专题 ： 计算题；证明题 分析： （ 1）根据平行线的性质可以得到DAC= BCE ，再根据已知就可以证明BCE CAD ，然后根 据其对应边相等就可以得到； （ 2）首先根据勾股定理的AC 的长，再根据（1）的结论就可以求出AE 解答： （ 1）证明： AD BC， DAC

24、= BCE，而 BEAC ， D=BEC=90 ，AC=BC ， BCE CAD CD=BE （2）解：在 RtADC 中，根据勾股定理得AC=5， BCE CAD ， CE=AD=3 AE=AC CE=2 点评： 此题把全等三角形放在梯形中，利用梯形的性质证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质和勾 股定理解题 22 （ 2011?宿迁）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测 试成绩如下表（单位：环）： 第一次第二次第三次第四次第五次第六次 甲10 8 9 8 10 9 乙10 7 10 10 9 8 （1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是9环，乙

25、的平均成绩是9环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； （3）根据（ 1） 、 （2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由 （计算方差的公式：s 2= ） 考点 ： 方差；算术平均数 分析： （ 1）根据图表得出甲、乙每次数据得出数据综合，再求出平均数即可； （ 2）根据平均数，以及方差公式求出甲乙的方差即可； （ 3）根据实际从稳定性分析得出即可 解答： 解： （1）甲：（10+8+9+8+10+9 ） 6=9， 乙： （10+7+10+10+9+8 ） 6=9； （2） s 2 甲 = =； s 2 乙= =； （3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成

26、绩相等，说 明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适 点评： 此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键 23 （ 2012?无锡）在 1，2， 3，4，5 这五个数中，先任意选出一个数a，然后在余下的数中任意取出一个数 b，组成一个点（a，b） ，求组成的点 （a，b）恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的概率（请用 “ 画树状图 ” 或“ 列表 ” 等方法写出分析过程） 考点 ： 列表法与树状图法 分析： 首先根据题意列出表格，然后根据表格求得所有等可能的情况与组成的点（a，b）恰好横坐标为偶 数且纵坐标为奇数的情况

27、，然后利用概率公式求解即可求得答案 解答： 解：列表得： 1 2 3 4 5 1 （1，2）（1，3）（1， 4）（ 1，5） 2 （2，1） （2，3）（2， 4）（ 2，5） 3 （3，1） （3，2）（3， 4）（ 3，5） 4 （4，1） （4，2）（4，3）（ 4，5） 5 （5，1） （5，2）（5，3）（5， 4） 组成的点（ a，b）共有 20 个，其中横坐标为偶数、纵坐标为奇数的点有6 个， 6 分 组成的点横坐标为偶数、纵坐标为奇数的概率为 8 分 点评： 此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的 结果，列表法适合于两步完成的事件

28、；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此 题是放回实验还是不放回实验 24一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm ，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点 A 到地面 的距离 AD=8cm ，旅行箱与水平面AE 成 60 角，求拉杆把手处C 到地面的距离 （精确到1cm） （参考数据： ） 考点 ： 解直角三角形的应用 分析： 作 CD AE 于点 D， 在直角 ACD 中利用三角函数即可求得CD 的长，再加上 AD 的长度即可求解 解答： 解：作 CDAE 于点 D 在直角 ACD 中， AC=AB+BC=50+30=80cm sinCAD=， CD=AC ?sin

29、CAD=80 =40 69.2（cm） 则拉杆把手处C 到地面的距离是：69.2+8=77.2 77cm 点评： 此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计 算 25 （ 2009?达州）如图，直线y=kx+b 与反比例函数y=（x0）的图象相交于点A、点 B，与 x 轴交于 点 C，其中点A 的坐标为（2，4） ，点 B 的横坐标为4 （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求 AOC 的面积 考点 ： 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 ： 压轴题；数形结合；待定系数法 分析： 根据 A 的坐标为（ 2，4） ，先求出 k=8，再根据反比例函数

30、求出B 点坐标，从而利用待定系 数法求一次函数的解析式为y=x+6 ，求出直线与x 轴的交点坐标后，即可求出 SAOC=CO?yA= 6 4=12 解答： 解： （1）点 A（ 2，4）在反比例函数图象上 4= k=8， （1 分） 反比例函数解析式为y=； （2 分） （2） B 点的横坐标为4， y=， y=2， B（ 4，2） （ 3 分） 点 A（ 2，4） 、点 B（ 4，2）在直线y=kx+b 上 4=2k+b 2=4k+b 解得 k=1 b=6 直线 AB 为 y=x+6 （ 4 分） 与 x 轴的交点坐标C（ 6，0） SAOC= CO?yA= 6 4=12 （6 分） 点评：

31、 主要考查了用待定系数法求函数解析式和反比例函数中 k 的几何意义，这里体现了数形结合的 思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴 作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=|k| 26 （2013?松江区模拟）某公司销售一种商品，这种商品一天的销量y（件）与售价x（元 /件）之间存在着 如图所示的一次函数关系，且40 x 70 （1）根据图象，求y 与 x 之间的函数解析式； （2）设该销售公司一天销售这种商品的收入为w 元 试用含x 的代数式表示w； 如果该商品的成本价为每件30 元，试问当售价定为每件多少元时，该销售公司一天销售该商品的盈利

32、为 1 万元？（收入=销量 售价） 考点 ： 二次函数的应用；一元二次方程的应用；一次函数的应用 专题 ： 应用题 分析： （ 1）找出图象上两点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式； （ 2）根据收入 =销量 售价即可列出代数式； 根据盈利 =收入成本列出函数解析式求最大值即可 解答： 解： （1）设函数解析式为y=kx+b （k 0） ， 函数图象过点（50，350） ， （60，300） ， ， 解得， y=5x+600； （2）由题意得：w=（ 5x+600）?x=5x2+600x； 由题意得：盈利=收入成本 =（ 5x 2+600x）（ 5x+600） ?30=10000， 化简得

33、： x 2150x+5600=0 ， 解得： x1=70，x2=80（舍去） 答：当售价定为每件70 元时，该销售公司一天销售该商品的盈利为1 万元 点评： 本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是掌握用待定系数法求解析式，并根据题意列出函数 关系式，难度一般 27 （ 2009?哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标 为（ 3，4） ，点 C 在 x 轴的正半轴上，直线AC 交 y 轴于点 M， AB 边交 y 轴于点 H （1）求直线AC 的解析式； （2）连接 BM ，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线ABC 方向以 2 个单

34、位 /秒的速度向终点C 匀速运动， 设PMB 的面积为S（S 0） ，点 P 的运动时间为t 秒，求 S与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取 值范围）； （3）在（ 2）的条件下，当t 为何值时， MPB 与 BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线 AC 所夹锐 角的正切值 考点 ： 一次函数综合题 专题 ： 压轴题 分析： （ 1）已知 A 点的坐标，就可以求出OA 的长，根据OA=OC ，就可以得到C 点的坐标，根据待定系 数法就可以求出函数解析式 （ 2）点 P 的位置应分P 在 AB 和 BC 上，两种情况进行讨论当P 在 AB 上时， PMB 的底边 PB 可以用时间

35、t 表示出来，高是MH 的长，因而面积就可以表示出来 （ 3）本题可以分两种情况进行讨论，当P 点在 AB 边上运动时：设OP 与 AC 相交于点Q 连接 OB 交 AC 于点 K，证明 AQP CQO，根据相似三角形的对应边的比相等，以及勾股定理可以求出 AQ ，QC 的长，在直角OHB 中，根据勾股定理，可以得到tanOQC 当 P 点在 BC 边上运动时， 可证 BHM PBM 和PQC OQA，根据相似三角形的对应边的比 相等，就可以求出OK， KQ 就可以求出 解答： 解： （1）过点 A 作 AEx 轴垂足为E，如图（ 1） A（ 3，4） ， AE=4 OE=3 ， OA=5，

36、四边形ABCO 为菱形， OC=CB=BA=0A=5 ， C（5，0） （1 分） 设直线 AC 的解析式为：y=kx+b ， ， ， 直线 AC 的解析式为y=x+ （1 分） （2）由（ 1）得 M 点坐标为（ 0，） ， OM=， 如图（ 1） ，当 P点在 AB 边上运动时 由题意得OH=4， HM=OH OM=4 =， s= BP?MH=（5 2t） ? ， s=t+（0 t） ，2 分 当 P 点在 BC 边上运动时，记为P1， OCM= BCM ，CO=CB ，CM=CM ， OMC BMC ， OM=BM=， MOC= MBC=90 ， S=P1B?BM= （2t5）， S=t

37、（t 5） ，2 分（ 3）设 OP 与 AC 相交于点Q 连接 OB 交 AC 于点 K， AOC= ABC ， AOM= ABM ， MPB+ BCO=90 ， BAO= BCO， BAO+ AOH=90 ， MPB= AOH ， MPB= MBH 当 P 点在 AB 边上运动时，如图（2） MPB= MBH ， PM=BM ， MH PB， PH=HB=2 ， PA=AH PH=1， t=， （1 分） ABOC， PAQ= OCQ， AQP= CQO， AQP CQO， =， 在 RtAEC 中， AC=4， AQ=，QC=， 在 RtOHB 中， OB=2， ACOB，OK=KB ，

38、AK=CK ， OK=，AK=KC=2， QK=AK AQ=， tanOQC=， （1 分） 当 P 点在 BC 边上运动时，如图（3） ， BHM= PBM=90 ， MPB= MBH ， tanMPB=tan MBH ， =，即=， BP=， t=， （1 分） PC=BC BP=5 由 PCOA，同理可证 PQC OQA ， =， =， CQ=AC=， QK=KC CQ=， OK=， tanOQK= （1 分） 综上所述，当t=时， MPB 与 BCO 互为余角，直线OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值为 当 t=时， MPB 与 BCO 互为余角，直线OP 与直线 AC 所夹锐角的正切

39、值为1 点评： 本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，求三角函数值的问题可以转化为求直角三角形的 边的比的问题 28如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（5，0） ，与 y 轴交于点B，过点 B 作 BCy 轴， BC 与函数 y=ax 2+bx+c 的图象交于点 C（ 2，4） （1）设函数y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴的另一个交点为D，求 BDA 的面积 （2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接PA、PC，分别过 A、C 作 PC、PA 的平行线交于点Q，连接 PQ试 探究： 是否存在点P，使得 PQ2=PA 2+PC2？请说明理由 是否存

40、在点P，使得 PQ 取得最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时点P 的坐标；若不存在， 请说明理由 考点 ： 二次函数综合题 专题 ： 压轴题 分析： （ 1）求出点 B 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答，然后令y=0，解关于 x 的一元二 次方程求出点D 的坐标，再求出AD 的长，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （ 2）先判断出四边形AQCP 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得PC=AQ ，然后根据 勾股定理逆定理判断出PAQ=90 ，再求出 APC=90 ，然后求出 AOP 和PBC 相似，设OP=x， 表示出 BP，然后根据相似三角形对应边成比例列式

41、整理，再利用根的判别式解答； 连接 AC ， 与 PQ相交于点 E， 先求出点 E 的坐标，再根据平行四边形的对角线互相平分可得PE=EQ， 再根据垂线段最短可知PQy 轴时 PQ 的值最小，然后写出点P 的坐标即可 解答： 解： （1） BCy 轴，点 C（2，4） ， 点 B 的坐标为（ 0，4） ， 又抛物线还经过点A（5，0） ，C（2， 4） ， ， 解得， 所以，抛物线的解析式为y=x 2+ x+4， 令 y=0，则x2+ x+4=0， 整理得， x 22x15=0， 解得 x1=3， x2=5， 所以，点D 的坐标为（3，0） ， AD=5 （ 3） =5+3=8， BDA 的面

42、积 =AD ?OB= 8 4=16； （2） PCAQ ，CQPA， 四边形AQCP 是平行四边形， PC=AQ ， PQ 2=PA2+PC2， PQ 2=PA2+AQ2， PAQ=90 ， APC=180 PAQ=180 90 =90 ， 又 PBC=AOP=90 ， APO+ PAO=90 ， APO+ BPC=90 ， PAO= BPC， AOP PBC， =， 设 OP=x，表示出BP=4x， =， 整理得， x 24x+10=0 ， =b24ac=（ 4） 24 1 10=240， 该方程没有实数根， 不否存在点P，使得 PQ2=PA2+PC2；如图，连接AC，与 PQ 相交于点E， A（ 5，0） ， C（2，4） ， 点 E 的坐标为（，2） ， 四边形AQCP 是平行四边形， PE=EQ， 由垂线段最短可知PQy 轴时 PE 最小， PQ 的值最小， 此时，点P 的纵坐标与点E 的纵坐标相同，为2， 点 P 的坐标为（ 0，2） ， 故存在点P（0，2） ，使得 PQ 取得最小值 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的判定与性质， 相似三角形的判定与性质，根的判别式的利用，垂线段最短，（2）确定出PQ 与 y 轴垂直时取值 最小是解题的关键