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1、实用文档 文案大全 椭圆中重要结论 一 椭圆中的一些不等关系 （1）设椭圆（ 22 22 1(0) xy ab ab ）， 00 (,)P xy是椭圆上任意一点， 12 ,FF为 椭圆的两个焦点，则： 0 axa， 0 byb 例 已知 12 ,FF是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点，P是椭圆上的一点且 2 12 PF PFc ，则此椭圆离心率的范围是_. 32 , 32 bPO a（其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远） 12 2PFPF c. 例 若椭圆上存在一点P，使得P到两个焦点的距离之比为2:1，则此椭圆离心 率的取值范围是 _.1,1)
2、 3 实用文档 文案大全 到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最 远的是左顶点 . 例 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cabc ab 的左右焦点分别为 12 ,FF，若以 2 F为圆 心， bc为半径作圆2 F，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且 PT 的 最小值不小于 3 () 2 ac，则椭圆的离心率取值范围为_.3 2 ,) 52 过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦 )最短，通径为 a b 2 2 二 椭圆焦点三角形的结论 （1）已知椭圆方程为),0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 两焦点分别为, 21 FF设焦点三角形 2
3、1F PF中, 21PF F则 2 tan 2 21 bS PFF 例 已知 12 ,FF是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的两个焦点， P 为椭圆上一点，且 12 PFPF ，若12PF F面积为 9，则短轴长为 _.3 实用文档 文案大全 练习椭圆 22 1 94 xy 的焦点为 12 ,FF，点 P 为其上的动点，当 12 F PF为钝角时， 点P的横坐标的取值范围为 _. 3 5 3 5 (,) 55 （2）已知椭圆方程为),0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 左右两焦点分别为, 21 FF设焦点三 角形 21F PF，若 12 PFPF 最大，则点 P 为椭
4、圆短轴的端点，且最大值为 2 a. 例 已知椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点分别为, 21 FF若椭圆上存在一点,P 使得 2 12 2PFPFb ，则椭圆的离心率e的取值范围 _. 2 ,1) 2 （3）已知椭圆方程为),0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 左右两焦点分别为, 21 FF设焦点三 角形 21F PF，若 21PF F最大，则点P为椭圆短轴的端点 例 已知椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点分别为, 21 FF若椭圆上存在一点,P 使得1290F PF ，则椭圆的离心率 e的取值范围 _. 3 ,1) 2 实用文档
5、 文案大全 （4）已知椭圆方程为),0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 两焦点分别为, 21 FF 设焦点三角形 21F PF中, 21PF F则.21cos 2 e 例 已知椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点分别为, 21 FF若椭圆上存在一点,P 使得,120 0 21PF F则椭圆的离心率e的取值范围 _. 3 ,1) 2 三 椭圆的中点弦问题 （1）在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 中，若直线 l 与椭圆相交于M， N 两点，点 00 (,)P xy是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为，则 2 0 2 0 MN yb
6、 k xa （2）在椭圆 22 22 1(0) yx ab ab 中，若直线 l 与椭圆相交于M，N两点，点 00 (,)P xy是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为，则 2 0 2 0 MN ya k xb 例 1 椭圆 22 1 169 xy ，以点( 1,2)M为中点的弦所在直线的斜率为_. （ 9 32 ） 实用文档 文案大全 例 2 已知椭圆 E： 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为(3,0)F，过点 F 的直线交 E 于,A B两点.若 AB 的中点坐标为(1, 1)，则椭圆的方程为 _. （ 22 1 189 xy ） 练习 1 已知椭圆 22
7、1 7525 yx 的一条弦的斜率为 3，它与直线 1 2 x的交点恰为这 条弦的中点 M ，则 M 的坐标为 _. 11 (,) 22 练习 2 已知椭圆 22 1 7525 yx ，则它的斜率为 3的弦中点的轨迹方程为 _. 5 35 3 0() 22 xyx 实用文档 文案大全 （综合题） 已知椭圆 E 过点(2,3)A，对称轴为坐标轴，焦点 12 ,FF在x轴上，离 心率 1 2 e. （1）求椭圆 E的方程； 22 1 1612 xy （2）求 12 F AF的角平分线所在的直线l 的方程；210xy （3）在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异的两点？若存在，请找出；若不 存在，说
8、明理由 .（不存在） 四 椭圆与直线的位置关系及其弦长公式 若椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ，直线:(0)lykxb k与椭圆交于 11 (,)A xy， 22 (,)B xy两点，则弦 AB 的长度为： 2 12 1ABkxx 或 122 1 1AByy k 实用文档 文案大全 例 设椭圆的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于,A B两点，直线 l 的倾斜 角为60，2AFFB. （1）求椭圆的离心率； （2）如果 15 4 AB，求椭圆 C 的方程 . l 练习 1 已知椭圆 2 2 :1 4 x Cy，直线 l 过点( 1,0)E且与椭圆相交于,A B两点， 是否存在AOB 面积的最大值，若存在，求出AOB 的面积，若不存在，说明 理由. 实用文档 文案大全 练习 2 已知椭圆 2 2 :1 4 x Cy，若直线:(0)lykxm k与椭圆相交于不同的 两点,M N（,M N不与左右顶点重合），且0MA NA，求证： l 过定点，并求 出定点的坐标 .