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1、实用标准文案 精彩文档 希尔伯特公理体系 希尔伯特 (Hilbert，公元 18621943) 在历代数学家所积累的极其丰富的公理资料基础上，德国数学家 希尔伯特 (Hilbert， 公元 18621943)完成了几何学的基础构造工作。 他于 1899年出版名著 几何基础，建立了几何学完善的公理体系 “希尔伯特公理体系” 。 希尔伯特的公理体系建立在基本概念和公理的基础上，基本概念 由两部分组成：一部分是几何学研究对象(也称基本元素 ), 如点、线、 面等；另一部分是元素间的基本关系，如结合关系、合同关系等。公 理共有 5 组 20 条。希尔伯特公理体系满足他自己提出的三个基本要 求，即相容性
2、（公理间互不矛盾） 、独立性（每条公理都不能从其余 的公理推出）、完备性（公理体系所有模型都是互相同构的）。 基本元素： 点，线，面。 基本关系： 结合关系（如点在直线上，直线在面上等），顺序关 实用标准文案 精彩文档 系（如一点在两点之间，一射线在两射线之间等），合同关系（如两 线段合同，两角合同等） 基本公理： 、结合公理 8 条 几何基本元素 “点” 、 “直线” 、 “平面”之间的结合关系就是：“点 在直线上”可以说成“直线通过点或直线含有点或点属于直线”；点 和平面也有这种关系，结合公理要求满足8 条公理： （1）通过不同两点必有一条直线。 （2）通过不同两点的直线至多有一条。 （3
3、） 每一条直线上至少有两点； 至少有三点不在同一条直线上。 （4）通过不共线的三点必有一个平面；每一个平面上至少有一 点。 （5）至多有一个平面通过不共线的三点。 （6）若一直线有不同两点在某个平面上，则该直线上所有点都 在这平面上。 （7）若两个平面有一个公共点，则至少还有一个公共点。 （8）至少有四个点不同在一个平面上。 、顺序公理 4 条 直线上的点与点之间有一种“介于”关系，通常用“介于之 间”的语言来表示。“介于”关系表示点与点之间的“顺序关系”，它 们必须满足 4 条顺序公理。 （1）若点B介于两点 A、C之间，则A、B、C是同一直线上的 实用标准文案 精彩文档 三个不同点，并且
4、B也介于C和A之间。 （2） 对于任意不同的两点 A和B， 直线AB上至少有一点C存在， 使得B介于 A和C之间。 （3）在共直线的不同三点中，至多有一点介于其余两点之间。 （4）巴士公理 。设 A、B、C是不在同一直线上的三个点， a是 平面ABC上的一条直线，它不通过 A、B、C中的任一点。若 a有一 点介于 A和B之间，则 a必须还有一点介于 B和C之间或A和C之间。 、合同公理 5 条 根据“介于之间”的关系和顺序公理，可以定义“线段”、 “射线” 、 “角”等概念，线段与线段之间具有一种关系，这种关系用 词语“合同”或“相等”来表示。合同关系必须满足5 条公理： （1） 若A、B是直
5、线a上两点， A是该直线或另一直线a上一点， 则在直线 a上点A的任意指定的一侧，总存在一个而且只有一个点 B，使得线段A B合同于（或等于）线段AB。 （2）若线段 A B合同于AB，A B合同于AB，则A B合同于 A B。即若A BAB，A BAB, 则A BA B。 （3） 若B点介于 A和C之间，B介于A和C之间，且ABA B， BCB C,则ACA C。 （4）设平面上给定由点 O发出的射线h、k所成的角( , )h k， 在平面 上给定直线a并指定其一侧，设h是上从O点发出的射线， 则上a指定的一侧存在由O发出的唯一射线k, 使得 ( , )( ,)h kh k，又( , )(
6、, )h kk h。 实用标准文案 精彩文档 （5）设A、B、C是不在同一直线上的三点， A、B、C也不 在同一直线上。若线段 ABA B,ACA C，且ABCA B C，则 BACB A C,ACBA C B。 、连续公理 2 条 （1）阿基米德公理 。设AB和CD是任意两条线段， ABCD，则 在直线 AB上必定存在着有限个点 12n A AA使得 1 A介于A和 2 A之间， 2 A介于 1 A和 3 A之间，线段之间有合同关系 112231nn AAA AA AAACD，并且使得点B介于点A和 n A之间。 亦即存在自然数n，使得 nCDAB。 （2）康托尔公理 。设在任意直线a上给了
7、线段的无穷序列 1122 , nn AB A BA B，其中每一个后面的线段连同端点完全落在前一个 线段的内部，并设对于任何预先给定的无论多么短的线段 CD，总可 以找到一个自然数n，使得 nn A BCD。则在直线a上存在着一点X， 落在所有线段 1122 , nn AB A BA B的内部。 、平行公理 1 条 同一平面上没有公共点的两条直线叫做平行线，或称该两条直线 互相平行。 平行公理： 设a是任意一条直线， A是a外的任意一点，那么在 a 和A所决定的平面上，至多只有一条直线通过 A且与a平行。 这条公里是英国数学家普雷菲尔(Playfair)首先用来代替欧几 里得第 5 公设的，因而又称普雷菲尔公理， 它与欧几里得第 5 公设等 价，但形式上较为简单。 实用标准文案 精彩文档 前四组公理、 、及其推论组成的几何学称为绝对几何 学，由绝对几何学加上欧氏平行公理展开的几何学称为欧氏几何学 ， 由绝对几何学加上 罗巴切夫斯基平行公理 展开的几何学称为 罗氏几 何学。 希尔伯特公理体系分类图 基本元素：点、线、面 结合关系 基本概念 基本关系顺序关系 合同关系 几何基础 结合公理 8条 顺序公理 4条 基本公理 20条 合同公理 5条 连续公理 2条 平行公理 1条