六年级奥数图形问题精选讲解.pdf

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1、E D C B A 圆和组合图形 (1) 一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为 . 2. 右图是一个直角等腰三角形, 直角边长 2 厘米, 图中阴影部分面积是 平方厘米 . 3.一个扇形圆心角120, 以扇形的半径为边长画一个正方形, 这个正方形的 面积是 120 平方厘米 . 这个扇形面积是 . 4.如图所示 , 以 B、C 为圆心的两个半圆的直径都是2 厘米, 则阴影部分的周 长是厘米.( 保留两位小数 ) 5. 三角形 ABC 是直角三角形 , 阴影部分的面积比阴影部分的面积小28 平方厘米 . AB长 40 厘米, BC 长厘米. 6 厘米 2 C A B 6. 如 右 图 , 阴

2、影 部 分 的 面 积为 2 平方 厘米 , 等 腰 直 角 三 角 形的 面积 为 . 7.扇形的面积是 31.4 平方厘米 , 它所在圆的面积是157 平方厘米 , 这个扇形 的圆心角是度. 8. 图中扇形的半径 OA=OB=6 厘米.45AOB, AC 垂直 OB 于 C, 那么图 中阴影部分的面积是平方厘米 .)14.3( 9.右图中正方形周长是20 厘米. 图形的总面积是平方厘米 . 10.在右图中 ( 单位: 厘米), 两个阴影部分面积的和是平方厘米 . 6 C B A O 45 12 15 20 二、解答题 11.ABC 是等腰直角三角形 . D 是半圆周的中点 , BC 是半圆

3、的直径 , 已知: AB=BC=10, 那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3) 12.如图, 半圆 S1的面积是 14.13 平方厘米 , 圆 S2的面积是 19.625 平方厘米 . 那么长方形 ( 阴影部分的面积 )是多少平方厘米 ? 13.如图, 已知圆心是 O, 半径 r=9 厘米,1521, 那么阴影部分的面积 是多少平方厘米 ?)14.3( 14.右图中 4 个圆的圆心是正方形的4 个顶点 , 它 们的公共点是该正方形的中心. 如果每个圆的半径都 是 1 厘米, 那么阴影部分的总面积是多少平方厘米? C B A 0 1 2 A 10 D C B S1 S2 答案 1. 18平

4、方厘米 . 由图示可知 , 正方形两条对角线的长都是6 厘米, 正方形由两个面积相等的 三角形构成 . 三角形底为 6厘米, 高为 3厘米, 故正方形面积为182 2 1 36(平 方厘米 ). 2. 1.14 平方厘米 . 由图示可知 , 图中阴影部分面积为两个圆心角为45的扇形面积减去直角三 角形的面积 . 即14. 1 2 1 222 360 45 214.3 2 ( 平方厘米 ). 3. 125.6平方厘米 . 由已知条件可知圆的半径的平方为120 平方厘米 . 故扇形面积为 6 .125 360 120 12014.3( 平方厘米 ). 4. 3.09 厘米. 边结 BE、CE, 则

5、 BE=CE=BC= 1( 厘米), 故三角形 BCE 为等边三角形 . 于是 60BCEEBC. BE=CE=045. 1 360 60 214.3(厘米). 于是阴影部分周长 为09.312045. 1( 厘米). 5. 32.8 厘米. 从图中可以看出阴影部分加上空白部分的面积是半圆的面积, 阴影部分 加上空白部分的面积是三角形ABC 的面积 . 又已知的面积比的面积小28 平 方厘米 , 故半圆面积比三角形ABC 的面积小 28 平方厘米 . 半圆面积为628 2 1 2 40 14. 3 2 ( 平方厘米 ), 三角形 ABC 的面积为 628+28=656( 平方厘米 ). BC

6、的长为8.32402656( 厘米). 6. 13 9 37平方厘米 . 将等腰直角三角形补成一个正方形, 设正方形边长为 x 厘米, 则圆的半径为 2 x 厘米. 图中阴影部分面积是正方形与圆的面积之差的 8 1 , 于是有 28 2 1 14.3 2 2 xx, 解得 13 3200 2 x. 故等腰直角三角形的面积为 13 9 37 2 1 13 3200 (平方厘米 ). A 10 D C B O E 7. 72. 扇形面积是圆面积的 5 1 1574 .31, 故扇形圆心角为360的 5 1 即72. 8. 5.13. 三角形 ACO 是一个等腰直角三角形 , 将 AO 看作底边 ,

7、 AO 边上的高为 3262AO( 厘米), 故三角形 ACO 的面积为936 2 1 ( 平方厘米 ). 而扇 形面积为13.14 360 45 614. 3 2 ( 平方厘米 ), 从而阴影部分面积为 14.13- 9=5.13(平方厘米 ). 9. 142.75. 由正方形周长是 20 厘米, 可得正方形边长也就是圆的半径为5420(厘 米). 图形总面积为两个 4 3 圆面积加上正方形的面积 , 即 75.14252 4 3 514.3 22 ( 平方厘米 ). 10. 90平方厘米 . 图中阴影部分的面积是从两个以直角三角形直角边为直径的半圆及一个直 角三角的面积和中减去一个以直角三

8、角形斜边为直径的半圆的面积即 90 2 1 14. 3)220( 2 1 1512 2 1 14. 3)216( 2 1 14. 3212 22 2 ( 平方厘米 ). 11. 如图作出辅助线 , 则阴影部分的面积为三角形 AED 的面积减去正方形BEDO 的面积再加上圆面积的 4 1 . 三角形 AED 的面积是 2 1 )210()21010(; 正方形面 积是 2 )210(, 圆面积的 4 1 是 2 )210(14.3 4 1 , 故阴影部分面积为 : 22 )210(14.3 4 1 )210( 2 1 )210()21010( 125.32625.19255.37（平方厘米） .

9、 12. 由已知半圆 S1的面积是 14.13 平方厘米得半径的平方为 914.3213.14(平方厘米 ), 故半径为 3 厘米, 直径为 6 厘米. 又因圆 S2的面积为 19.625平方厘米 , 所以 S2半径的平方为 25. 614.3625.19( 平方厘米 ), 于是它的半径为 2.5 厘米, 直径为 5 厘米. 阴影部分面积为55)56( 平方厘米 ). 13. 因 OA=OB, 故三角形 OAB 为等腰三角形 , 即 150215180,151AOBOBA, 同理150AOC, 于是602150360BOC. 扇形面积为 :39.42914.3 360 602 ( 平方厘米 )

10、. 14. 正方形可以分割成两个底为2, 高为 1 的三角形 , 其面积为 2212 2 1 ( 平方厘米 ). 正方形内空白部分面积为4 个 4 1 圆即一个圆的面积与正方形面积之差, 即 2212 ( 平方厘米 ), 所有空白部分面积为)2(2平方厘米 . 故阴影部分面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差, 即为 8)2(22412 (平方厘米 ). 十二、圆和组合图形（2） 一、填空题 1. 如图, 阴影部分的面积是 . 2.大圆的半径比小圆的半径长6厘米, 且大圆半径是小圆半径的4倍. 大圆的 面积比小圆的面积大平方厘米 . 3.在一个半径是 4.5 厘米的圆中挖去两个直径都是2

11、厘米的圆 . 剩下的图形 的面积是平方厘米 .(取 3.14, 结果精确到 1 平方厘米 ) 4.右图中三角形是等腰直角三角形, 阴影部分的面 积是 (平方厘米 ). 5. 如图所求 , 圆的周长是16.4 厘米, 圆的 面积与长方形的面积正好相等. 图中阴影部分 的周长是厘米.)14.3( 6.如图,151的圆的周长为62.8 厘米, 平行四边形的面积为100 平方厘 米. 阴影部分的面积是 . 2 1 2 7.有八个半径为1 厘米的小圆 , 用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形 ( 如图). 图中黑点是这些圆的圆心. 如果圆周率1416.3, 那么花瓣图形的面积 是平方厘米 . 8.已知:

12、 ABCD是正方形 , ED=DA=AF=2 厘米, 阴影部分的面积是 . 9.图中, 扇形 BAC的面积是半圆 ADB 的面积的 3 1 1倍, 那么,CAB 是度. 10.右图中的正方形的边长是2 厘米, 以圆弧为分界线的甲、 乙两部分的面积 差(大减小 ) 是平方厘米 .(取 3.14) E D C B A G F O D C A B 2 甲 乙 二、解答题 11. 如图: 阴影部分的面积是多少?四分之一大圆的半径为r.( 计算时圆周率 7 22 ) 取 12.已知右图中大正方形边长是6 厘米, 中间小正方形边长是4 厘米. 求阴影 部分的面积 . 13.有三个面积都是 S的圆放在桌上

13、, 桌面被圆覆盖的面积是2S+2,并且重合 的两块是等面积的 , 直线 a 过两个圆心 A、 B, 如果直线 a 下方被圆覆盖的面积是 9, 求圆面积 S的值. 14.如图所示 , 一块半径为 2 厘米的圆板 , 从平面上 1 的位置沿线段 AB、BC、 CD 滚到 2 的位置, 如果 AB、BC、CD的长都是 20 厘米, 那么圆板的正面滚过的 面积是多少平方厘米 ? 120 A B C D 1 2 A B C a 1 O C B A E D 答案 1. 6. 两个扇形面积相等 , 故阴影部分面积等于一个长为3, 宽为 2 的长方形面积 , 为 6 个平方单位 . 2. 188.4. 小圆的

14、半径为2)14(6( 厘米 ), 大圆的半径为842(厘米). 大圆的面 积比小圆的面积大4.18814.3)28( 22 ( 平方厘米 ). 3. 57. 305.57214.3)22(14.35.4 22 ( 平方厘米 )57( 平方厘米 ). 4. 10.26. 从圆中可以看出 , 阴影部分的面积是两个半圆的面积与三角形面积之差, 即 26.106 2 1 )26(14.3 22 (平方厘米 ). 5. 20.5. 设圆的半径为 r, 则圆面积即长方形面积为 2 r, 故长方形的长为rDC. 阴影部分周长rrrrrrADBABCDC2 4 5 2 4 1 )( 5.204.16 4 5

15、(厘米). 6. 6 5 48(平方厘米 ). 如图, 连结 OA、AC, 过 A 点作 CD 的垂线交 CD 于 E. 三角形 ACD 的面积为502100( 平方厘米 ). 又圆半径为10)214.3(28.6(厘米), 因为151, 又 OA=OD, 故30215AOC, 扇形 AOC 的面积为 6 1 261014. 3 360 302 ( 平方厘米 ). 三角形 AOC的面积为25250( 平方厘米 ). 方形面积为 6 1 125 6 1 26( 平方厘米 ), 从而阴影部分的面积为 6 5 48 6 1 150( 平 E D C B A G F 方厘米 ). 7. 19.1416

16、. 花瓣图形的结构是正方形的面积, 加上四个 4 3 圆面积后 , 再割去四个半圆的 面积. 圆的半径为 1 厘米, 正方形边长为 4 厘米. 故花瓣图形的面积是 1416.19164 2 1 14 4 3 14 222 (平方厘米 ). 8. 2.43 平方厘米 . 如图, 将移到得 : 阴影部分面积等于梯形CEFB 的 面积减去三角形 CED、三角形 CDA、扇形 AFG 的面积 , 即 43.2 360 45 214. 3 2 1 2 2 1 22 2 1 2)322( 22 (平方厘 米). 9. 60. 设扇形 ABC圆心角的度数是 x, 半圆的半径 OA=r, 有 22 2 1 3

17、 1 1)2( 360 rr x , 解得 x=60. 10. 0.14. 扇形面积为14.3 4 1 214.3 2 ( 平方厘米 ), 甲部分面积为 43. 0214.3 2 1 2 2 ( 平方厘米 ), 乙部分面积为57.0 4 1 22214.3( 平方 厘米), 甲乙两部分面积差为14.043. 057.0( 平方厘米 ). 11. 如图, 小正方形的边长为 2 r , 则的面积为 : 72227 22 4 1 2 2 rrrr , 的面积为 2 2 2 4 1 727 22 2 1 r rr , 和的面积和为 222 7 2 2 4 1 7 22 4 1 rrr. 即阴影部分面积

18、为 2 7 2 r . 12. 将阴影部分旋转后 , 可以看出所求阴影部分面积为大正方形面积的一半减 去小正形的一半 , 即阴影部分面积等于102426 22 ( 平方厘米 ). 13.设一个阴影部分的面积为x, 则有:2223SxS, 于是22xS (1) 又9 2 3 2xS, 于是有2 3 184S x, 解得 S=6. 14. 圆板的正面滚过的部分如右图阴影部分所求, 它的面积为 : )420(4 6 1 4)220(2 2 122 07.228 3 23 2042 2 1 )24( 4 1 4)220(4 222 (平方厘米 ). A B C D 1 2 面积计算（三） 专题简析：

19、对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中 的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解 答。在圆的半径r 用小学知识无法求出时，可以把“r 2”整体地代入面积公式求面积。 例题 1。 如图 201 所示，求图中阴影部分的面积。 【思路导航】 解法一 ：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图202） ，等 腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20 210 厘米 【3.1410 21 4 10（ 102） 】 2107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是107 平方厘米。 解法

20、二 ：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90 度后，阴影部分的 面积就变为从半径为10 厘米的半圆面积中， 减去两直角边为10 厘米的等腰直角三 角形的面积所得的差。 （202） 21 2 （ 20 2） 21 2 107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是107 平方厘米。 练习 1 1、如图 204 所示，求阴影部分的面积（单位：厘米） 2、如图 205 所示，用一张斜边为29 厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49 厘 米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝 45 10 201 45 45 10 20 2 203 两张三角形纸片面积之和

21、是多少？ 例题 2。 如图 206 所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【思路导航】 解法一 ：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面 积减去空白部分（a）的面积。如图207 所示。 3.146 21 4 （ 643.14 4 21 4 ） 16.82（平方厘米） 解法二 ：把阴影部分看作 （1）和（ 2）两部分如图208 所示。 把大、 小两个扇形面积相加， 刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。 3.144 21 4 +3.14 6 21 4 4616.28（平方厘米） 答：阴影部分的面积是16.82 平方厘米。 练习 2 204

22、 45 45 45 6 C B A D 205 49 29 49 29 49 206 6 4 减去a 207 208 （1） （ 2） 加减 2 A B C 209 A B C D 2010 60 2011 1、如图 209 所示， ABC 是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、如图 2010 所示，三角形ABC 是直角三角形， AC 长 4 厘米， BC 长 2 厘米。 以 AC 、 BC 为直径画半圆，两个半圆的交点在AB 边上。求图中阴影部分的面积。 3、如图 2011 所示，图中平行四边形的一个角为60 0，两条边的长分别为 6 厘米和 8 厘 米，高为5.2 厘米。

23、求图中阴影部分的面积。 例题 3。 在图 2012 中，正方形的边长是10 厘米，求图中阴影部分的面积。 【思路导航】 解法一 ：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半 （如图 2013 所示） ，再 用正方形的面积减去全部空白部分。 空白部分的一半：1010（ 102） 23.1421.5（平方厘米） 阴影部分的面积：1010 21.5257（平方厘米） 解法二 ：把图中 8 个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图 2014 所示） ，而 8 个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。 （ 102） 23.142101057（平方厘米） 答：阴影部分的面积是57 平方厘米。

24、 练习 3 求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 例题 4。 在正方形 ABCD 中， AC 6 厘米。求阴影部分的面积。 【思路导航 】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可 以看出， AC 是等腰直角三角形ACD 的斜边。根据等腰直角三角形的对称性 可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图 2018 所示） ，我们可以求出等腰直 2012 2013 2014 2015 10 2016 10 2017 4 3 5 2018 A B C D D C B A 角三角形ACD 的面积，进而求出正方形ABCD 的面积，即扇形半径的平方。 这样虽然半径未求出，但可以求

25、出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入 圆面积公式计算。 既是正方形的面积，又是半径的平方为：6（ 62） 2 18（平方厘米） 阴影部分的面积为：1818 3.1443.87（平方厘米） 答：阴影部分的面积是3.87 平方厘米。 练习 4 1、如图 2019、2020 所示，图形中正方形的面积都是50 平方厘米，分别求出每个图 形中阴影部分的面积。 2、如图 2021 所示，正方形中对角线长10 厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为 半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。 例题 5。 在图 2022 的扇形中，正方形的面积是30 平方厘米。求阴影部分的面积。

26、【思路导航 】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又 无法求出， 所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以 扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图2023 所示），从图中可以看出， 新正方形的面积是30260 平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽 然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。 3.14（ 302） 1 4 3017.1（平方厘米） 答：阴影部分的面积是17.1 平方厘米。 练习 5 1、如图 2024 所示，平行四边形的面积是100 平方厘米，求阴影部分的面积。 2、如图 2025 所示， O 是小圆的

27、圆心，CO 垂直于 AB, 三角形 ABC 的面积是45 平方厘 米，求阴影部分的面积。 3、如图 2026 所示，半圆的面积是62.8 平方厘米，求阴影部分的面积。 2019 2020 2021 20 22 B B A A 2024 O B C D A 2025 C B A O 2026 45 答案： 练 1 1、如图答 201 所示，因三角形BCD 中 BC 边上高等于BC 的一半，所以阴影部分的面 积是： 6 23.1445 360 6（ 62） 1 2 5.13 平方厘米 2、如图答202 所示，将红色直角三角形纸片旋转90 0，红色和蓝色的两个直角三角形 就拼成了一个直角边分别是49

28、 厘米和 29 厘米的直角三角形，因此，所求的面积为： 4929 1 2 710.5 平方厘米 练 2 1、如图答 203 所示，可以看做两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形的面积就得 到阴影部分的面积。 （2 2） 23.141 2 22 2 1 2 1.14 平方厘米 2、思路与第一题相同 （42） 23.141 2 +（22） 23.141 2 4 21 2 3.85 平方厘米 3、如图答 204 所示，用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积，即得到阴影 部分的一半，因此阴影部分的面积是： 【 （ 8 2+62） 3.1460 360 85.2】 221 7 15 平方厘米 练

29、3 1、如图答 205 所示，阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积，即： （102） 23.141 2 41010 57 平方厘米 2、如图答 206 所示，阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和，减去一个三角形的面 积，即： 1023.14 45 360 +（102） 23.141 2 1010 1 2 28.5 平方厘米 3、如图答 207 所示，整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积，用 整个图形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积，即： （42） 23.141 2 +（32） 23.141 2 +431 2 （ 5 2） 23.141 2 6 平

30、方厘米 练 4 1、（1）因为圆的半径的平方等于正方形面积的 1 4 ，所以阴影部分的面积是 （ 504） 3.1439.25 平方厘米 （2）因为扇形半径的平方等于正方形的面积，所以，阴影部分的面积是 5050 3.14 1 4 1075 平方厘米 2、提示：仔细阅读例4，仿照例 4 先求扇形半径的平方，然后设法求出阴影部分的面积。 10（ 102） 3.14 1 4 210（ 102） 28.5 平方厘米 练 5 1、如图答 208 所示，连结AC 可以看出平行四边形面积的一半等于圆半径的平方，所 以，阴影部分的面积是1002 3.14 1 4 100 1 4 14.25 平方厘米 2、如

31、图答 209 所示， （1） 因为三角形ABC 的面积等于小圆半径的平方，所以小圆的面积的一半是45 3.14 1 2 70.65 平方厘米 （2）因为大圆半径的平方等于三角形ABC 面积的2 倍，所以大圆的面积的 1 4 是 45 23.14 1 4 70.65 平方厘米 （3）弓形 AB 的面积是 70.6545 25.65 平方厘米 （4）阴影部分的面积是70.6525.6545 平方厘米 3、如图答 2010 所示， （1）半圆半径的平方是62.82+3.1440 平方厘米 （2）三角形 AOB 的面积是40 220 平方厘米 （3）阴影部分所在圆的半径的平方是40280 平方厘米 （4）阴影部分的面积是803.14 45 360 2011.4 平方厘米