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1、mnhjll yyyyyy 江苏省高中数学竞赛预赛试题 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间120分钟。 第卷（选择题共 36 分） 一 选择题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36分。在每小题给出的4 个选项中，只有一 项是符合题目要求的 . 1 函数 y=f(x) 的图像按 a =(4， 2)平移后， 得到的图像的解析式为y=sin(x+4)+2， 那么 y=f(x) 的解析式为 ( ) A y=sinxB y=cosxCy=sinx+2 Dy=cosx+4 解: y=sin(x+ 4)+ 4, 即 y=cos x.故选 B 2如果二次方程 x
2、 2pxq=0 (p，qN*)的正根小于 3，那么这样的二次方程有 ( ) A5 个B6 个C7 个D8个 解：由=p 2+4q0，qb0，那么 a 2+1 b(ab)的最小值是 （） A 2 B 3 C4 D 5 解：由 ab0，可知 00，an10，所以 anan1=4(n2)，a1=2. 因此, 数列an是以 2 为首项， 4 为公差的等差数列，其通项公式为an=2+4(n1)， 故填 an=4n2 (nN*) 9函数 y=|cosx|+|cos2 x| (xR) 的最小值是 解：令 t=|cos x|0，1，则 y=t+|2t 21| 当 2 2 t1 时，y=2t2+t1=2(t+1
3、 4) 29 8，得 2 2 y2 当 0t3+10时，MM= 于是，当 16a3+ 10，即 a16，3+ 10时，MN 故填16，3+ 10 三、解答题： 13 已知点 M 是 ABC 的中线 AD 上的一点，直线BM 交边 AC 于点 N，且 AB 是 NBC 的外接圆的切线，设 BC BN= ，试求 BM MN（用 表示） (15 分) 证明：在BCN 中，由 Menelaus定理得 BM MN NA AC CD DB=1 因为 BD=DC，所以 BM MN= AC AN 6 分 由ABN=ACB，知ABN ACB，则 AB AN= AC AB= CB BN 所以， AB AN AC
4、AB= CB BN 2，即AC AN= BC 2 BN 2 12 分 因此， BM MN= BC 2 BN 2 又 BC BN= ，故 BM MN = 2 15 分 A B C D N M -2-146-357 -1 y x 1 2 3 1 2 3 O mnhjll yyyyyy 14求所有使得下列命题成立的正整数n (n2)： 对于任意实数 x1，x2，xn，当 i=1 n xi=0 时，总有 i= 1 n xixi+10 (其中 xn+1=x1)(15 分) 解：当 n=2 时，由 x1+x2=0，得 x1x2+x2x1=2x1 20故 n=2时命题成立； 3 分 当 n=3 时，由 x1
5、+x2+x3=0，得 x1x2+x2x3+x3x1= (x1+x2+x3) 2(x2 1 +x 2 2+x 2 3) 2 = (x2 1+x 2 2+x 2 3) 2 0故 n=3 时命题成立 6 分 当 n=4 时，由 x1+x2+x3+x4=0，得 x1x2+x2x3+x3x4+x4x1=(x1+x3)(x2+x4)=(x2+x4) 20 故 n=4 时，命题成立9 分 当 n5 时，令 x1=x2=1，x4=2，x3=x5=xn=0，则 i= 1 n xi=0，但 i= 1 n xixi+1=10，故 n5 时命题不成立 综上可知，使命题成立的n=2，3，415 分 15设椭圆的方程 x
6、 2 a 2+y 2 b 2=1(ab0)，线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直的焦点弦，若 在左准线上存在点R，使 PQR 为正三角形，求离心率e 的 取值范围，并用e表示直线 PQ 的斜率 (24 分) 解：如图，设线段 PQ 中点 M，过点 P、M、Q 分别作准 线的垂线，垂足分别为点P ，M ，Q ，则 |MM |= 1 2 (|PP |+|QQ |)= 1 2 ( |PF| e +|QF| e )= |PQ| 2e 6 分 假设存在点 R，则|RM|= 3 2 |PQ|，且 |MM |RM| ， 即 |PQ| 2e 3 2 |PQ|， 所以， e 3 3 12分 于是， c
7、osRMM = |MM | |RM| = 1 2e 1 3e ， cotRMM = 1 3e 21 在图中， |PF| 3 3 时，过点 F 作斜率为 1 3e 21的焦点弦 PQ，它的中垂线交左准线于 R，由上述过 程知， |RM|= 3 2 |PQ|故PQR为正三角形21 分 根据对称性，当 |FP| |FQ|时，有 kPQ= 1 3e 21 所以，椭圆 x 2 a 2+ y 2 b 2=1(ab0)的离心率 e的范围是 ( 3 3 ，1)，且直线 PQ 的斜率为 1 3e 21 24 分 16 若 n (nN*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005，求 n 的最小值，并 说明理
8、由； ( 12 分) 若 n (nN*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于20022005，求 n 的最小值，并说 明理由 ( 24 分) 解：因为2005=1728+125+125+27=12 3+53+53+33，故 n=4 存在， n min4 6 分 10 3=1000，113=1331，123=1728，133=2169，1230，故 x9 200510 3103=5，200510393=276，200510383=493，200510373730故 x10； 200511 3930，故 x 11； 200512 3730，故 x12 所以 n=3 不可能 综上所述， nmin=
9、412 分 设 n 个立方体的棱长分别是x1，x2， xn，则 mnhjll yyyyyy x 3 1+x 3 2+x 3 n=2002 2005 由 20024(mod 9)，431(mod 9)，得 2002 2005420054668 3+1(43)668 44(mod 9) 又当 xN* 时，x 30，1(mod 9)，所以 x3 1 4(mod 9)，x3 1+x 3 2 4(mod 9)，x3 1+x 3 2+x 3 3 4(mod 9) 式模 9，并由、式可知n418 分 而 2002=103+103+13+1 3 ，则 2002 2005=20022004 (10 3+103+13+13)=(2002668)3 (10 3+103+13+13) =(2002 668 10) 3+(2002668 10) 3+(2002668)3+(2002668)3 故 n=4 为所求的最小值24 分