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1、高考 高中教育 直线运动中的追及和相遇问题 一、相遇和追及问题的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 二、解相遇和追及问题的关键 1. 画出物体运动的情景图 2. 理清三大关系 （ 1）时间关系： 0 ttt BA （2）位移关系： 0AB xxx （ 3）速度关系： vA=vB 两者速度相等往往是物体间能否追上或（两者） 距离最大、 最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 三、追及、相遇问题的分析方法: A. 画出两个物体运动示意图，根据两个物体的运动性质, 选择同一参照物, 列出两个物体的位移方程; B. 找出两个物体在运动时间上的关系 C. 找出两个物体在运动位移
2、上的数量关系 D. 联立方程求解 . 说明 : 追及问题中常用的临界条件: 速度小者加速追速度大者, 速度在接近， 但距离在变大。 追上前两个物体速度相等时, 有最大距离 ; 速度大者减速追赶速度小者, 速度在接近，但距离在变小。追上前在两个物体速度相等时, 有最 小距离 . 即必须在此之前追上, 否则就不能追上. 四、典型例题分析： ( 一) 匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v1v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+x，全程只相遇( 即追上 ) 一次。 【例 1】 一小汽车从静止开始以3m/s 2 的加速度行驶， 恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过求： (1) 小汽车从开
3、动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ (2) 小汽车什么 时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ ( 二) 匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v1 v2） ： 1当 v1 v 2时，两者距离变小； 2当 v1= v2时，若满足x1x2+x，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇 两次。 【例 2】一个步行者以6m/s 的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车，当他距离公共汽车25m 时，绿灯亮了，汽车以1m/s 2 的加速度匀加速启动前进，问：人能否追上汽车？若能追上，则追车过 程中人共跑了多少距离？若不能追上，人和车最近距离为多少？ 高考 高中教育
4、( 三) 匀减速运动追匀速运动的情况（开始时v1 v2） ： 1当 v1 v2时，两者距离变小； 2当 v1= v2时，若满足x1x2+x，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇 两次。 【例 3】汽车正以10m/s 的速度在平直公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s 的速度做 同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为 6 m/s 2 的匀减速运动，汽车恰好不碰上 自行车。求关闭油门时汽车离自行车多远？ ( 四) 匀速运动追匀减速运动的情况（开始时v1v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+x，全程只相遇一次。 【例 4】当汽车B在汽车A前方 7m时
5、，A正以vA=4m/s 的速度向前做匀速直线运动，而汽车B此时速 度vB=10m/s，并关闭油门向前做匀减速直线运动，加速度大小为a=2m/s 2。此时开始计时，则 A追上 B需要的时间是多少？ 针对训练 ：（课后作业：每天一个题。做题时，可尝试用多种解法，如：一. 公式法（推荐）；二. 图象法；三 . 极值法；四 .相对运动法） 1.现有一辆摩托车先由静止开始以2.5m/s2 的加速度做匀加速运动，后以最大行驶速度25m/s 匀速行 驶，追赶前方以15m/s 的速度同向匀速行驶的卡车。已知摩托车开始运动时与卡车的距离为200m， 则： （1）追上卡车前二者相隔的最大距离是多少？（2）摩托车经
6、过多少时间才能追上卡车？ 2.为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。已知某高速公路的最高限速v120km/h。 假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即 反应时间） t0.50s。刹车时汽车受到阻力的大小f 为汽车重力的0.40 倍。该高速公路上汽车间的距 离 s 至少应为多少？ 3.动车从 A 站以 2 1 0.5/am s 的加速度匀加速度启动，当速度达到180km/h 时开始做匀速行驶，接 近 B 站以大小为 2 2 0.5/am s 的加速度匀减速刹车，静止时恰好正点到达B 站。某次，动车在A 站 因故晚出发了3min，以 2
7、 1 0.5/am s 匀加速启动后，当速度达到216km/h 开始匀速运动，接近B 站 以大小为 2 2 0.5/am s 的加速度匀减速刹车，静止时也恰好正点到达B 站。求 A，B 两站间的距离。 高考 高中教育 4.一辆轿车违章超车，以108 km/h 的速度驶入左侧逆行道时，猛然发现正前方80 m 处一辆卡车正以 72 km/h 的速度迎面驶来，两车司机同时刹车，刹车加速度大小都是10 m/s2，两司机的反应时间(即 司机发现险情到实施刹车所经历的时间)都是 t.试问 t 是何数值，才能保证两车不相撞? 5.一辆巡逻车最快能在10 s 内由静止加速到最大速度50 m/s，并能保持这个速
8、度匀速行驶，问该巡逻 车在平直的高速公路上由静止追上前方2000 m 处正以 35 m/s 的速度匀速行驶的汽车，至少需要多少 时间？ 6.一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以v=12m/s 的速度匀速行驶的货车有违章行为时， 决定前去追赶。经过t0=2s，警车发动起来，以加速度a=2m/s2 做匀加速运动，若警车最大速度可达 vm=16m/s，问：（ 1）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？（2）警车发动起来以后至 少多长时间可以追上货车？ 7.平直的公路上，甲车匀速行驶，速度为10m/s，当它经过乙车处时，乙车从静止开始以a=1m/s 2 的 加速度作匀加速运动，方向与甲
9、车运动方向相同。求（1）乙车追上甲车前，它们的最大距离？（2） 乙车经过多长时间追上甲车？ 8.甲车以 10 m/s 的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s 的速度与甲车平行同向做匀速直线运 动，甲车经过乙车旁边时开始以0.5 m/s2 的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：(1)乙车在追上甲 车前，两车相距的最大距离；(2)乙车追上甲车所用的时间。 9.一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决 定前去追赶，经过5.5 s 后警车发动起来，并以一定的加速度做匀加速运动，但警车行驶的最大速度 是 25 m/s警车发动后刚好用12 s
10、的时间追上货车，问： （1）警车启动时的加速度多大？（2）警车 在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ 10.甲、乙两车在一条直线上沿相同方向运动，甲在乙前 56 mx 处，甲以初速度 1 16 m/sv 、加速 度大小为 2 1 2 m/sa 匀减速刹车，乙以初速度 2 4 m/sv 、加速度大小为 2 2 1 m/sa 做匀加速运动， 求： （ 1）乙车追上甲车前二者间的最大距离；（2）乙车追上甲车所需时间. 11.一辆汽车在平直的公路上以20/的速度匀速行驶， 其后 1000m 处的摩托车要在起动后分钟内 追上汽车，若摩托车所能达到的最大速度为30m/s，则它的加速度至少为多大？
11、12.A、B 两辆汽车在笔直的公路上同向行驶当B 车在 A 车前 84m 处时， B 车速度为4 m/s，且正以 2 m/s2 的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B 车加速度突然变为零A 车一直以20 m/s 的速度 做匀速运动，经过12s 后两车相遇问B 车加速行驶的时间是多少？ 高考 高中教育 13.汽车以 3 m/s2 的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s 的速度沿同方向做匀速直线运动的自行车 恰好从汽车的旁边通过.求： （1）汽车在追上自行车前多长时间与自行车相距最远？（2）汽车经多 长时间追上自行车？ 14.客车以 v = 20 m/s 的速度行驶，突然发现同轨道的正前方s
12、= 120 m 处有一列货车正以v0 = 6m/s 的速度同向匀速前进，于是客车紧急刹车，若客车刹车的加速度大小为a = 1m/s2，做匀减速运动， 问： （1）客车是否会与货车相撞？（2）若会相撞，则在什么时刻相撞？客车位移为多少？若不相撞，则 客车与货车的最小距离为多少？ 15. A、B 两列火车在同一轨道上同向行驶，A 车在前，速度vA=20m/s ，B 车在后，速度vB=30m/s。 因大雾，能见度很低，B 车在距 A 车 750m 处才发现前方A 车，这时 B 车立即刹车。已知B 车在进 行火车刹车测试时发现，若车以30m/s 的速度行驶时刹车后至少要前进1800m 才能停下，问：
13、B 车刹车的最大加速度为多大?计算说明 A 车若按原来速度前进，两车是否会相撞?能见度至少达到多 少米时才能保证两辆火车不相撞? 针对训练参考答案 1.（1）由题意得摩托车匀加速运动最长时间 s a v t m 01 1 ，位移 msm a v s m 002125 2 0 2 1 ， 所以摩托车在达到最大速度之前没有追上卡车。 当追上卡车前二者速度相等时相距最大，设从开始经过t2 时间速度相等，最大间距为Sm ，于是有 匀 vat2 ，则 : s a v t6 2 匀 最大间距 mattvssm245 2 1 )( 2 220匀 （2）设从开始经t 时间摩托车追上卡车，则有 tvsttv a
14、 v m m 匀01 2 )( 2 解得t=32.5s 2.在反应时间内，汽车做匀速运动，运动的距离 s1=vt （2 分） 设刹车时汽车的加速度的大小为a，汽车的质量为m，有 kmgma （2 分） 自刹车到停下，汽车运动的距离 2 2 2 s a v （2 分） 所求距离 s=s1+s2 1.6 102m（或 156m） 3.从启动到速度达到v1 =180km/s50m/s 时用时 100s，开始减速到静止B 站用时也为100s。 匀速行驶时间设为t1 .由 v-t 图可得： 11 (2200)/ 2 AB svt -(1) 第二次启动到速度达v2 =216km/s，用时 120s，减速刹
15、车到B 站用时仍为120s，匀速行驶时间设为t2, 则： 高考 高中教育 22 (2240)/ 2 AB svt （ 2） 又两次均正点到达，则 12 200420tt （ 3） 由上面 3 式可解得 60 AB skm sAB 表示 AB 间的距离 4.设轿车行驶的速度为v1，卡车行驶的速度为v2， 则 v1108 km/h=30 m/s ， v272 km/h=20 m/s ， 在反应时间 t 内两车行驶的距离分别为s1、s2，则 s1v1t s2v2t 轿车、卡车刹车所通过的距离分别为s3、s4 则 s3 102 30 2 22 1 a v m45 m s4 202 10 2 22 2
16、a v m20 m 为保证两车不相撞， 必须s1s2 s3s480 m 将代入解得t0.3 s 5.150s 6.（1）当警车与货车速度相等时，两者距离最大。由 at1=v，得 t1=6s 此时 matttvx60 2 1 )( 2 110 (2)警车发动到达到最大速度需要t2= vm/a=8s 此时货车位移x1= v(t0+ t2)=120m 警车位移 matx64 2 12 22 即警车还未追上货车，此时二者相距x= x1- x2=56m 还需要时间 s vv x t m 14 3 所以警车从发动到追上货车的最短时间为t= t2+ t3=22s 7.（1）当时，甲乙间距离最大 乙 smV/
17、10 1分 mXXX matX mVtX statV 50 50 2 1 100 10 2 1 1 11 乙甲 乙 甲 乙 4分 高考 高中教育 （2）时，乙追上甲当乙甲 XX 1分 st att 20 2 1 10 2 1分 8.(1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大，设该减速过程时间为t，则 v 乙 v 甲 at 解 得： t12 s， 此时甲、乙间距离为x v 甲 t 1 2at2 v 乙 t1012 m 1 20.5122m412 m36 m. (2)设甲车减速到零所需时间为t1，则有：t1 v甲 a 20 s. t1 时间内， x 甲 v甲 2 t1 10 2 20 m10
18、0 m， x 乙 v 乙 t1420 m80 m.此后乙车运动时间t2 x甲 x乙 v乙 20 4 s5 s， 故乙车追上甲车所需时间tt1t225 s. 9.（1）设 5.5s内货车位移为s0，则（1 分） 若 12 s 内警车一直做匀加速直线运动，由得：（ 1 分） （2）当警 车的速度达到货车的时,两者间的距离最大,设所需时间为t2,由得 :t2=4 s（1 分） 两车间的最大距离为：（2 分） 10.（1）在开始阶段甲车在前、乙车在后，且甲车速度比乙车大，两车距离一直增大，设运动时间为 t 时速度相同，设为 v 应用速度公式 0t vvat ，有 1122 va tva t 代入数据解
19、得 4 st ， 11 8 m/svvat 此后甲车减速、乙车还在加速，两车距离缩短，所以在速度相等时两车距离最大，最大距离为 2222 12 12 12 56 m80 m 22 vvvv xxxx aa （2）甲车停下还需时间为 2 1 0 4 s v t a ，运动位移为 2 3 1 0 16 m 2 v x a 在此时间内乙车位移为 2 422 2 1 40 m 2 xvta t 显然此时乙车还没有追上甲车，此后甲车停止运动，设乙车追上甲车需时间为 1 t ，则有 高考 高中教育 2 2 1 2 12 1 1 01 22 v xv ta t a 联立解得 1 12 st 11. 12.设 A 车的速度为 A v ，B 车加速行驶时间为 1 t ，两车在 t时相遇则有 tvS AA = （1）2 分 )-)(+(+ 2 1 += 11 2 11 ttatvattvS BBB （2）3 分 （也可分步写） 式中 st12= ， B S、 A S 分别为 A、B 两车相遇前行驶的位移 13. 14 高考 高中教育