初中数学全等三角形辅助线技巧.pdf

《初中数学全等三角形辅助线技巧.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学全等三角形辅助线技巧.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、实用标准文档 文案大全 例 1：如图，ABC 是等腰直角三角形， BAC=90 ，BD平分 ABC交 AC于点 D，CE垂直于 BD ，交 BD的延长线于点 E。求证： BD=2CE 。 思路分析 ： 1）题意分析 ：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路 ：要求证 BD=2CE ，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分 ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程 ： 证明：延长BA ，CE交于点 F，在 BEF和 BEC中， 1=2，BE=BE ， BEF= BEC=90 ， BEF BEC ， EF=EC ，从而 CF=2CE 。 又 1+F= 3+F

2、=90，故 1=3。 在 ABD和 ACF中， 1=3，AB=AC ， BAD= CAF=90 ， ABD ACF ， BD=CF ， BD=2CE 。 解题后的思考： 等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应 用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系， 为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化 归的数学思想，它是解决问题的关键。 （2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构 造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 例 2：如图，已知 ABC中， AD是 BAC的平分线， AD又是 BC边上

3、的中线。求证：ABC 是等腰三角形。 思路分析 ： 1）题意分析 ：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2）解题思路 ：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等 条件， 一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是 BC边上的中线这一条件，而且 要求证 AB=AC ，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。 解答过程： 实用标准文档 文案大全 证明：延长AD到 E，使 DE=AD ，连接 BE 。 又因为 AD是 BC边上的中线，BD=DC 又 BDE= CDA BED CAD ， 故 EB=AC ， E= 2， AD是 BAC的平分线 1=2， 1=E， AB=EB

4、 ，从而 AB=AC ，即 ABC是等腰三角形。 解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段， 再将 端点连结，便可得到全等三角形。 （3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用 的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性 质定理或逆定理。 例 3：已知，如图， AC平分 BAD ，CD=CB ，ABAD 。求证： B+ADC=180 。 思路分析 ： 1）题意分析 ：本题考查角平分线定理的应用。 2）解题思路 ：因为 AC是BAD的平分线，所以可过点C作BAD的两边的 垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。 解答过

5、程 ： 证明：作 CE AB于 E，CF AD于 F。 AC平分 BAD ， CE=CF 。 在 RtCBE 和 RtCDF 中， CE=CF ，CB=CD ， 实用标准文档 文案大全 RtCBE RtCDF ， B=CDF ， CDF+ ADC=180 ， B+ADC=180 。 解题后的思考： 关于角平行线的问题，常用两种辅助线； 见中点即联想到中位线。 （4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式 是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 例 4：如图， ABC中，AB=AC ，E是 AB上一点， F是 AC延长线上一点，连EF 交 BC于 D，若 EB=CF 。 求证

6、： DE=DF 。 思路分析 ： 1）题意分析 ：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。 2）解题思路 ：因为 DE 、DF所在的两个三角形DEB与 DFC不可能全等， 又知 EB=CF ， 所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E 作 EG/CF，构造中心对称型全等三 角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。 解答过程： 实用标准文档 文案大全 证明：过 E作 EG/AC交 BC于 G ， 则EGB= ACB ， 又 AB=AC ， B=ACB ， B=EGB ， EGD= DCF ， EB=EG=CF， EDB= CDF ，DGE DCF ， DE=DF 。 解题后的

7、思考： 此题的辅助线还可以有以下几种作法： 例 5：ABC中，BAC=60 ，C=40 ，AP平分 BAC交 BC于 P，BQ平分 ABC交 AC于 Q ，求证： AB+BP=BQ+AQ。 思路分析 ： 1）题意分析 ：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。 2）解题思路 ：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通 过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作 BC的平行线。得 ADO AQO 。得到 OD=OQ，AD=AQ ，只要再证出 BD=OD 就可以 了。 解答过程 ： 证明：如图（ 1），过 O作 OD BC交 AB于 D， A

8、DO= ABC=180 6040=80， 又 AQO= C+ QBC=80 ， ADO= AQO ， 实用标准文档 文案大全 又 DAO= QAO ，OA=AO， ADO AQO ， OD=OQ，AD=AQ ， 又OD BP ， PBO= DOB ， 又 PBO= DBO ， DBO= DOB ， BD=OD， 又 BPA= C+ PAC=70 ， BOP= OBA+ BAO=70 ， BOP= BPO ， BP=OB ， AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考： （1） 本题也可以在 AB上截取 AD=AQ ， 连 OD ， 构造全等三角形，即 “截长法”

9、。 （2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： 如图（ 2），过 O作 OD BC交 AC于 D ，则 ADO ABO 从而得以解决。 如图（ 5），过 P作 PD BQ交 AC于 D ，则 ABP ADP 从而得以解决。 实用标准文档 文案大全 小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全 等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构 造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行 线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构 造了全等三角形。 （5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一

10、条线段与特定线段 相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关 性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 例 6：如图甲， AD BC ，点 E在线段 AB上， ADE =CDE ，DCE =ECB 。 求证： CD =AD +BC 。 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路： 结论是 CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”， 即在 CD上截取 CF =CB ，只要再证 DF =DA即可，这就转化为证明两线段相等的问 题，从而达到简化问题的目的。 解答过程 ： 证明：在

11、CD上截取 CF =BC ，如图乙 实用标准文档 文案大全 FCE BCE （SAS ）， 2=1。 又AD BC ， ADC +BCD =180， DCE +CDE =90， 2+3=90，1+4=90， 3=4。 在FDE与ADE 中， FDE ADE （ASA ）， DF =DA ， CD =DF +CF ， CD =AD +BC 。 。 试题答案 1、分析：因为平角等于180，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转 化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长法或补短法”来实现。 证明：过点 D作 DE垂直 BA的延长线于点 E，作 DF BC于点

12、 F，如图 1-2 实用标准文档 文案大全 RtADE RtCDF ( HL ) ， DAE =DCF 。 又BAD +DAE =180， BAD+DCF=180， 即BAD +BCD =180 2、分析：与 1 相类似，证两个角的和是180，可把它们移到一起，让它们 成为邻补角，即证明 BCP =EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构 造。 证明：过点 P作 PE垂直 BA的延长线于点 E，如图 2-2 实用标准文档 文案大全 RtAPE RtCPD (SAS)， PAE =PCD 又 BAP +PAE =180。 BAP +BCP =180 3、分析：从结论分析，“截长”或“补短

13、”都可实现问题的转化，即延长AC 至E使CE=CD，或在 AB上截取AF=AC。 证明：方法一（补短法） 延长 AC到 E，使 DC =CE ，则 CDE CED ，如图 3-2 实用标准文档 文案大全 AFD ACD （SAS ）， DF=DC ，AFD ACD 。 又 ACB 2B， FDB B， FD=FB 。 实用标准文档 文案大全 AB=AF+FB=AC+FD， AB=AC+CD。 4、证明：（方法一） 将 DE两边延长分别交 AB 、AC于 M 、N， 在AMN 中，AM+ANMD+DE+NE； 在BDM 中，MB+MDBD； 在CEN中，CN+NECE； 由+得： AM+AN+M

14、B+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC （方法二：图 4-2） 延长 BD交 AC于 F，延长 CE交 BF于 G ，在 ABF 、GFC 和GDE 中有： AB+AFBD+DG+GF GF+FCGE+CE DG+GEDE 由+得： AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC。 5、分析：要证 AB+AC2AD，由图想到： AB+BDAD，AC+CDAD，所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD ，故不能直接证出此题，而 由 2AD想到要构造 2AD ，即加倍中线，

15、把所要证的线段转移到同一个三角形中去 实用标准文档 文案大全 ACD EBD （SAS ） BE=CA （全等三角形对应边相等） 在 ABE中有： AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边） AB+AC2AD。 6、分析：欲证 AC=BF ，只需证 AC 、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含 有 AC 、BF的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有AC 、BF的全等 三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两 条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线 段，所对的角相等即可。 思路一、以三角形ADC 为基础三角形，转移线段AC ，使

16、 AC 、BF在三角形 BFH中 方法一：延长 AD到 H，使得 DH=AD ，连结 BH ，证明 ADC 和HDB 全等，得 AC=BH 。 通过证明 H= BFH ，得到 BF=BH 。 实用标准文档 文案大全 ADC HDB(SAS) AC=BH ，H= HAC EA=EF HAE= AFE 又BFH= AFE BH=BF BF=AC 方法二：过 B点作 BH平行 AC ，与 AD的延长线相交于点H ，证明 ADC 和 HDB 全等即可。 小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”可以得到两个全等三角 形。而过一点作已知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全 等三角形的作用。 思路二、以三角形 BFD为基础三角形。转移线段BF ，使 AC 、BF在两个全等 三角形中 方法三：延长 FD至 H， 使得 DH=FD ， 连接 HC 。 证明 CDH 和BDF全等即可。 实用标准文档 文案大全 BFD CHD(SAS) H= BFH AE=FE HAC= AFE 又AFE= BFH H= HAC CH=CA BF=AC 方法四：过 C点作 CH平行 BF ，与 AD的延长线相交于点H ，证明 CDH 和 BDF全等即可。