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1、实用标准文案 文档大全 常微分方程在数学建模中的应用 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由于资源的有限性, 当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长, 为了得到人口预测 模型 , 必须首先搞清影响人口增长的因素, 而影响人口增长的因素很多, 如人口的自然出生 率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因 素都考虑进去，则无从下手. 因此 , 先把问题简化 , 建立比较粗糙的模型, 再逐步修改 , 得到较 完善的模型 . 例 1（ 马尔萨斯（Malthus ） 模型）英国人口统计学家马尔萨斯（17661834）在 担任牧师期间
2、, 查看了教堂100多年人口出生统计资料, 发现人口出生率是一个常数, 于 1789 年在人口原理一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型, 他的基本假设是：在人口自 然增长过程中, 净相对增长 （出生率与死亡率之差）是常数 , 即单位时间内人口的增长量与人 口成正比 ,比例系数设为r, 在此假设下 , 推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解设时刻t的人口为)(tN, 把)(tN当作连续、可微函数处理（因人口总数很大, 可 近似地这样处理, 此乃离散变量连续化处理）, 据马尔萨斯的假设, 在t到tt时间段内 , 人 口的增长量为 ttrNtNttN)()()(, 并设 0 tt时刻的人口为 0
3、 N, 于是 ， 00) ( d d NtN rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )( 0 0 e)( ttr NtN, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961 年地球上的人口总数为 9 1006.3, 而在以后7 年中 , 人口总数 以每年 2% 的速度增长 , 这样1961 0 t, 9 0 1006.3N ,02. 0r, 于是 )1961(02. 09 e1006.3)( t tN. 这个公式非常准确地反映了在17001961 年间世界人口总数. 因为 , 这期间地球上的人 口大约每35 年翻一番 , 而上式断定34.6 年增加一倍
4、（请读者证明这一点） 但是 ,后来人们以美国人口为例, 用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较, 却发现有很 大的差异 , 尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时, 发现更令人不可思议的问 题, 如按此模型计算, 到 2670 年, 地球上将有36 000亿人口 . 如果地球表面全是陆地 （事实上 , 地球表面还有80% 被水覆盖） ,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了, 这是非常荒谬的, 因此 , 这一模型应该修改. 例 2（逻辑 Logistic模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地 实用标准文案 文档大全 球上的各种资源只能供一定数量的人生活, 随着人口的增加, 自
5、然资源环境条件等因素对人 口增长的限制作用越来越显著, 如果当人口较少时, 人口的自然增长率可以看作常数的话, 那 么当人口增加到一定数量以后, 这个增长率就要随人口的增加而减小. 因此 , 应对马尔萨斯模 型中关于净增长率为常数的假设进行修改. 1838 年 , 荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数 m N, 用来表示自然环境条件 所能容许的最大人口数（一般说来, 一个国家工业化程度越高, 它的生活空间就越大, 食物就 越多 , 从而 m N就越大） , 并假设将增长率等于 m N tN r )( 1, 即净增长率随着)(tN的增加而 减小 , 当 m NtN)(时, 净增长
6、率趋于零, 按此假定建立人口预测模型. 解由韦尔侯斯特假定, 马尔萨斯模型应改为 ， ， 00 0 )( 1 d d NtN N N N r t N 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量, 其解为 , )( 0 0 e11 )( ttrm m N N N tN. 下面 , 我们对模型作一简要分析. （1）当t, m NtN)(, 即无论人口的初值如何, 人口总数趋向于极限值 m N； （2）当 m NN0时,01 d d N N N r t N m ,这说明)(tN是时间t的单调递增函 数； （3） 由于N N N N N r t N mm 2 11 d d 2 2 2 , 所以当 2 m N
7、N时,0 d d 2 2 t N , t N d d 单增； 当 2 m N N时 ,0 d d 2 2 t N , t N d d 单减 , 即人口增长率 t N d d 由增变减 , 在 2 m N 处最大 , 也就是说 在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期, 过这一点后 , 生长的速率逐渐变小, 并且迟早 会达到零 ,这是减速生长期； （4）用该模型检验美国从1790 年到 1950 年的人口 , 发现模型计算的结果与实际人口 在 1930 年以前都非常吻合,自从 1930 年以后 , 误差愈来愈大 , 一个明显的原因是在20 世纪 60 年代美国的实际人口数已经突破了20 世纪初所
8、设的极限人口. 由此可见该模型的缺点之 一是 m N不易确定 , 事实上 , 随着一个国家经济的腾飞, 它所拥有的食物就越丰富, m N的值 也就越大； (5 ）用逻辑模型来预测世界未来人口总数. 某生物学家估计,029.0r, 又当人口总数 实用标准文案 文档大全 为 9 1006.3时, 人口每年以2% 的速率增长 , 由逻辑模型得 m N N r t N N 1 d d1 , 即 m N 9 1006.3 1029. 002.0, 从而得 9 1086.9 m N, 即世界人口总数极限值近100 亿. 值得说明的是：人也是一种生物, 因此 ,上面关于人口模型的讨论, 原则上也可以用于在
9、自然环境下单一物种生存着的其他生物, 如森林中的树木、 池塘中的鱼等 , 逻辑模型有着广泛 的应用 . 二、市场价格模型 对于纯粹的市场经济来说, 商品市场价格取决于市场供需之间的关系, 市场价格能促使 商品的供给与需求相等( 这样的价格称为( 静态 ) 均衡价格 ). 也就是说 , 如果不考虑商品价格 形成的动态过程, 那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡, 但是 , 实际的市场价格不会 恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程. 例 3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型 解假设在某一时刻t, 商品的价格为)(tp, 它与该商品的均衡价格间有差别,
10、 此时 , 存 在供需差 ,此供需差促使价格变动. 对新的价格 , 又有新的供需差, 如此不断调节 , 就构成市场 价格形成的动态过程, 假设价格)(tp的变化率 t p d d 与需求和供给之差成正比, 并记),(rpf 为需求函数 ,)(pg为供给函数（r为参数） , 于是 ， ， 0 )0( , d d pp pgrpf t p 其中 0 p为商品在0t时刻的价格 ,为正常数 . 若设baprpf),(,dcppg)(, 则上式变为 ， ， 0 )0( )()( d d pp dbpca t p 其中dcba,均为正常数 , 其解为 ca db ca db ptp tca)( 0 e)(
11、 . 实用标准文案 文档大全 下面对所得结果进行讨论: （1）设p为静态均衡价格 , 则其应满足 0)(),(pgrpf, 即dpcbpa, 于是得 ca db p, 从而价格函数)(tp可写为 ppptp tca)( 0 e)()( , 令t, 取极限得 ptp t )(lim 这说明 , 市场价格逐步趋于均衡价格. 又若初始价格pp0, 则动态价格就维持在均衡价格 p上, 整个动态过程就化为静态过程； （2）由于 tca capp t p)( 0 e)()( d d , 所以 , 当pp0时 ,0 d d t p ,)(tp单调下降向p靠拢；当pp0时, 0 d d t p ,)(tp单调
12、增 加向p靠拢 . 这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低, 且逐步靠近均衡价 格; 否则 , 动态价格就要逐步升高. 因此 , 式在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需 求与供给反过来又影响价格的动态过程, 并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋 势. 三、混合溶液的数学模型 例 4 设一容器内原有100L 盐, 内含有盐10kg, 现以3L/min的速度注入质量浓度为 0.01kg/L的淡盐水 ,同时以 2L/min 的速度抽出混合均匀的盐水, 求容器内盐量变化的数学模 型. 解设t时刻容器内的盐量为)(txkg, 考虑t到ttd时间内容器中盐的变化情况, 在dt 时
13、间内 容器中盐的改变量注入的盐水中所含盐量抽出的盐水中所含盐量 容器内盐的改变量为xd, 注入的盐水中所含盐量为td301. 0,t时刻容器内溶液的质 量浓度为 t tx )23(100 )( , 假设t到ttd时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上 , 容器内 的溶液质量浓度时刻在变, 由于td时间很短 , 可以这样看）. 于是抽出的盐水中所含盐量为 t t tx d2 )23(100 )( , 这样即可列出方程 实用标准文案 文档大全 t t x txd 100 2 d03.0d, 即 t x t x 100 2 03.0 d d . 又因为0t时 , 容器内有盐10kg, 于是得该问题的
14、数学模型为 d2 0.03 d100 (0)10 xx tt x ， , 这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为 2 4 )100( 109 )100(01. 0)( t ttx. 下面对该问题进行一下简单的讨论, 由上式不难发现:t时刻容器内溶液的质量浓度为 3 4 )100( 109 01.0 100 )( )( tt tx tp, 且当t时,01.0)(tp, 即长时间地进行上述稀释过程, 容器内盐水的质量浓度将趋 于注入溶液的质量浓度. 溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液, 以流量 1 V注入 质量浓度为 1 C的溶液（指同一种类溶液, 只是质量浓度不同）
15、, 假定溶液立即被搅匀, 并以 2 V的流量流出这种混合溶液, 试建立容器中质量浓度与时间的数学模型. 首先设容器中溶质的质量为)(tx, 原来的初始质量为 0 x ,t =0 时溶液的体积为 2 V, 在 dt时间内 , 容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量, 即 tVCtVCxddd 2211 , 其 中 1 C是 流 入 溶 液 的 质 量 浓 度 , 2 C为t时 刻 容 器 中 溶 液 的 质 量 浓 度,， tVVV x C )( 210 2 于是 ,有混合溶液的数学模型 1122 0 d d (0) x C VC V t xx ， 该模型不仅适用于液体的混合,
16、而且还适用于讨论气体的混合. 四、振动模型 实用标准文案 文档大全 振动是生活与工程中的常见现象. 研究振动规律有着极其重要的意义. 在自然界中 , 许多 振动现象都可以抽象为下述振动问题. 例 5设有一个弹簧, 它的上端固定 , 下端挂一个质量为m的物体 , 试研究其振动规律. 解假设（ 1）物体的平衡位置位于坐标原点, 并取x轴的正向铅直向下（见图4）. 物 体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置. 此时 , 作用在物体上的重力与弹性力大小相等, 方向相反；（ 2） 在一定的初始位移 0 x及初始速度 0 v下, 物体离开平衡位置, 并在平衡位置附 近作没有摇摆的上下振动；（ 3）物体在t
17、时刻的位置坐标为)(txx, 即t时刻物体偏离平衡 位置的位移； （4）在振动过程中, 受阻力作用 . 阻力的大小与物体速度成正比, 阻力的方向总 是与速度方向相反,因此阻力为 t x h d d ,h为阻尼系数； （5）当质点有位移)(tx时 , 假设所受 的弹簧恢复力是与位移成正比的, 而恢复力的方向总是指向平衡位置, 也就是总与偏离平衡 位置的位移方向相反, 因此所受弹簧恢复力为kx, 其中k为劲度系数； （6）在振动过程中 受外力)(tf的作用 . 在上述假设下 , 根据牛顿第二定律得 )( d d d d 2 2 xfkx t x h t x m , 这就是该物体的强迫振动方程. 由
18、于方程中, )(tf的具体形式没有给出, 所以 , 不能对式 直接求解 . 下面我们分四种情形对其进行讨论. 1. 无阻尼自由振动 在这种情况下,假定物体在振动过程中, 既无阻力、又不受外力 作用 . 此时方程变为 0 d d 2 2 kx t x m , 令 2 m k , 方程变为 0 d d 2 2 2 x t x , 特征方程为0 22 , 特征根为i 2,1 , 通解为tCtCxcossin 21 , 或将其写为 t CC C t CC C CCxcossin 2 2 2 1 2 2 2 2 1 12 2 2 1 x O 图 4 实用标准文案 文档大全 ttAcossinsincos
19、 ，)sin(tA 其中 2 2 2 1 CCA, 2 2 2 1 2 sin CC C , 2 2 2 1 1 cos CC C . 这就是说 , 无阻尼自由振动的振幅 2 2 2 1 CCA, 频率 m k 均为常数 . 2. 有阻尼自由振动 在该种情况下,考虑物体所受到的阻力, 不考虑物体所受的外力. 此时 , 方程变为 0 d d d d 2 2 kx t x h t x m, 令 2 m k ,2 m h , 方程变为 0 d d 2 d d2 2 2 x t x t x , 特征方程为02 22 , 特征根 22 2, 1 . 根据与的关系 , 又分 为如下三种情形： (1) 大阻
20、尼情形 , . 特征根为二不等实根, 通解为 tt CCx )( 2 )( 1 2222 ee (2) 临界阻尼情形 ,. 特征根为重根 , 通解为 t tCCxe)( 21 这两种情形 , 由于阻尼比较大, 都不发生振动. 当有一初始扰动以后, 质点慢慢回到平衡 位置 , 位移随时间t的变化规律分别如图5 和图 6 所示 . x O 0 x t x O 0x t 图 5 图 6 (3) 小阻尼情形 ,.特征根为共轭复根, 通解为 实用标准文案 文档大全 )sinCsinC(e 22 2 22 1 ttx t 将其简化为 )sin(e 22 tAx t 其中,cos,sin, 2 2 2 1
21、1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 CC C CC C CCA 振幅A t e随时间t的增加而 减小 . 因此 , 这是一种衰减振动. 位移随时间t的变化规律见图7. 3. 无阻尼强迫振动 在这种情形下, 设物体不受阻力作用, 其所受外力为 简谐力ptmtfsin)(, 此时 , 方程化为 ptmkx t x msin d d 2 2 , ptx t x sin d d2 2 2 , 根据pi是否等于特征根i, 其通解分为如下两种情形： （1）当 p 时, 其通解为图 7 tCtCpt p xcossinsin 1 21 22 , 此时 , 特解的振幅 22 1 p 为常数 , 但当p接近
22、于时, 将会导致振幅增大, 发生类似共振的 现象； （2）当p时, 其通解为 tCtCptt p xcossincos 2 1 21 , 此时 , 特解的振幅t p2 1 随时间t的增加而增大, 这种现象称为共振, 即当外力的频率p等于 物体的固有频率时,将发生共振 . 4. 阻尼强迫振动 在这种情形下, 假定振动物体既受阻力作用, 又受外力ptmxfsin)(的作用 , 并设 , 方程变为 ptx t x t x sin d d 2 d d 2 2 2 , x O 0x t 实用标准文案 文档大全 特征根0,i 22 , 则pi不可能为特征根, 特解为 ptBptAxcossin * , 其中 22222 22 4)(pp p A , 22222 4)( 2 pp p B, 还可将其化为 *22 22222 1 ()sin2cos ()4 xwpptppt wpp , 由此可见 , 在有阻尼的情况下, 将不会发生共振现象,不过 , 当p时, pt p xcos 2 1* , 若很小 , 则仍会有较大的振幅；若比较大 , 则不会有较大的振幅.