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1、实用标准文案 文档大全 特殊四边形中的动点问题及解题方法 1、 如图，在直角梯形ABCD 中， AD BC ，B=90 ， AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点 P从 A开始沿 AD边向 D 以 1cm/s 的速度运动；动点Q从点 C开始沿 CB边向 B以 3cm/s 的速度运动 P、Q分别从点A、C同时出发， 当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts （1）当 t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ （2）当 t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？ （3）当 t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？ 分析： （1）四边形PQCD 为平行四
2、边形时PD=CQ （2）四边形PQCD 为等腰梯形时QC-PD=2CE （3）四边形PQCD 为直角梯形时QC-PD=EC 所有的关系式都可用含有t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可 解答： 解： （1）四边形PQCD 平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t 解得： t=6 即当 t=6 时，四边形PQCD 平行为四边形 （2）过 D作 DE BC于 E 则四边形ABED为矩形 BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm 四边形PQCD 为等腰梯形 QC-PD=2CE 即 3t- （24-t ）=4 解得： t=7 （s） 即当 t=7 （s）时，四边形PQCD 为等腰梯形 （3）
3、由题意知：QC-PD=EC 时， 实用标准文案 文档大全 四边形 PQCD 为直角梯形即3t- （24-t ）=2 解得： t=6.5 （s） 即当 t=6.5 （s）时，四边形PQCD 为直角梯形 点评： 此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中 2、 如图， ABC中，点 O为 AC边上的一个动点，过点O作直线 MN BC ，设 MN交 BCA的外角平分线CF于点 F，交 ACB内角平分线CE于 E （1）试说明EO=FO ； （2）当点 O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论； （3）若 AC边上存在点O，使四边形AECF 是正方形，猜想ABC的形状并
4、证明你的结论 分析： （1）根据CE平分 ACB ，MN BC ，找到相等的角，即OEC= ECB ，再根据等边对等角得OE=OC ，同理 OC=OF ，可 得 EO=FO （2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形 （3）利用已知条件及正方形的性质解答 解答： 解： （1） CE平分 ACB ， ACE= BCE ， MN BC ， OEC= ECB ， OEC= OCE ， OE=OC ， 同理， OC=OF ， OE=OF （2）当点 O运动到 AC中点处时，四边形AECF是矩形 如图 AO=CO ，EO=FO ， 四边形AECF为平行四边形， CE平分 ACB ，
5、ACE= ACB ， 同理， ACF= ACG ， ECF= ACE+ ACF= （ ACB+ ACG ） = 180=90， 四边形AECF是矩形 实用标准文案 文档大全 （3） ABC是直角三角形 四边形AECF是正方形， AC EN ，故 AOM=90 ， MN BC ， BCA= AOM ， BCA=90 ， ABC是直角三角形 点评： 本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1） ，再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2） ， 再对（ 3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的 思考方法是矩形的判定和正方形的性质等的综
6、合运用 3、 如图，直角梯形ABCD 中，ADBC ，ABC=90 ，已知AD=AB=3 ，BC=4 ，动点 P从 B点出发，沿线段BC向点 C作匀速运动；动点Q从点 D出发，沿线段DA向点 A 作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点 M ， 交 BC于点 NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1 个单位长度当Q点运动到A点， P、Q两点同时停止运 动设点Q运动的时间为t 秒 （1）求 NC ，MC的长（用t 的代数式表示） ； （2）当 t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形； （3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不 存在，
7、请说明理由； （4）探究： t 为何值时，PMC 为等腰三角形 分析： （1）依据题意易知四边形ABNQ 是矩形 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC 、AD已知， DQ就是 t ，即解； AB QN ， CMN CAB ， CM ：CA=CN ：CB ， （2） CB 、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM ； 四边形 PCDQ 构成平行四边形就是PC=DQ ，列方程4-t=t即解； （3）可先根据QN平分 ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t 的值然后根据得出的t 的值，求出 MNC 的面积，即可判断出MNC 的面积是否为ABC面积的一半
8、，由此可得出是否存在符合条件的t 值 （4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论： 当 MP=MC 时，那么PC=2NC ，据此可求出t 的值 当 CM=CP 时，可根据CM和 CP的表达式以及题设的等量关系来求出t 的值 当 MP=PC 时，在直角三角形MNP 中，先用 t 表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t 的值 综上所述可得出符合条件的t 的值 解答 : 解： （1） AQ=3-t CN=4-（ 3-t ）=1+t 在 RtABC中， AC2=AB2+BC2=32+42 实用标准文案 文档大全 AC=5 在 RtMNC 中， cosNCM= = ，CM= （2）由于
9、四边形PCDQ 构成平行四边形 PC=QD ，即 4-t=t 解得 t=2 （3）如果射线QN将 ABC的周长平分，则有： MN+NC=AM+BN+AB 即：（1+t ）+1+t= （3+4+5） 解得： t= （5 分） 而 MN= NC= （1+t ） SMNC= （1+t ）2= （1+t ）2 当 t= 时， SMNC= （ 1+t ） 2= 43 不存在某一时刻t，使射线QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分 （4）当 MP=MC 时（如图1） 则有： NP=NC 即 PC=2NC 4-t=2 （1+t ） 解得： t= 当 CM=CP 时（如图2） 则有： （1+t ）=4-t 解
10、得： t= 当 PM=PC 时（如图3） 则有： 在 RtMNP 中， PM2=MN2+PN2 实用标准文案 文档大全 而 MN= NC= （1+t ） PN=NC-PC= （1+t ） -（4-t ）=2t-3 （ 1+t）2+ （2t-3 ）2=（4-t ）2 解得： t1= ，t2=-1 （舍去） 当 t= ，t= ，t= 时， PMC 为等腰三角形 点评： 此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法 4、直线 y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B 两点，动点P、Q同时从 O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿 线段 OA运动，速度
11、为每秒1 个单位长度，点P沿路线 O ? B? A运动 （1）直接写出A、B两点的坐标； （2）设点 Q的运动时间为t （秒） ， OPQ 的面积为 S，求出 S与 t 之间的函数关系式； （3）当 S= 485 时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、 Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标 分析： （1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标； （2） ）因为 OA=8 ，OB=6 ，利用勾股定理可得AB=10 ，进而可求出点Q由 O到 A的时间是8 秒，点 P的速度是2，从 而可求出， 当 P 在线段 OB上运动（或0t 3）时， OQ=t ，OP=2t，S=t2 ，当 P 在线
12、段 BA上运动（或3t 8）时， OQ=t， AP=6+10-2t=16-2t，作 PD OA于点 D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5 ，利用 S= 12OQ PD ，即可求出答案； （3）令 S= 485，求出 t 的值，进而求出OD 、PD ，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简 单的计算即可写出M的坐标 解答： 解： （1）y=0，x=0，求得 A（8，0）B（0，6） ， （2） OA=8 ，OB=6 ， AB=10 点 Q由 O到 A的时间是 81=8 （秒）， 点 P的速度是 6+108=2 （单位长度 / 秒） 当 P在线段 OB上运动（或O t
13、3）时， OQ=t，OP=2t，S=t2 当 P在线段 BA上运动（或3t 8）时， OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t， 如图，做PD OA于点 D， 由 PDBO=APAB ，得 PD= 48-6t5 S= 12OQ?PD= - 35t2+245t 实用标准文案 文档大全 （3）当 S= 485 时， 485 1236点P在 AB上 当 S= 485 时， - 35t2+245t= 485 t=4 PD= 48- 645= 245， AD=16-24=8 AD= 82-(245)2= 325 OD=8- 325= 85 P（ 85 ， 245 ） M1 （ 285 ， 245 ）
14、，M2 （- 125 ， 245 ） ，M3（ 125 ，- 245 ） 点评： 本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象 5. 已知：如图，在直角梯形 COAB中，OCAB ，以O为原点建立平面直角坐标系， ABC， ， 三点的坐标分别 为(8 0)(810)(0 4)ABC， ， 点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒 1 个单位的速度， 沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t秒 （1）求直线BC的解析式； （2）若动点 P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的 2 7 ？ （3）动点
15、P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设OPD 的面积为 S，请直接写出S与t的函数关 系式，并指出自变量t的取值范围； 6. 如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点 （1）如果点P在线段BC上以 3厘米 / 秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 BPD 与CQP全等？ （2） 若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发， 都逆时针沿ABC三边运
16、动， 求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？ A B D C O P x y A Q C D B P 实用标准文案 文档大全 四边形中的动点问题课后作业 1. 如图，已知AD与 BC相交于 E， 1 2 3，BDCD ， ADB 90， CH AB于 H，CH交 AD于 F. （1）求证： CD AB ； （2）求证： BDE ACE ； （3）若 O为 AB中点，求证：OF 1 2 BE. 2、如图 142l ，在边长为a 的菱形 ABCD 中， DAB 60， E是异于 A、D两点的动点， F 是 CD上的动点，满足 A ECF=a ，说明：不论E、F 怎样移动，三角形BE
17、F总是正三角形 3、在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F (1) 求证：CFAB； (2) 当BC与AF满足什么数量关系时， 四边形ABFC是矩形，并说明理由 4、如图 l 480，已知正方形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O ，E是 AC上一点，过点A作 AG EB ，垂足为G ， AG交 BD于 F，则 OE=OF （1）请证明0E=OF （2）解答（ 1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在 AC的延长线上，AG EB ，AG交 EB 的延长 线于 G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则仍有OE=OF 问：猜测所得结
18、论是否成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由 F E D C B A 实用标准文案 文档大全 A F D P E B Q C A CQB P 5、如图，在梯形ABCD中，354 245ADBCADDCABB，动点M从B点出发沿线段 BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向 终点D运动设运动的时间为t秒 （1）求BC的长 （2）当MNAB时，求t的值 （3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形 6. 如图所示，有四个动点P、 Q 、E、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB 、 BC 、CD 、DA以同样的
19、速度向 B、C、D、A各点移动。 （1）试判断四边形PQEF 是正方形并证明。 （2） PE是否总过某一定点，并说明理由。 （3）四边形 PQEF的顶点位于何处时， 其面积最小，最大？各是多少？ 7、已知：如图，ABC是边长 3cm的等边三角形，动点P 、Q同时从 A、 B两点出发，分别沿AB 、BC方向匀速移 动，它们的速度都是1cm/s，当点 P到达点 B时， P、Q两点停止运动设点P的运动时间为t （s） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PBQ是直角三角形? （2）设四边形APQC 的面积为y（cm 2） ，求 y 与 t 的 关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是 ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存 在，说明理由； A D C B M N 实用标准文案 文档大全