弹性力学--纳维解法(板壳理论).pdf

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1、实用文档 文案大全 板壳理论课程设计 对工科各专业说来，弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是 分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度 和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。然而，它们之间还存在着一些不同。材 力中，基本上只研究杆状结构， 即长度远大于高度和宽度的构件。而材料力学中 主要研究的是这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。结构力 学中，主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即杆件系统。 至 于非杆状结构， 则是弹性力学的主要研究内容。在弹性力学中， 研究杆状结构一 般都不用诸如一些关于构建的形变状态或应力分布的假定，因

2、而得到的结果就比 较精确。 从 8 个方程 8个未知量，到圣维南原理、相容方程；从逆解法、半逆解法到 差分法、变分法，邱老师的课讲的十分生动，同学们也听得十分认真。到弹性力 学下册，也就是板壳理论，主要是研究薄板的小挠度变形及其应力、应变。求解 四边简支矩形薄板在载荷下的挠度， 以及矩形薄板的莱维法解及一般解法。 另外， 变厚度矩形和圆形薄板的挠度求解问题。差分法中引进了较为精确的边界条件以 及在均布载荷和集中载荷下的不同解法。 在课程设计的过程中， 在自学 Matlab 的过程中完成了纳维解法中挠度表达式 的表示和循环收敛过程， 并且完成了差分法中不同网格划分下的差分方程化为矩 阵形式后的求

3、解过程。除此之外，还学会了使用ABAQUS 创建板并定义厚度以减 少同等情况下创建实体添加边界条件不准确对计算结果产生的影响。尽管和差分 法与精确解的误差分析相比， 误差还是比较大， 但相比于创建三维实体并在底边 添加约束条件相比，误差还是减少了很多。 在计算过程中，先是采用厚度0.2m薄板，有限元方法的误差过大，而当把 薄板的厚度改为0.1m时，误差变小。两种厚度的薄板都进行了同样的计算。 四边简支的薄板在均布载荷作用下位移的最大值，薄板的尺寸为长宽高： 1 1 0.1，均布载荷为 2 1000/qNm，弹性模量E=205GPa，泊松比=0.3， 分别用：纳维法、差分法以及有限元方法进行求解

4、并比较求得的结果。 得到结果如下： 实用文档 文案大全 纳维解法 四边简支的正方形薄板，四边无支座沉陷时，边界条件为 0 0 0, 0, 0, 0, x x a y y b w w w w 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0, 0, 0, 0. x x a y yb w x w x w y w y 把挠度表示为如下的重三角级数： 11 sinsin mn mn m xn y wA ab a 代入弹性曲面的微分方程，得 2 22 4 22 11 sinsin mn mn mnm xny DAq abab b 为求出系数 mn A，须将式子右边展为与左边同样的重三角，即 11 sinsin

5、 mn mn m xn y qC ab c 得到 0 1 sindsin 2 a in n m xany qxC ab 00 sinsind d 4 ab ij m xn yab qx yC ab 与(b) 式对比，得 00 2 22 4 22 4sinsind d ab mn m xn y qx y ab A mn abD ab d 当薄板受到均布载荷时，q成为 0 q，则式(d) 积分成为 实用文档 文案大全 0 00 0 00 0 2 sinsind d sindsind 1cos1cos ab ab m xn y qx y ab m xny qxy ab q ab mn mn 则得到：

6、 0 26 22 1,3,5,1,3,5, 22 sinsin 16 mn m xn y q ab w D mn mn ab 对挠度表达式的后部运用Matlab进行编程迭代，在确定收敛之后，可以得 到： 厚度为 0.2m时： 2.7053e-08w 厚度为0.1m时： 2.1642e-07w 厚度为0.05m时： 1.73106we 厚度为0.01m时： 2.1638e-04w 差分法 4*4 网格划分 ： 差分方程： 0 0 0 123 231222 3213333 4 4 4 4 4 4 208(4)2(4)0 208(2)2(2)() 208(2)2()() ( ) ( ) ( ) q

7、a D q a D q a D www wwwwww wwwwwww 化简后得： 实用文档 文案大全 0 0 0 123 123 123 4 4 4 4 4 4 20328 82416 21620 ( ) ( ) ( ) q a D q a D q a D www www www 其中， 3 2 12 1 E D 化为矩阵形式： 14 0 2 3 203281 824161 4 216201 w qa w D w 得到结果： 厚度为0.2m时： 1 2 3 0.2682 1.0e-070.1951 0.1422 w w w 厚度为0.1m时： 1 2 3 0.2146 1.0e-060.156

8、1 0.1138 w w w 厚度为0.05m时： 1 2 3 0.1717 1.0e-05 0.1248 0.0910 w w w 厚度为0.01m时： 1 2 3 0.2146 1.0e-030.1561 0.1138 w w w 8*8 网格划分： 差分方程： 实用文档 文案大全 4 0 1234 4 0 231425257 4 0 32516438 4 0 45273816 53 208(4)2(4)4 8 208(2)2(22)(2) 8 208(22)2(2)(22) 8 208(2)2(22)(20) 8 208( qa wwww D qa wwwwwwwww D qa wwww

9、wwww D qa wwwwwwww D ww 4 0 4862579259 4 0 65938104 4 0 7845297 4 0 85974638108 )2()(0) 8 208(22)2(2)(2)0 8 208(2)2(2)(2) 8 208()2()() 8 qa wwwwwwwwww D qa wwwwwww D qa wwwwwww D qa wwwwwwwwww D 4 0 9681059579 4 0 1096810 208(0)2()() 8 208(2)2()(22) 8 qa wwwwwwwww D qa wwwww D 化简后得： 4 0 1234 4 0 123

10、457 4 0 1234568 4 0 12345678 234 203284000000 8 82516860000 8 2162241620200 8 84201628400 8 0388 qa wwww D qa wwwwww D qa wwwwwww D qa wwwwwwww D www 4 0 56789 4 0 345689 4 0 245789 4 0 345678910 5678 2382830 8 0022162004160 8 00840191620 8 002828208 8 000038819 qa wwwww D qa wwwwww D qa wwwwww D qa

11、 wwwwwwww D wwww 4 0 910 4 0 68910 8 8 000002021618 8 qa ww D qa wwww D 实用文档 文案大全 改为矩阵形式，为： 20 -32 8 4 0 0 0 0 0 0 -8 25 -16 -8 6 0 1 0 0 0 2 -16 22 4 -16 2 0 2 0 0 1 -8 4 20 -16 2 -8 4 0 0 0 3 -8 -8 23 -8 2 -8 3 0 0 0 2 2 -16 20 0 4 -16 2 0 1 0 -8 4 0 19 -16 2 0 0 0 1 2 -8 2 -8 20 -8 1 0 0 0 0 3 -8

12、 1 -8 21 -8 0 0 0 0 0 2 0 2 -16 18 1 2 3 4 4 5 0 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 18 1 1 1 1 w w w w wq a wD w w w w 得到： 厚度为0.2m时： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2700 0.2511 0.2335 0.1956 0.1820 1.0e-07 0.1421 0.1083 0.1009 0.0790 0.0441 w w w w w w w w w w 厚度为0.1m时： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2160 0.2008 0.1868 0.1565 0.1

13、456 1.0e-06 0.1137 0.0867 0.0807 0.0632 0.0353 w w w w w w w w w w 厚度为0.05m时： 实用文档 文案大全 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1728 0.1607 0.1494 0.1252 0.1165 1.0e-05 0.0910 0.0693 0.0646 0.0506 0.0282 w w w w w w w w w w 厚度为0.01m时： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2160 0.2008 0.1868 0.1565 0.1456 1.0e-03 0.1137 0.0867 0.08

14、07 0.0632 0.0353 w w w w w w w w w w 有限元法 厚度为0.2m时： 创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移 max 3.6788we 创建3D实体，得到在中心点有最大位移： max 5.4628we 厚度为0.1m时： 创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移 max 2.4437we 厚度为0.05m时： 创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移 max 2.4054we 创建3D实体，得到在中心点有最大位移： max 2.1664we 实用文档 文案大全 厚度为0.01m时： 创建壳实体，在材料赋定时确定

15、厚度，得到在中心点有最大位移 max 2.4054we 创建3D实体，得到在中心点有最大位移： max 2.1664we 结果对比 厚度为0.2m时： 纳维法 /1.0e-08 差分法/1.0e-08有限元法/1.0e-08 4 48 8Solid Shell max w 2.70532.6822.7005.4623.678 误差分析0 0.84%0.18%101.9%35.98% 厚度为0.1m时： 纳维法 /1.0e-07 差分法/1.0e-07有限元法/1.0e-07 4 48 8 Solid Shell max w 2.16422.1462.1602.443 误差分析0 0.84%0.19%12.88% 厚度为0.05m时： 纳维法 /1.0e-06 差分法/1.0e-06有限元法/1.0e-06 4 48 8 Solid Shell max w 1.73101.7171.7282.4051.817 误差分析0 0.81%0.17%38.94%4.97% 厚度为0.01m时： 纳维法 /1.0e-04 差分法/1.0e-04有限元法/1.0e-04 4 48 8 Solid Shell max w 2.16382.1462.1602.4052.166 误差分析0 0.82%0.18%22.75%0.14%