初中数学复习第四讲——整式与分式.pdf

《初中数学复习第四讲——整式与分式.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学复习第四讲——整式与分式.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、实用标准文档 文案大全 初中数学复习第四讲整式与分式 一、知识结构 说明：在本部分，代数式分为整式和分式讨论。在实数范围内，代数式分为有理 式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。 二、知识点梳理 1. 代数式 ：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结 果叫做 代数式的值 。 2. 单项式 ：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（单独 一个数也是单项式）；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（包 括符号） ； 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 。 3.

2、多项式 ：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项 式叫做多项式的 项，不含字母的项叫做 常数项；次数最高项的次数就 是这个多项式的 次数。 4. 整式：单项式、多项式统称为整式。 5. 分式：两个整式 A、B相除，即 AB时，可以表示为 A B . 如果 B中含有字母， 那么 A B 叫做分式， A叫做分式的分子， B叫做分式的分母。 6. 同类项 ：所含的字母相同，且相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项。 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 ；一个多项式 合并 后含有几项，这个多项式就叫做几项式。合并同类项的法则：把同类 项的系数相加的结果作为合并后的系数

3、，字母和字母的指数不变（合 并同类项，法则不能忘，只求系数代数和，字母指数不变样）。 7. 整式的加减 ：整式的加减就是单项式、 多项式的加减， 可利用去括号法则和合 并同类项来完成整式的加减运算。去括号法则 ：括号前面是“ +” 号，去掉“+”号和括号， 括号里的各项不变号； 括号前面是“” 号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号。（括号前面是 “+” 代数式 分式整式 分式 的意 义 分式 的基 本性 质 分式的 运算 （加、 减、乘、 除） 整数 指数 幂的 运算 整式的 有关概 念 整式的运 算（加、 减、乘、 除、乘方） 因式 分解 实用标准文档 文案大全 号，去掉括号不变号；括号

4、前面是“”号，去掉括号都变号。） 8. 同底数幂的乘法 ：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 mnm+n aa =a. （m 、n都是正整数） 9. 幂的乘方 ：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 n mmn a=a . （m 、n都是正整数） 10. 积的乘方 ：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， 即 n nn ab=a b. （n为正整数） 11. 整式的乘法 ： （1）单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系 数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它 的指数不变，也作为积的因式。 （2）单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式乘 以多项

5、式的每一项，再把所得的积相加。 （3）多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多 项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得到的 积相加。 12. 同底数幂的除法 ：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即 mnm n aaa. （m 、n是正整数且mn，a0）. 任何不等于零的数的零次幂为1，即 0 10aa 13. 整式的除法 ： （1）单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂 分别相除作为商的因式， 对于只在被除式里含有的字母， 则 连同它的指数作为商的一个因式。 （2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把多项式的每 一项除以单项式，再把所得的商相加。 14. 分式

6、的基本性质 ：分式的分子和分母都乘以 （或除以） 同一个不为零的整式， 分式的值不变，即 AAMAN BBMAN 其中 M 、N为整式，且 B0，M 0，N0. 15. 约分：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分； 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1 除外） ，那么这个分式 叫做最简分式 ； 化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数 的最大公因数、相同因式的最低次幂。如果分子、分母是多项式，先分 解因式，再约分。化简分式时要将分式化成最简分式或整式。 实用标准文档 文案大全 16. 通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的

7、过 程叫做通分。 17. 分式的运算 ： （1)分式的乘除 ：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母 相乘的积作分母；分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒 位置后，再与被除式相乘。 用式子表示为： , . ACAC BDBD ACADAD BDBCBC (2)分式的加减 ：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减； 异分母分式相加减，先将它们通分，然后进行加减。 18. 乘法公式 ： （1）平方差公式 ：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个 数的平方差，即 22 .ababab （2）完全平方公式 ：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们积的两倍，即 2 22 2 2

8、2 +2, 2. a baabb abaabb 19. 因式分解 ：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式 分解，也叫做把这个多项式 分解因式 。 （1）提取公因式法 ： （一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个 多项式的公因式 。 ）如果一个多项式的各项含有公因式，那么 可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提取公因式 后的式子放在括号里， 作为另一个因式， 这种分解因式的方法 叫做提取公因式法。 提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时） 与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 （2）公式法 ：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式 法。 平方差

9、公式 ： 如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式， 那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数 的和与这两个数的差的积。 完全平方公式 ：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加 上（或减去） 这两个数的积的两倍， 那么就可以运用完全平方 公式把它分解因式，它等于这两个数的和（或差）的平方。 （3） 十字相乘法 ： 如果二次三项式 2 xpxq 中的常数项q能分解 成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那 实用标准文档 文案大全 么 2 xpxq 就可以进行如下的因式分解，即 22 .xpxqxab xabxaxb 一般的，上式可以用十字交叉线表示： x +a x +

10、b （4）分组分解法 ：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 20. 分式方程 ：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 一元方程的解也叫做方程的根， 在分式方程变形时， 有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根 叫做原分式方程的增根。 21. 整数指数幂：为了使同底数幂相除的性质在m、n是正整数，且mn时仍 成立，规定 1 p p a a （其中a0，p是自然数）。 整数指数幂运算性质： mnm+n aa =a（m 、n为整数，a0） n mmn a=a （m 、n为整数，a0） n nn ab=a b（ （n为整数，a0，b0）. 三、基本要求 1. 理解用字母表示数的意义；理解代数式的

11、有关概念。 2. 通过列代数式，掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换，领悟字母“代” 数的数学思想；会求代数式的值。 3. 掌握整式的加、 减、乘、除及乘方的运算法则， 掌握平方差公式、 两数和（差） 的平方公式。 4. 理解因式分解的意义， 掌握提取公因式法、 公式法、二次项系数为 1 时的十字 相乘法、分组分解法等因式分解的基本方法。 5. 理解分式的有关概念及其基本性质，掌握分式的加、减、乘、除运算。 6. 理解正整数指数幂、 零指数幂、 负整数指数幂的概念， 掌握有关整数指数幂的 乘（除） 、乘方等运算的法则。 说明：在求代数式的值时，不涉及繁难的计算； 不涉及繁难的整式运算，多项式

12、除法中的除式限为单项式； 在因式分解中， 被分解的多项式不超过四项， 不涉及添项、拆项等技巧； 不涉及繁复的分式运算。 实用标准文档 文案大全 四、重点和难点 重点：整式与分式的运算，因式分解的基本方法，整数指数幂的运算。 难点：选择适当的方法因式分解及代数式的混合运算。 五、中考考点 考点 1：代数式的有关概念 考核要求：（1）掌握代数式的概念，会判别代数式与方程、不等式的区别； （2）知道代数式的分类及各组成部分的概念，如整式、单项式、 多项式； （3）知道代数式的书写格式 . 注意单项式与多项式次数的区别. 例 1 （1）下列选项中是代数式的是( ) A 3 8xy B 2 9x C 4

13、xy D 5xy （2） 3 1 x 2y 的系数是 ，次数是 （3） 2 21xx是次项式。 （4）将 2233 241xyx yxy按字母 x 的降幂排列 分析： (1) 用运算符号 和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数 式；(2) 单项式的系数包括符号，次数是所有字母的指数的和；(3) 次 数最高项的次数就是这个多项式的次数； （4）按 x 的降幂排列，与 y 无关， y 相当于是常数。 解： （1）A （2） 1 3 3 （3）二三（4） 3223 241xx yxyy 考点 2：列代数式和求代数式的值 考核要求： （1）会用代数式表示常见的数量，会用代数式表示含有字母的简

14、单应用题的结果； （2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子表述之间的转换； （3）在求代数式的值的过程中，进行有理数的运算. 例 2 （1）用代数式表示： 比 a 的 3 倍还多 2 的数； x 的立方根与 2 的和. （2）当 a=2，a=-3，a= 1 2 时，求代数式 31 2 a a 的值。 解： （1）3a+2 3 2x（2） 9 9 9 8 实用标准文档 文案大全 考点 3：整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则 考核要求：（1）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则； （2）会用同底数幂的运算性质进行单项式的乘、除、乘方及简单 混合运算； （3）会求多项式乘以或除以单项式的积或

15、商； （4）会求两个或三个多项式的积. 注意：要灵活理解同类项的概念. 例 3 （1） 若 32 23 mn x yx y与是同类项，则m + n _ （2）先化简，再求值： 2 2 ()()a abab，其中2008a，2007b (3) 先化简，再求值： 223 (2)()()a babbbabab，其中 1 1 2 ab， （4）已知代数式 2 346xx的值为 9，则 24 6 3 xx的值为_ 分析： （1）知道同类项的概念； （2） （3）要求熟练掌握整式的运算性质； （4）巧算。 解： （1）5 （2）1 （3）1 （4）7 考点 4：乘法公式（平方差、两数和、差的平方公式）及其

16、简单运用 考核要求：（1）掌握平方差、两数和（差）的平方公式； （2）会用乘法公式简化多项式的乘法运算； （3） 能够运用整体思想将一些比较复杂的多项式运算转化为乘法 公式的形式 . 注意： （1）熟记平方差与完全平方公式。 （2）完全平方公式、平方差公式中 字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式. 例 4 (1) )(dcba； （2） （ab）(ab) ； (3) (ab) 2 ；(4)(a b) 2 . （5）计算： 10298； 2525xx； 2 224aaa. （6）计算： 2 23xy； 2 abc；22xyxy. 解： （1）ac+ad+bc+bd （2） 22 ab（

17、3） 22 2aabb（4） 22 2aabb （5）9996 ； 2 425x； 4 16a（6） 22 4129xxyy； 实用标准文档 文案大全 222 222abcabbcac； 22 44xyy 考点 5：因式分解的意义 考核要求：（1）知道因式分解的意义和它与整式乘法的区别； （2）会鉴别一个式子的变形过程是因式分解还是整式乘法. 例 5 在下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）. （A） 22 )(bababa；（B） 222 2)(bababa； （C ）)2(242 223 abababa； （D）3)2(32 2 aaaa. 分析：因式分解与整式的乘法的过程正好相反。因式

18、分解是从多项式变为几 个整式的积， 而整式的乘法， 是把整式的积化为一个多项式或单项式。 解：A 考点 6：因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系 数为 1 的十字相乘法） 考核要求：掌握提取公因式法、公式法、分组分解法和二次项系数为1 时的 十字相乘法等因式分解的基本方法. 例 6 (1) 下列分解因式正确的是（） A )1(22 2 yxxxxyx B)32(32 2 xxyyyxyxy C 2 )()()(yxyxyyxx D 3)1(3 2 xxxx （2）分解因式 32 aab= (3)分解因式 2 21218xx （4）分解因式 3322 2ax yaxya

19、x y （5）将 321 4 xxx 分解因式的结果是 （6）分解因式 amanbmbn=_ _； 解： （1）C （2） a abab（3） 2 23x（4） 2 axy xy （5） 2 1 2 x x（6） abmn 考点 7：分式的有关概念及其基本性质 考核要求：（1）会求分式有无意义或分式为0 的条件； （2）理解分式的有关概念及其基本性质； 实用标准文档 文案大全 （3）能熟练地进行通分、约分. 例 7 （1）若分式 2 2 4 2 x xx 的值为零 , 则 x 的值是 ( ) A.2 或-2 B.2 C.-2 D.4 （2）当 a时，分式 32 1 a a 有意义 （3）分式

20、1 1 1 1x 有意义的条件是 分析： （1）分子为零，而分母不为零； （2） （3）分母不为零。 解： （1）C （2） 3 2 a（3）1x且2x 说明： （1）若要分式有意义，则分母不为零（每一个分母）； （2）若要分式的值为零，则分子为零，且分母不能为零。 考点 8：分式的加、减、乘、除运算法则 考核要求：（1）掌握分式的运算法则； （2）能熟练进行分式的运算、分式的化简. 例 8 （1）计算 2 365 1 x xxxx 242 4422 xyx yx xyxyxyxy （2） a bab aba2 33 22 2 2 解： （1） 8 x ； xy xy （2）3b 考点 9：正

21、整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂的概念 考核要求：（1）理解正整数指数、零指数、负整数指数的幂的概念； （2）知道分数指数幂的意义； （3）能够运用零指数的条件进行式子取值范围的讨论. 例 9 使 0 21a有意义，则 a 的取值范围是 分析： 0 10aa 解： 1 2 a 考点 10：整数指数幂，分数指数幂的运算 考核要求：（1）掌握幂的运算法则； （2）会用整数指数幂及负整数指数幂进行运算； （3）掌握负整数指数式与分式的互化； （4）知道分数指数式与根式的互化。 实用标准文档 文案大全 例 10 （1）计算： 223 )1()2()624(xxxxx （2）先化简，再求值

22、： baab ba baba ba 22 22 22 4 2 2 , 其中 a=1,b=-1 解： （1） 2 334xx（2） 1 2 说明： （1）熟记整数指数幂的运算法则； （2）记住： 1 p p a a （其中a0，p是自然数）； （3）知道分数指数幂： m m m n n m - n n a =a（a0）， 1 =a （a0） a 其中m 、n为正整数， n1. 六、真题再现 一、选择题 1、 （2007 湖北宜宾）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示， 则化简代数式|a+b a 的结果是（） A2a+b B 2a CaDb 2、 （2007重庆）计算)3(6 23 mm的结果是（

23、） （A）m3（B）m2（C） m2（D ） m3 3、 （2007广州）下列计算中，正确的是（） A 33 xxx B 3 xxx C 32 xxx D 336 xxx 4、 （2007四川成都）下列运算正确的是（） 321xx 2 2 1 2 2 x x 236 ()aaa 236 ()aa 4、 （2007浙江嘉兴）化简： ( a1) 2( a1)2（ ） （A）2 （B）4 （C）4a（D）2a 22 5、 （2007哈尔滨）下列计算中，正确的是（） (第 1 题图 ) b 0 a 实用标准文档 文案大全 A325ab abB 44 aaaC 623 aaaD 3262 ()a ba

24、b 6 （2007福建晋江）对于非零实数m，下列式子运算正确的是（） A 923) (mm；B 623 mmm；C 532 mmm；D 426 mmm。 7 （2007福建晋江）下列因式分解正确的是（） Axxxxx3)2)(2(34 2 ； B )1)(4(43 2 xxxx； C 22 )21(41xxx； D)( 232 yxyxyxyxxyyx。 8、 （2007湖北恩施）下列计算正确的是（） A 、 623 aaa B 、 444 2bbb C、 1055 xxx D、 87 yyy 9、 （2007山东淮坊）代数式 2 346xx的值为 9，则 2 4 6 3 xx的值为（） A7

25、B18C12D9 10、 （2007江西南昌）下列各式中，与 2 (1)a相等的是（）B A 2 1aB 2 21aaC 2 21aaD 2 1a 二、填空题 1、 （200浙江义乌）当 x=2，代数式 21x的值为 _ 2、 （2007湖北宜宾）因式分解： xy 22xy+x = . 3、 （2007浙江金华）分解因式： 2 218x 4、 （2007江苏盐城）分解因式： 2 x9。 5、 （2007哈尔滨）分解因式： 22 33axay 6、 （2007湖北恩施）分解因式a 3ab2 7、 （2007 山东烟台）请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项 式，并写出分解因式的结果

26、8、 （2007湖南株州）若 32 23 mn x yx y与是同类项，则 m+n _. 9、 （2007浙江温州）计算： 1 1 m n mn m . 10、 （2007四川内江）化简： 2 32 24 xx xx 11、 （2007山东淮坊）在实数范围内分解因式： 2 484mm 三、解答题 1、 （2007浙江温州）给出三个多项式： 222 111 1,31, 222 xxxxxx 实用标准文档 文案大全 请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解。 2、（2007福建晋江）先化简，再求值：)1()1( 2 aaa，其中12a。 3、（2007重庆）先化简，再求值： 1 12 1 1

27、 2 2 2 x x x x xx ，其中 2 1 x。 4、（2007江西）化简： 2 42 1 4 a aa 5、 （2007 山东烟台）有意道题： “先化简，再求值： 22 361 () 399 xx xxx ，其 中“x=一2007” 小亮同学做题时把“ x= 一2007”错抄成了“ x=2007” ， 但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么, 回事 6、（2007江苏常州） 2 41 42xx 7、（ 2007 哈 尔滨 ）先化 简 ，再求 代数 式 2 2ababb a aa 的 值， 其 中 3 tan 301a，2 cos45b 实用标准文档 文案大全 8、 （2007湖北

28、恩施）求代数式的值 : ( 1 2 x x x x 1 2 ) 1x x , 其中 x31. 9、（2007 辽宁旅顺口）先化简代数式 22 22 1 244 abab abaabb ，然后选择一个 使原式有意义的a、b 值代入求值 . 答案：一： D、B、C 、D 、C 、D 、D 、C 、D 、A、B 二： （1）3 （2） 2 1x y（3） 233xx（4）33xx （5）3a xyxy（6）a abab（7）答案不唯一 （8）5 （9） 1 m （10）1 （11）42121mm 三：1. 解：如选择多项式： 2211 1,31 22 xxxx 则： 222 11 (1)(31)4(

29、4) 22 xxxxxxx x 2.解：13a，423； 3.解：原式 1 1 x ，当 2 1 x时，原式 2 4.解：原式 a a a a2 4 44 2 2 a a aa a2 )2)(2( 2 2 a a 实用标准文档 文案大全 5.解：原式)9( 9 6962 2 2 x x xxx 2 x9， x= 一2007或 x=2007，x 29 都是 2016。 6.解：原式 42 (2)(2)(2)(2) x xxxx 42 (2)(2) x xx (2) (2) x xx 1 2x 7.解：原式 22 2 2 () abaabbaba aaaab 1 ab 当 3 3tan 3013131 3 a， 2 2 cos4521 2 b 原式 1113 331 13ab 8.解：原式（ 1 2 1 2 x x x x ） x x1 1 )2( x xx x x1 x+2 把 x31 代入原式33 9.解： 22 22 1 244 abab abaabb = 2 (2 ) 1 2()() abab ababab = 2abab abab = 2abab ab = b ab 当1ab时，原式 11 1 12