常用地因式分解公式.pdf

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1、实用文档 标准文案 常用的因式分解公式： 待定系数法 ( 因式分解 ) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在 因式分解 中的应用 在因式分解时，一些 多项式 经过分析，可以断定它能分解成某几个因式， 但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系 数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质， 两边对应项 系数应该相等， 或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程 ( 或方程组 ) ，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法 实用文档 标准文案 例 1 分解因式： x 2+3xy+2y2+4x+5y+3 分

2、析 由于 (x 2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y) ， 若原式可以分解因式， 那么它的两个一次项一定是x+2y+m和 x+y+n 的形式， 应用待定系数法即可求出m和 n，使问题得到解决 解 设 x 2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x 2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ， 比较两边对应项的系数，则有 解之得 m=3 ，n=1所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1) 说明 本题也可用 双十字相乘法 ，请同学们自己解一下 例 2 分解因式： x 4-2x3-27x2-44x+7 分析 本题所给的是一元整 系数多项式，根据前面

3、讲过的 求根法 ，若原式有 有理根，则只可能是 1，7(7 的约数 )，经检验，它们都不是原式的根， 所以， 在有理数 集内，原式没有一次因式如果原式能分解，只能分解为 (x 2+ax+b)(x2+cx+d)的形式 解 设 原式=(x 2+ax+b)(x2+cx+d) =x 4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd ， 所以有 由 bd=7，先考虑 b=1，d=7有 所以 原式=(x 2-7x+1)(x2+5x+7) 实用文档 标准文案 说明 由于因式分解的唯一性， 所以对 b=-1，d=-7 等可以不加以考虑 本题 如果 b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c 的

4、值，就必须将 bd=7的其他解代 入方程组 ，直到求出待定系数为止 本题没有一次因式， 因而无法运用求根法分解因式但利用待定系数法， 使 我们找到了二次因式由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地 求根法 ( 因式分解 ) 我们把形如 anxn+an-1xn- 1+a1x+a0(n 为非负整数 ) 的代数式称为关于x 的一元多项式，并用f(x) ，g(x) ，等记号表示，如f(x)=x2-3x+2， g(x)=x5+x2+6 ，当 x=a 时，多项式 f(x) 的值用 f(a) 表示如对上面的 多项式 f(x) f(1)=12-3 我们把形如 anx n+a n-1x n-1+a 1x+a

5、0(n 为非负整数 )的代数式称为关于 x的一元 多项式，并用 f(x) ，g(x) ，等记号表示，如 f(x)=x 2-3x+2，g(x)=x5+x2+6， 当 x=a 时，多项式 f(x) 的值用 f(a) 表示如对上面的多项式f(x) f(1)=1 2- 31+2=0； f(-2)=(-2) 2-3(-2)+2=12 若 f(a)=0 ，则称 a 为多项式 f(x) 的一个根 定理 1(因式定理 ) 若 a 是一元多项式 f(x) 的根，即 f(a)=0成立，则多项式 f(x) 有一个因式 x-a 根据因式定理，找出一元多项式f(x) 的一次因式的关键是求多项式f(x) 的 根对于任意多

6、项式 f(x) ， 要求出它的根是没有一般方法的， 然而当多项式 f(x) 的系数都是整数时，即整系数多项式时， 经常用下面的定理来判定它是否有有理 根 定理 2 的根，则必有 p 是 a0的约数，q 是 an的约数特别地，当a0=1时，整系数 多项式 f(x) 的整数根均为 an的约数 实用文档 标准文案 我们根据上述定理， 用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项 式进行 因式分解 例 2 分解因式： x 3-4x2+6x-4 分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4 的约数，逐个 检验-4 的约数： 1，2，4，只有 f(2)=2 3- 422+62-4=0， 即

7、 x=2 是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2 解法 1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2) 原式=(x 3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4) =x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x 2-2x+2) 解法 2 用多项式除法，将原式除以(x-2) ， 所以 原式=(x-2)(x 2-2x+2) 说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4 的约数，反 之不成立，即 -4 的约数不一定是多项式的根因此，必须对-4 的约数逐个代入 多项式进行验证 例 3 分解因式： 9x 4-3x3+7x2-3x-2 分析 因为 9 的约数有 1，

8、3，9； -2 的约数有 1， 为： 所以，原式有因式9x 2-3x-2 解 9x 4-3x3+7x2-3x-2 =9x 4-3x3-2x2+9x2-3x-2 =x 2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2 实用文档 标准文案 =(9x 2-3x-2)(x2+1) =(3x+1)(3x-2)(x 2+1) 说明 若整系数多项式有 分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数 因式，如上题中的因式 可以化为 9x 2-3x-2 ，这样可以简化分解过程 总之，对一元高次多项式f(x) ，如果能找到一个一次因式(x-a) ，那么 f(x) 就可以分解为 (x-a)g(x)，而 g(x) 是比 f(x

9、) 低一次的一元多项式， 这样，我们就 可以继续对 g(x) 进行分解了 双十字相乘法 ( 因式分解 ) 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式 (ax2+bxy+cy2+dx+ey+f) ，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按 x 降幂排列，并把 y 当作常数，于是上 式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法 对于某些二元二次六项式 (ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f) ，我们也可以用十字相乘法分解因式 例如，分解因式 2x 2-7xy-2

10、2y2-5x+35y-3 我们将上式按 x 降幂排列， 并把 y 当作常数，于是上式可变形为 2x 2-(5+7y)x-(22y2-35y+3) ， 可以看作是关于 x 的二次三项式 对于常数项而言， 它是关于 y 的二次三项式， 也可以用十字相乘法， 分解为 即 -22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1) 再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解 所以 原式=x+(2y-3) 2x+(-11y+1) 实用文档 标准文案 =(x+2y-3)(2x-11y+1) 上述因式分解的过程， 实施了两次十字相乘法 如果把这两个步骤中的十字 相乘图合并在一起，可得到下图： 它表示的是下面三个

11、关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x 2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x 2-5x-3 ； (2y-3)(-11y+1)=-22y 2+35y-3 这就是所谓的 双十字相乘法 用双十字相乘法对多项式ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤是： (1) 用十字相乘法分解ax 2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图 ( 有两列 ) ； (2) 把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十 字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于 原式中的 dx 例 1 分解因式： (1)x 2-3xy-10y2+x+

12、9y-2； (2)x 2-y2+5x+3y+4； (3)xy+y 2+x-y-2 ； (4)6x 2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2 解 (1) 原式=(x-5y+2)(x+2y-1) (2) 原式=(x+y+1)(x-y+4) (3) 原式中缺 x 2 项，可把这一项的系数看成0 来分解 原式=(y+1)(x+y-2) (4) 实用文档 标准文案 原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z) 说明 (4) 中有三个字母，解法仍与前面的类似 笔算开平方 对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通 过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可 例 求 316

13、.4841 的平方根 . 第一步 , 先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数 316.4841 分段成 3,16.48,41. 第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1 的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为 1，因为 12=13. 第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在 本例中第一余数为216. 第四步，找出试商，使 (20初商 +试商)试商不超过第一余数，而【20初商 +(试商+1)】(试商 +1)则大于第一余数 . 第五步，把第一余数减去 (20初商 +试商)试商，并移下第三段数字，组成第

14、 二余数，本例中试商为7，第二余数为 2748.依此法继续做下去，直到移完所有 的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束. 若余数永远不为零，则只能取某 一精度的近似值 . 第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐. 本 例的算式如下： 实用文档 标准文案 根式的概念 【方根与根式】数 a 的 n 次方根是指求一个 数，它的 n 次方恰好等于 a.a 的 n 次方根记为(n 为大于 1 的自然数 ). 作为代数式，称为根式 .n 称为根 指数， a 称为根底数 . 在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方 根，其 绝对值 相同，符号相反 . 【算术根】

15、正数的正方根称为算术根 . 零的算术根规定为 零. 【基本性质】由方根的定义，有 根式运算 【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的 乘积等于乘积的同次方根，即 0,b0) 【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即 实用文档 标准文案 0,b0) 【根式的乘方】0) 【根式化简】 0) 0,d0) 0,d0) 【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有 同类根式才可用加减运算加以合并. 进位制的基与数字 任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位 置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大1

16、0 倍，当小数点向左 移一位时其值缩小10 倍. 例如 一般地，任一正数a 可表为 实用文档 标准文案 这就是 10 进数，记作 a(10) ，数 10 称为进位制的基，式中ai 在0,1,2,L,9中 取值，称为 10 进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数. 现在 取 q 为任意大于 1 的正整数当作进位制的基，于是就得到q 进数表示 (1) 式中数字 ai 在0,1,2,.,q-1中取值， anan-1.a1a0称为 q 进数 a(q) 的整数部 分，记作 a(q); a-1a-2 .称为 a(q) 的分数部分，记作 a(q).常用进位制，除10 进制外，还 有 2 进制、

17、 8 进制、 16 进制等，其数字如下 2 进制 0, 1 8 进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 16 进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 各种进位制的相互转换 1 q10 转换适用通常的 10进数四则运算规则 ，根据公式 (1) ，可以把 q 进 数 a(q) 转换为 10进数表示 . 例如 2 10q转换转换时必须分为 整数部分和 分数部分进行 . 对于整数部分其步骤是： (1) 用 q 去除a(10)，得到 商和余数. 实用文档 标准文案 (2) 记下余数作为 q 进数的最后一个数字 . (3) 用商替换 a(10)的位置重复 (1) 和(2

18、) 两步，直到商等于零为止 . 对于分数部分其步骤是： (1) 用 q 去乘a(10). (2) 记下乘积的整数部分作为q 进数的分数部分第一个数字. (3) 用乘积的分数部分替换 a(10) 的位置，重复(1) 和(2) 两步，直到乘积变为整 数为止，或直到所需要的位数为止. 例如： 103.118(10)=147.074324.(8) 整数部分的草式 分数部分的草式 3 pq转换通常情况下其步骤是： a(p) a(10) a(q). 如果 p,q 是同一数 s 的不同次 幂，其步骤是： a(p) a(s) a(q). 例如， 8 进数 127.653(8) 转换为 16 进数时，由于 8=

19、23，16=24，所以 s=2，其步骤是：首先把8 进数的每个数字根 据 8-2 转换表转换为 2 进数( 三位一组 ) 127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2) 然后把 2 进数的所有数字从小数点起( 左和右 ) 每四位一组分组，从16-2 转换表 中逐个记下对应的16 进数的数字，即 实用文档 标准文案 正多边形各量换算公式 n为边数R为外接圆半径 a 为边长 爎为内切圆半径为圆心角 S 为多边形面 积重心 G与外接圆心 O重合正多边形各量换算公式表各量 正三角形 n 为边数R为外接圆 半径 a 为边长 爎为内切圆 半径 为圆心角 S 为多边形 面积 重心

20、 G与外接圆心 O重合 正多边形各量换算公式表 各量 正三角形正方形正五边形正六边形正 n 边形 图形 S a R 实用文档 标准文案 R a r 或许你还对作图感兴趣：正多边形作图 所谓初等几何作图问题， 是指使用无刻度的直尺和圆规来作图. 若使用尺规 有限次能作出几何图形， 则称为作图可能， 或者说欧几里得作图法是可能的，否 则称为作图不可能 . 很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边 形、正八边形、正十边形等. 而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、 正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法. 如何判断哪些作图可能，哪些作 图不可能呢？直到百余年前， 用代

21、数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个 关于尺规作图可能性的准则： 作图可能的充分必要条件是， 这个作图问题中必需 求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出. 几千 年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”： 立方倍积问题，即作一个立方体， 使它的体积二倍于一已知立方体的体积. 三等分角问题，即三等分一已知角. 化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积. 后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图. 实用文档 标准文案 代数式的求值 代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切许多代数式是先化简再求值， 特别是有附加条件的代数式求值问题

22、，往往需要利用乘法公式、 绝对值与算术根 的性质、分式的基本性质、通分、 求值中的方法技巧主要是 代数式恒等变形的技能、 技巧和方法 下面结合例 题逐一介绍 1利用因式分解方法求值 因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用 分析 x 的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后，再求值，将会 很麻烦我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件 解 已知条件可变形为3x 2+3x-1=0，所以 6x 4+15x3+10x2 =(6x 4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1 =(3x 2+3x-1)(2z2+3x+1)+1 =0+

23、1=1 说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可 能避免解 方程( 或方程组 ) ，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数 式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答 例 2 已知 a，b，c 为实数，且满足下式： a 2+b2+c2=1， 求 a+b+c的值 解 将式 因式分解 变形如下 即 所以 a+b+c=0或 bc+ac+ab=0 实用文档 标准文案 若 bc+ac+ab=0，则 (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab) =a 2+b2+c2=1， 所以 a+b+c=1所以 a+b+c 的值为 0，1，-1 说明 本题也可以用如下方法对

24、式变形： 即 前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3 拆成 1+1+1，最终都是将 式变形为两个式子之积等于零的形式 2利用 乘法公式求值 例 3 已知 x+y=m ，x 3+y3=n，m 0，求 x2+y2 的值 解 因为 x+y=m ，所以 m 3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3mxy， 所以 求 x 2+6xy+y2 的值 分析 将 x，y 的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y 的值正好是 一对共轭 无理数 ，所以很容易计算出x+y 与 xy 的值，由此得到以下解法 解 x 2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy =(x+y) 2+4xy 3设参数

25、法与换元法求值 如果代数式字母较多， 式子较繁，为了使求值简便， 有时可增设一些 参数(也 叫辅助 未知数 ) ，以便沟通数量关系，这叫作设参数法有时也可把代数式中某 一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法 实用文档 标准文案 分析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的 比值，以便把它们分割成几个等式 x(a-b)k ，y(b-c)k ，z(c-a)k 所以 x+y+z=(a-b)k (b-c)k+(c-a)k=0 u+v+w=1 ， 由有 把两边平方得 u 2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1， 所以 u 2+v2+w2=1， 即 两边平方有 所以 4利

26、用非负数的性质求值 若几个非 负数的和为 零，则每个非负数都为零， 这个性质在代数式求值中经 常被使用 例 8 若 x 2-4x+|3x-y|=-4 ，求 y x 的值 分析与解x，y 的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但 仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解 因为 x 2-4x+|3x-y|=-4 ，所以 x 2-4x 4|3x-y|=0 ， 即 (x-2) 2+|3x-y|=0 所以 y x=62=36 例 9 未知数 x，y 满足 (x 2y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0， 其中 m ，n 表示非零已知数，求 x，y 的值 分析与解两个未知数，

27、一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经 过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式 将已知等式变形为 m 2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0， (m 2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0 5利用分式、根式的性质求值 分式与根式的化简求值问题， 内容相当丰富， 因此设有专门讲座介绍， 这里 只分别举一个例子略做说明 例 10 已知 xyzt=1 ，求下面代数式的值： 实用文档 标准文案 分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变 解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，

28、分 式的值不变利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同 同理 分析 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂因 为这样一来，原式的对称性就被破坏了这里所言的对称性是 分利用 这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算 同样(但请注意算术根！ ) 将，代入原式有 练习六 2已知 x+y=a，x 2+y2=b2，求 x4+y4的值 3已知 a-b+c=3，a 2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求 ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) 的值 实用文档 标准文案 5设 a+b+c=3m ，求(m-a) 3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c) 的值 8已知 13x 2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13 x10 的值