二轮专题复习：带电粒子在磁场中的运动.pdf

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1、二轮专题复习：带电粒子在磁场中的运动 基础知识归纳 1. 洛伦兹力 运动电荷在磁场中受到的力叫洛伦兹力. 通电导线在磁场中受到 的安培力是在导线中定向移动的电荷受到的洛伦兹力的合力的表现. (1) 大小：当vB时，F0 ；当vB时，FqvB . (2) 方向：用左手定则判定，其中四指指向正电荷运动方向 ( 或负电荷运动的反方向 )， 拇指所指的方向是正电荷受力的 方向. 洛伦兹力垂直于磁感应强度与速度所决定的平面. 2.带电粒子在磁场中的运动(不计粒子的重力 ) (1) 若vB，带电粒子做平行于磁感线的匀速直线运动. (2) 若v B，带电粒子在垂直于磁场方向的平面内以入射速度v 做匀速圆周运

2、动. 洛伦兹力提供带电粒子做圆周运动所需的向 心力，由牛顿第二定律qvB R v 2 得带电粒子运动的轨道半径R qB mv ，运动的周期T 2 qB m . 3.电场力与洛伦兹力的比较 电场力洛伦兹力 存在条件作用于电场中所有电荷 仅对运动着的且速度不与 磁场平行的电荷有洛伦兹 力的作用 大小 FqE与电 荷运动速度 无关 fBqv与电荷的运动速度 有关 方向力的方向与电场方向相力的方向始终和磁场方向 同或相反，但总在 同一直线上 垂直 对速度的改 变 可 以改变电荷运动速度 大小和方向 只 改变电荷速度的方 向，不改变速度的大 小 做功 可以对 电荷做功， 能改变电荷动能 不能对 电荷做功

3、， 不能改变电荷的动能 偏转轨迹 静电偏转，轨迹为抛物 线 磁偏转，轨迹为圆弧 重点难点突破 一、对带电体在洛伦兹力作用下运动问题的分析思路 1. 确定对象，并对其进行受力分析. 2.根据物体受力情况和运动情况确定每一个运动过程所适用的 规律( 力学规律均适用 ). 总之解决这类问题的方法与纯力学问题一样，无非多了一个洛伦 兹力，要注意： (1) 洛伦兹力不做功，在应用动能定理、机械能守恒定律时要特 别注意这一点； (2) 洛伦兹力可能是恒力也可能是变力. 二、带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定 1. 圆心的确定一般有以下四种情况： (1) 已知粒子运动轨迹上两点的速度方向，作

4、这两速度的垂线， 交点即为圆心 . (2) 已知粒子入射点、入射方向及运动轨迹上的一条弦，作速度 方向的垂线及弦的垂直平分线，交点即为圆心. (3) 已知粒子运动轨迹上的两条弦，作出两弦垂直平分线，交点 即为圆心 . (4) 已知粒子在磁场中的入射点、 入射方向和出射方向 ( 不一定在 磁场中 ) ，延长(或反向延长 ) 两速度方向所在直线使之成一夹角，作 出这一夹角的角平分线， 角平分线上到两直线距离等于半径的点即为 圆心. 2.半径的确定和计算 . 圆心找到以后，自然就有了半径，半径的 计算一般是利用几何知识， 常用到解三角形的方法及圆心角等于弦切 角的两倍等知识 . 3.在磁场中运动时间

5、的确定，利用圆心角与弦切角的关系，或 者是四边形内角和等于360 计算出圆心角的大小，由公式t 360 T可求出运动时间，有时也用弧长与线速度的比t v l . 三、两类典型问题 1. 极值问题：常借助半径R和速度v(或磁场B) 之间的约束关系 进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，求出临界点，然 后利用数学方法求解极值. 注意： (1) 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的 轨迹与边界相切； (2) 当速度v一定时，弧长 ( 或弦长 )越长，圆周角越大，则带电 粒子在有界磁场中运动的时间越长. 2.多解问题：多解形成的原因一般包含以下几个方面： (1) 粒子电性不确定； (

6、2) 磁场方向不确定； (3) 临界状态不唯一； (4) 粒子运动的往复性等 . 典例精析 1. 在洛伦兹力作用下物体的运动 【例 1】一个质量m0.1 g 的小滑块，带有q5 10 4 C 的电荷，放置在倾角 30 的光滑斜面上 ( 斜面绝 缘) ，斜面置于B0.5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直 纸面向里， 如图所示 . 小滑块由静止开始沿斜面下滑，其斜面足够长， 小滑块滑至某一位置时，要离开斜面. 问： (1) 小滑块带何种电荷？ (2) 小滑块离开斜面时的瞬时速度多大？ (3) 该斜面的长度至少多长？ 【解析】 (1) 小滑块沿斜面下滑过程中，受到重力mg、斜面支持 力FN和洛伦兹力F.

7、若要小滑块离开斜面，洛伦兹力F方向应垂直斜 面向上，根据左手定则可知，小滑块应带负电荷. (2) 小滑块沿斜面下滑时，垂直斜面方向的加速度为零，有qvB FNmgcos 0K s 5 u . co m 当FN0 时，小滑块开始脱离斜面，此时qvBmgcos 得v 4 3 1055.0 2 3 10101.0 cos qB mg m/s=2 3m/s (3) 下滑过程中，只有重力做功，由动能定理得mgxsin 2 1 mv 2 斜面的长度至少应是x 5.0102 )32( sin2 22 g v m1.2 m 【思维提升】 (1) 在解决带电粒子在磁场中运动的力学问题时， 对粒子进行受力分析、

8、运动情况分析是关键； (2) 根据 力学特征，选用相应的力学规律求解，但由于洛伦兹 力与速度有关，要注意动态分析. 【拓展 1】如图所示，质量为m的带正电小球， 电荷量为q，小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上，杆与水平方 向成 角，与球的动摩擦因数为 ，此装置放在沿水平方向、磁感应 强度为B的匀强磁场中， 若从高处将小球无初速度释放，小球在下 滑过 程中加速度的最大值为gsin ，运动速度的最大值为 )cos sin ( Bq mg . 【解析】 分析带电小球受力如图，在释放处a， 由于v00，无洛伦兹力， 随着小球加速， 产生垂直杆 向上且逐渐增大的洛伦兹力F，在b处，Fmgcos ， F

9、f0 此时加速度最大，amgsin ，随着小球继续加速，F继续增大， 小球将受到垂直杆向下的弹力FN，从而恢复了摩擦力，且逐渐增大， 加速度逐渐减小，当Ff与mgsin 平衡时，小球加速结束，将做匀 速直线运动，速度也达到最大值vm. 在图中c位置：FNmgcos Bqvm mgsin Ff FfFN 由 式解得vm )cos sin ( Bq mg 2. 带电粒子在有界磁场中的运动 【例 2】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内 分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O 为原点，如图所示 .在y0、00、xa的区域有垂直纸面向外的匀强磁 场，两区域内的磁感应强度大小均为B. 在O点处有一

10、小孔，一束质 量为m、带电荷量为q(q0) 的粒子沿x轴经小孔射入磁场， 最后打在 竖直和水平的荧光屏上，使荧光屏发亮. 入射粒子的速度可取从零到 某一最大值之间的各数值. 已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为25， 在磁场中运动的 总时间为 7T/12 ，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做 圆周运动的周期 . 试求两个荧光屏上亮线的范围( 不计重力的影响 ). 【解析】 如右图所示， 粒子在磁感应强度为 B的匀强磁场中运动的半径为r qB mv 速度小的粒子将在xa的区域中 运动的时间，由题意可知 5 2 2 1 t t ，t1t2 12 7T 由此解得t1 6 T ，

11、t2 12 5T 再由对称性可得 OCM60 ，MCN60 MCP360 12 5 150 所以NCP150 60 90 即为 1/4 圆周. 因此圆心C在x轴上 . 设速度为最大值时粒子的轨道半径为R， 由直角 COC可得 2Rsin 60 2a，R 3 32a 由图可知OP2aR，因此水平荧光屏发亮范围的右边界坐标x 2(1 3 3 )a 【思维提升】 带电粒子在不同的有界磁场中的连续运动问题，一 是要分别根据进入和离开磁场的点速度方向确定带电粒子做匀速圆 周运动的圆心， 进而画出带电粒子在有界磁场中的运动轨迹；二是找 准由一个磁场进入另一个磁场这一关键点，确定出这一关键点上速度 的方向；

12、三是要注意磁场方向和大小变化引起带电粒子的运动轨迹的 变化. 【拓展 2】下图是某装置的垂直截面 图，虚线A1A2是垂直截面与磁场区边界面 的交线，匀强磁场分布在A 1A 2的右侧区 域，磁感应强度B0.4 T，方向垂直纸 面向外，A1A2与垂直截面上的水平线夹角 为 45 . 在A1A2左侧，固定的薄板和等大的挡板均水平放置，它们与垂 直截面交线分别为S1、S2，相距L0.2 m ，在薄板上P处开一小孔， P与A1A2线上点D的水平距离为L. 在小孔处装一个电子快门. 起初快 门开启，一旦有带正电微粒刚通过小孔，快门立即关闭，此后每隔 T3.0 10 3 s 开启一次并瞬间关闭，从 S1S2

13、之间的某一位置水平发 射的一速度为v0的带正电微粒，它经过磁场区域后入射到P处小孔. 通过小孔的微粒与挡板发生碰撞而反弹，反弹速度大小是碰前的0.5 倍. (1) 经过一次反弹直接从小孔射出的微粒，其初速度v0应为多 少？ (2) 求上述微粒从最初水平射入磁场到第二次离开磁场的时 间.( 忽略微粒所受重力影响，碰撞过程中无电荷转移. 已知微粒的荷 质比 m q 1.0 10 3 C/kg. 只考虑纸面上带电微粒的运动 ) 【解析】 (1) 如下图所示，设带正电微粒在S1、S2之间任意点Q 以水平速度v0进入磁场， 微粒受到的洛伦兹力为f，在磁场中做圆周 运动的半径为r，有： ks5u.co m

14、 fqv0B f r mv 2 0 由式解得r qB mv0 ， 欲使微粒能进 入小孔，半径r的取值范围为 Lr2L 代入数据得 80 m/sv0160 m/s 欲使进入小孔的微粒与挡板一次相碰返回后能通过小孔，还必须 满足条件： 00 5.0v L v L nT，其中n1,2,3, 由 式可知，只有n2 满足条件，即有 v0100 m/s (2) 设微粒在磁场中做圆周运动的周期为T0，从水平进入磁场到 第二次离开磁场的总时间为t，设t1、t4分别为带电微粒第一次、第 二次在磁场中运动的时间，第一次离开磁场运动到挡板的时间为t2， 碰撞后再返回磁场的时间为t3，运动轨迹如图所示，则有 T0 0

15、 2 v r t1 4 3 T0 t2 0 2 v L t3 0 5.0 2 v L t4 4 1 T0 解得tt1t2t3t42.8 10 2 s ? 3.带电粒子在有界磁场运动的临界问题 【例 3】如图所示，一个质量为m，电荷量大小 为q的带电微粒 ( 忽略重力 ) ，与水平方向成45 射入 宽度为d、磁感应强度为B、方向垂直纸面向内的匀强磁场中，若使 粒子不从磁场MN边界射出，粒子的初速度大小应为多少？ 【解析】带电粒子垂直B进入匀强磁场做匀速圆周运动，若不从 边界MN射出，粒子运动偏转至MN边界时v与边界平行即可 .由左手 定则可知：若粒子带正电荷，圆周轨迹由AB；若粒子带负电荷， 圆

16、周轨迹由AC，如图所示，圆周轨迹的圆心位置可根据粒子线速 度方向垂直半径的特点，作初速度v0的垂线与边界MN的垂线的交点 即为圆轨迹的圆心O 1与O2. 粒子带正电荷情况：粒子沿圆轨迹AB运动方向改变了 45 ，由 几何关系可知 AO1B45 ，那么 dR1R1cos 45 R1 Bq mv0 将式代入 式得 v0 m dqB)22( 即粒子若带正电荷， 初速度满足 0v0 m dqB)22( 时将不从磁场边 界MN射出. 粒子带负电荷情况：粒子沿圆轨迹AC运动，方向改变了 135 ， 由几何关系知 AO2C 135 ，O2AF45 ，那么 dR2R2sin 45 R2 Bq mv0 将式代入

17、 式得 v0 m dqB)22( 即粒子若带负电荷，初速度满足0v0 m dqB)22( 时，将不从磁 场边界MN射出. 【思维提升】(1) 充分理解临界条件； (2) 题中没说明电荷的电性， 应分正、负两种电性加以分析. 【拓展 3】 未来人类要通过可控热核反应取得能源， 要持续发生热核反应必须把温度高达几百万摄氏度以 上的核材料约束在一定的空间内. 约束的办法有多种， 其中技术上相对成熟的是用磁场约束，称为“托卡马克”装置. 如图 所示为这种装置的模型图：垂直纸面的有环形边界的匀强磁场(b区 域) 围着磁感应强度为零的圆形a区域，a区域内的离子向各个方向 运动，离子的速度只要不超过某值，

18、就不能穿过环形磁场的外边界而 逃逸，从而被约束 . 设环形磁场的内半径R10.5 m ， 外半径R21.0 m ， 磁场的磁感应强度B01.0 T ，被约束的离子比荷q/m4.0 10 7 C/kg. (1) 若a区域中沿半径OM方向射入磁场的离子不能穿过磁场，则 离子的速度不能超过多大？ (2) 若要使从a区域沿任何方向射入磁场的速率为2.0 10 7 m/s 的 离子都不能越出磁场的外边界，则b区域磁场的磁感 应强度B至少要有多大？ 【解析】(1) 速度越大轨迹圆半径越大， 要使沿OM 方向运动的离子不能穿越磁场， 则其在环形磁场内的运动轨迹圆中半 径最大者与磁场外边界圆相切，如图所示.

19、设轨迹圆的半径为r1，则 r 2 1 R 2 1 (R2r1) 2 代入数据解得r10.375 m 设沿该圆运动的离子速度为v1，由牛顿运动定律有qv1B0 1 2 1 r v m 解得v1 m qrB 10 1.5 107 m/s (2) 当离子以v2的速度沿与内边界圆相切的方向射入磁场，且轨 迹与磁场外边界圆相切时， 以该速度沿各个方向射入磁场区的离子都 不能穿出磁场边界，如图所示. 设轨迹圆的半径为r2，则r2 2 12 RR 0.25 m 解得B 2 2 qr mv 2.0 T 易错门诊 4. 带电粒子在磁场中的运动及功能关系 【例 4】如图所示，匀强磁场中放置一与磁感线平 行的薄铅板

20、， 一个带电粒子垂直进入匀强磁场，以半径 R120 cm做匀速圆周运动，第一次垂直穿过铅板后以半径R219 cm 做匀速圆周运动，则带电粒子能够穿过铅板的次数是多少？( 每次穿 过铅板时阻力大小相同 ) 【错解】 因为R1 qB mv 1 ，所以v1 m qBR 1 同理：v2 m qBR 2 设粒子每穿过铅板一次，速度减少v， 则 vv1v2 m qB (R1R2) 故粒子能够穿过铅板的次数为n 21 11 RR R v v 20 次 【错因】粒子每穿过一次铅板应该是损失的动能相同，故粒子每 穿过一次铅板减少的速度不同. 速度大时，其速度变化量小，速度小 时，速度变化量大 . 【正解】 粒子每穿过铅板一次损失的动能为 E)( 22 1 2 12 2 2 1 22 2 2 2 1RR m Bq mvmv 穿过铅板的次数 N 2 2 2 1 2 1 k 2 1 2 1 RR R E mv 10.26 次，取n10 次 【思维提升】 对于物理问题必须弄清问题的本质，此题中每次穿过铅 板后，应该是损失的动能相同，而不是速度的变化相同.