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1、2019 届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线. 在我们所 学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过 O上某一点 A，证明 l 是 O的切线，只需连OA ，证明 OA l 就行了，简称“连 半径，证 垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例 1如图，在 ABC中， AB=AC ，以 AB为直径的 O交 BC于 D，交 AC于 E，B为切点的切线交OD 延长线于F. 求证： EF与 O相切 . 证明： 连结 OE ，AD. AB是 O的直径， AD BC. 又 AB=BC ， 3= 4. BD=DE
2、 ， 1= 2. 又 OB=OE ，OF=OF ， BOF EOF （SAS ）. OBF= OEF. BF与 O相切， OB BF. OEF=90 0. EF与 O相切 . 说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例 2 如图， AD是 BAC的平分线， P为 BC延长线上一点，且PA=PD. 求证： PA与 O相切 . 证明一： 作直径 AE ，连结 EC. AD是 BAC的平分线， DAB= DAC. PA=PD ， 2=1+DAC. 2=B+ DAB ， 1=B. 又 B=E， 1=E AE是 O的直径， AC EC ， E+EAC=90 0. 1+EAC=90 0. 即 OA P
3、A. PA与 O相切 . 证明二： 延长 AD交 O于 E，连结 OA ，OE. AD是 BAC的平分线， BE=CE ， OE BC. E+BDE=90 0. OA=OE ， E=1. PA=PD ， PAD= PDA. 又 PDA= BDE, 1+PAD=90 0 即 OA PA. PA与 O相切 说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例 3 如图， AB=AC ，AB是 O的直径， O交 BC于 D，DM AC于 M 求证： DM 与 O相切 . 证明一： 连结 OD. AB=AC ， B=C. OB=OD ， 1=B. 1=C. OD AC. DM
4、AC ， DM OD. DM 与 O相切 证明二： 连结 OD ，AD. AB是 O的直径， AD BC. 又 AB=AC, 1=2. DM AC ， 2+4=90 0 OA=OD ， 1=3. 3+4=90 0. 即 OD DM. DM 是 O的切线 说明： 证明一是通过证平行来证明垂直的. 证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分 利用已知及图上已知. 例 4 如图，已知：AB是 O的直径，点C在 O上，且 CAB=30 0，BD=OB ，D在 AB的延长线上 . 求证： DC是 O的切线 证明： 连结 OC 、BC. OA=OC ， A=1=30 0. BOC= A+1=60 0
5、. 又 OC=OB ， OBC 是等边三角形. OB=BC. D C D OB=BD ， OB=BC=BD. OC CD. DC是 O的切线 . 说明： 此题是根据圆周角定理的推论3 证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好. 例 5 如图， AB是 O的直径， CD AB ，且 OA 2=OD OP. 求证： PC是 O的切线 . 证明： 连结 OC OA 2=OD OP ，OA=OC ， OC 2=OD OP ， OC OP OD OC . 又 1=1， OCP ODC. OCP= ODC. CD AB ， OCP=90 0. PC是 O的切线 . 说明： 此题是通过证三角形相似证明垂直的
6、 例 6 如图， ABCD是正方形， G是 BC延长线上一点，AG交 BD于 E，交 CD于 F. 求证： CE与 CFG的外接圆相切 . 分析： 此题图上没有画出CFG的外接圆，但CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点， 为此我 们取 FG的中点 O ，连结 OC ，证明 CE OC即可得解 . 证明： 取 FG中点 O，连结 OC. ABCD 是正方形， BC CD ， CFG是 Rt O是 FG的中点， O是 Rt CFG的外心 . OC=OG， 3= G ， AD BC， G= 4. AD=CD ，DE=DE ， ADE= CDE=45 0， ADE CDE （SAS ） 4=1，
7、1=3. 2+3=90 0, 1+2=90 0. 即 CE OC. CE与 CFG的外接圆相切 二、若直线l 与 O没有已知的公共点，又要证明l 是 O的切线，只需作OA l ， A 为垂足，证 明 OA是 O的半径就行了，简称： “作垂直；证半径” 例 7 如图， AB=AC ，D为 BC中点， D与 AB切于 E点. 求证： AC与 D相切 . 证明一： 连结 DE ，作 DFAC ，F是垂足 . AB是 D的切线， DE AB. DFAC ， DEB= DFC=90 0. AB=AC ， B=C. 又 BD=CD ， BDE CDF （AAS ） DF=DE. F 在 D上. AC是 D
8、的切线 证明二： 连结 DE ，AD ，作 DFAC ，F 是垂足 . AB与 D相切， DE AB. AB=AC ， BD=CD ， 1=2. DE AB ，DFAC， DE=DF. F在 D上. AC与 D相切 . 说明： 证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的， 这类习题多数与角平分线有关. 例 8 已知：如图，AC ，BD与 O切于 A、B，且 AC BD ，若 COD=90 0 . 求证： CD是 O的切线 . 证明一： 连结 OA ，OB ，作 OE CD ，E为垂足 . AC，BD与 O相切， ACOA ，BD OB. ACBD ，
9、 1+ 2+3+4=180 0. COD=90 0， 2+3=90 0， 1+4=900. 4+5=90 0. 1=5. Rt AOC RtBDO. OD OC OB AC . OA=OB ， OD OC OA AC . 又 CAO= COD=90 0 ， AOC ODC ， 1=2. 又 OA AC ，OE CD, OE=OA. E点在 O上. CD是 O的切线 . 证明二： 连结 OA ，OB ，作 OE CD于 E，延长 DO交 CA延长线于F. AC ，BD与 O相切， O AC OA ，BD OB. AC BD ， F=BDO. 又 OA=OB ， AOF BOD （ AAS ） O
10、F=OD. COD=90 0， CF=CD ， 1=2. 又 OA AC ，OE CD ， OE=OA. E点在 O上. CD是 O的切线 . 证明三： 连结 AO并延长，作OE CD于 E，取 CD中点 F，连结 OF. AC与 O相切， AC AO. ACBD ， AO BD. BD与 O相切于 B， AO的延长线必经过点B. AB是 O的直径 . AC BD ，OA=OB ，CF=DF ， OF AC ， 1=COF. COD=90 0， CF=DF ， CFCDOF 2 1 . 2=COF. 1=2. OA AC ，OE CD ， OE=OA. E点在 O上. CD是 O的切线 说明：
11、 证明一是利用相似三角形证明1=2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明1=2. 证 明三是利用梯形的性质证明1=2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线 . 此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解. 以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考. 以下是武汉市2007-2010中考题汇编： （2007 中考）22( 本题8分) 如图，等腰三角形ABC中，ACBC10，AB12。以BC为直径作O交 AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E。 (1)求证：直线EF是O的切线； (2)求CF : CE的值。 （2008 中考） 22 （本题 8 分）如图， AB
12、是 O的直径， AC是弦， BAC的平分线AD交 O于点 D，DE AC ，交 AC的延长线于点E，OE交 AD于点 F求证： DE是 O的切线； 若 3 5 AC AB ，求 AF DF 的值。 （2009 中考） 22 （本题满分8 分） 如图，RtABC中，90ABC，以AB为直径作O交AC边于点D，E是边BC的中点，连 接DE （1）求证：直线DE是O的切线； （2）连接OC交DE于点F，若OFCF，求tanACO的值 （2010 中考） 22如图，点O在 APB的平分线上，O与 PA相切于点C (1) 求证：直线PB与 O相切； (2) PO的延长线与 O交于点 E若 O的半径为 3，PC=4 求弦 CE的长 A B D C E F G O (第 22 题图 ) F E D C B A O C E B A O F D