《小学的奥数之容斥原理.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学的奥数之容斥原理.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、标准实用 文案大全 容斥原理（一） 【例题分析】 例 1. 有长 8 厘米，宽 6 厘米的长方形与边长5 厘米的正方形。 如图放在桌面上， 求这两个图形盖住桌面的面积？ 分析与解： 阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积 是： （平方厘米） 方法一：（平方厘米） 方法二：（平方厘米） 方法三：（平方厘米） 答：盖住桌面的面积是 67 平方厘米。 例 2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有 17 人，参加航模小组的有14 人，两组都参加的有多少人？ 分析与解： 把 17 人和 14 人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以 减去总人数，就是两组都参加
2、的人数（人）。 也可以这样解：（人） 或（人） 答：两组都参加的有 5 人。 标准实用 文案大全 例 3. 六一班有学生 46 人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既 会骑车又会游泳的有7 人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？ 分析与解：先求出 46 人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车 或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。 （人） （人） 答：既不会骑车又不会游泳的有9 人。 例 4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20 人，参加音乐小组有 24 人，参加手工小组有 31 人，同时参加美术和音乐两个小 组有 5 人，同时
3、参加音乐和手工两个小组有6 人，同时参加美术和手工两个小组 的有 7人， 三个小组都参加的有3人， 这个年级参加课外小组的同学共有多少人？ 分析与解： 图中的 5、6、7 人都是两两重叠的部分，图中的3 人是三个重叠 的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。 （人） 答：这个年级参加课外小组的有60 人。 例 5. 某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4 人三项都未达到优秀，其他人 至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。 短跑投掷跳远跑跳跑投跳投三项 19 21 20 9 10 6 3 标准实用 文案大全 分析与解： 根据题意画出如下图 要求全班有多少人，先要求出跑、
4、跳、投至少有一项达到优秀的人数， 加上三项都未达到优秀的，就是全班人数。 （人） （人） 答：全班有 42 人。 例 6. 分母是 105的最简真分数有多少个？ 分析与解：这些分数是最简真分数， 所以分子应小于105， 只能是 1104 中的自然数，而且分子与105 要互质。因为，所以分母不能是3 的倍数或 5 的倍数或 7 的倍数。所以，要求有多少个最简真分数， 实际上就是求 1104 这 104个自然数中不能被3、5、7 整除的数有多少个。因此要先求出能 被 3 整除或能被 5 整除或能被 7 整除的数有多少个。 能被 3 整除的数：（个） 能被 5 整除的数：（个） 能被 7 整除的数：
5、（个） 能同时被 3 和 5 整除的数： 能同时被 3 和 7 整除的数： 能同时被 5 和 7 整除的数： （个） 标准实用 文案大全 （个） 答：分母是 105 的最简真分数有 48 个。 【模拟试题】 （答题时间： 30 分钟） 1. 有三个面积各为 50 平方厘米的圆放在桌面上， 两两相交的面积分别是8、 10、 12 平方厘米，三个圆相交的面积是5 平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积？ 2. 某区有 100 名外语教师懂英语或日语， 其中懂英语的有75名，既懂英语又懂 日语的有 20 人。只懂日语的有多少名？ 3. 某班数学测验时有10 人得优，英语得优有12 人，两门都得优有 3 人
6、，两门 都没得优的有 26 人。全班有多少人？ 4. 六年级一班春游，带矿泉水的有18 人，带水果的有 16 人，这两种至少带一 种的有 28 人，求两种都带的有多少人？ 5. 在 1 至 100的自然数中，不能被2 整除的数或不能被3 整除或不能被 5 整除 的数共有多少个？ 容斥原理（二） 【例题分析】 例 1. 有 25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一 次达到优秀的有 10 人，第二次达到优秀的有13 人，第三次达到优秀的有15 人， 三次都达到优秀的只有1 人。只有两次达到优秀的有多少人？ 分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。 要求
7、只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。 标准实用 文案大全 （人） 答：只有两次达到优秀的有11 人。 例 2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中 有 6 人要了冰棍， 6 人要了汽水， 4 人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3 人，只 要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1 人；三样都要的有 1 人。问：共有 几个小朋友去了冷饮店？ 分析与解：根据题意画图。 方法一：（人） 方法二：（人） 答：共有 10 个小朋友去了冷饮店。 例 3. 有 28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8 人没参加跑 的项目，参加投掷项目的人数与参加
8、跑和跳两项的人数都是17 人。问：只参加 跑和投掷两项的有多少人？ 分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加 一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0 表示。 标准实用 文案大全 （人） 答：只参加跑和投掷两项的有3 人。 例 4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有 30 人参加，英语有 20 人参加，语文小组有10 人。老师告诉同学既参加数学小 组又参加语文小组的有3 人， 既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的 人数均为质数，而三种全参加的只有1 人， 求既参加英语又参加数学小组的人数。 分析与解：根据已知条件画出图。 三圆
9、盖住的总体为49 人，假设既参加数学又参加英语的有x 人，既参加 语文又参加英语的有y 人，可以列出这样的方程： 整理后得： 由于 x、y 均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数 为 7。 答：既参加英语又参加数学小组的为2 人或 7 人。 例 5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20 人，语文 20 人，英 语 20 人，数学、英语两科满分者8 人，数学、语文两科满分者7 人，语文、英 语两科满分者 9人， 三科都没得满分者 3人。 问这个班最多多少人？最少多少人？ 分析与解：根据题意画图。 标准实用 文案大全 设三科都得满分者为x 全班人数 整理后：全班人数
10、39x 39+x 表示全班人数，当x 取最大值时，全班人数就最多，当x 取最小值 时，全班人数就最少。 x 是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x 中的 人数一定不超过两科得满分的人数，即且，由此我们得到 。另一方面 x 最小可能是 0，即没有三科都得满分的。 当 x 取最大值 7 时，全班有人，当 x 取最小值 0 时，全班有 39 人。 答：这个班最多有46 人，最少有 39 人。 【模拟试题】 （答题时间： 30 分钟） 1. 六年级共有 96 人，两种刊物每人至少订其中一种，有的人订少年报， 有的人订数学报，两种刊物都订的有多少人？ 2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和
11、厕所为公用，在登记住房面积 时，两家登记表如下表（单位：平方米） 姓名居室门厅厨房厕所总面积 小明14 12 8 4 38 小龙20 12 8 4 44 他们住的一套房子共有多少平方米？ 3. 某班 45 名同学参加体育测试， 其中百米得优者 20 人，跳远得优者 18 人，又 知百米、跳远都得优者7 人，跳高、百米得优者6 人，跳高、跳远均得优者8 标准实用 文案大全 人，跳高得优者 22 人，全班只有 1 名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的 人数。 4. 某班四年级时， 五年级时和六年级时分别评出10名三好学生， 又知四、五年 级连续三好生 4 人，五、六年级连续三好生3 人，四年级、六年级两年评上三好 生的有 5 人，四、五、六三年没评过三好生的有20 人，问这个班最多有多少名 同学，最少有多少名同学？