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1、实用标准方案 精彩文档 立体几何的动态问题之二 翻折问题 立体几何动态问题的基本类型： 点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等 一、面动问题（翻折问题） ： （一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论 .D FA E一 线 ： 垂 直 于 折 痕 的 线 即 五结论： 1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2-D H FDHF）是 二 面 角的 平 面 角 ； 3DD F）在 底 面 上 的 投 影 一 定 射 线上 ； 二、翻折问题题目呈现： （一）翻折过程中的范围与最值问题 1、 （ 2016 年联考试题） 平面四边形
2、ABCD 中， AD=AB=2，CD=CB= 5,且A DA B， 现将 ABD 沿对角线BD 翻折成A B D，则在A B D折起至转到平面BCD 的过程中， 直线A C与平面 BCD 所成最大角的正切值为_ . 解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心 ,EA 为半径的圆，当点A 运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以 3 ta n 3 A C B。 【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯 的错误 1 2 进行分析，找出错误的原因。 2、2015 年 10 月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形 ABCD 中，BAD=60，线段 AD ， BD 的中点分别为E，F。现将
3、 ABD 沿对角线 BD 翻折，则异面直线BE 与 CF 所成角的取 值范围是 D A B E C D A B C 4 ) DHD H点的 轨 迹 是 以为 圆 心 ，为 半 径 的 圆 ； 5A D EA E.） 面绕翻 折 形 成 两 个 同 底 的 圆 锥 E C A 实用标准方案 精彩文档 A.(,) 63 B. (, 62 C. (, 32 D. 2 (,) 33 分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查 了空间立体几何线线角的求法。 方法一 ：特殊值法（可过F 作 FH平行 BE,找两个极端情形） 方法二 ：定义法：利用余弦定理： 222 2 54 co s
4、243 F HF CC H F H CC H F HF C ，有 32 1 44 C H 11 co s, 22 C F H异面直线BE 与 CF 所成角的取值范围是 (, 32 方法三：向量基底法： 111 ()() 222 BEF CB AB DF CB A F CBFF AF C 111 co s,co s, 222 BEF CF CF A 方法四：建系： 3、 （ 2015 年浙江理8）如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD折成 A CD，所成二面角ACDB的平面角为，则（B ） A. A DBB. A DBC. A CBD. A CB 方法一 ：特殊值 方法二 ：定义法
5、作出二面角，在进行比较。 方法三 ：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。 4、 （14 年 1 月浙江省学业学考试题）如图在 RtABC 中， AC 1，BC x，D 是斜边 AB 的中点，将 BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过程 E F B D C A H 实用标准方案 精彩文档 中存在某个位置，使得CBAD ，则 x 的取值范围是 (A) A(0，3 B. 2 2 ，2C(3，2 3 D(2， 4 方法一 ：利用特殊确定极端值 方法二 ：在D A B中利用余弦定理转化为B D A的函数求解。 方法三 ：取 BC 的中点 E,连接 EA,ED 在 D E A中利用两边之和大于第三边求解
6、。 （二）翻折之后的求值问题 5、 （ 2016 届丽水一模13）已知正方形AB C D，E 是边 AB 的中点，将A D E沿D E折起 至DEA，如图所示，若A C D为正三角形，则ED与平面DCA所成角的余弦值是 25 5 6、 （2016 届温州一模8）如图，在矩形 ABCD 中， 2AB，4AD，点E在线段AD上且3AE，现分别沿,BECE将,ABEDCE翻折， 使得点D落在线段AE上，则此时二面角DECB的余弦值为( D ) A 4 5 B 5 6 C 6 7 D 7 8 三、课后练习 1、 （ 2012 年浙江 10）已知矩形 ABCD ，AB=1 ，BC=2。将ABD沿矩形的对
7、角线BD 所 D E C E D A BC A B 实用标准方案 精彩文档 在的直线进行翻折，在翻折过程中（B ） A.存在某个位置，使得直线AC 与直线 BD 垂直 . B.存在某个位置，使得直线AB 与直线 CD 垂直 . C.存在某个位置，使得直线AD 与直线 BC 垂直 . D.对任意位置，三对直线“AC 与 BD ” ， “AB 与 CD” ， “AD 与 BC”均不垂直 2（2009 年浙江 17）如图，在长方形ABCD中， AB=2,BC=1,E 为 DC的中点， F 为线段 EC(端 点除外 ) 上一动点， 现将AFD沿 AF折起，使平面 ABD 平面 ABC,在平面 ABD内
8、过点 D作 DK AB,K 为垂足，设AK=t, 则 t 的取值范围是 _ 1 (,1) 2 _. 3、 （ 16 年浙江六校联考）如图，在边长为2的正方形A B C D中，E为正方形边上的动点， 现将A D E所在平面沿AE折起，使点D在平面A B C上的射 影H在直线A E上，当E从点D运动到C，再从C运动到B， 则点H所形成轨迹的长度为_. 4、 （ 2010 年浙江 19 改编） 如图，在矩形ABCD中，点 E，F 分别在 线段AB，AD上，4 3 2 FDAFEBAE 沿直线EF将AEF翻 折成EFA， 使平面EFA平面BEF 点NM ,分别在线段BCFD , 上，若沿直线MN将四边
9、形MNCD向上翻折，使C与A重合，则线 段FM的长为 _ 5、（16 届金华十校一模17） 如图，在矩形 ABCD 中， 已知 AB=2， AD=4， 点 E、 F 分别在 AD、BC 上，且 AE=1，BF=3，将四边形AEFB 沿 EF 折起，使点B 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上. ( ) 求证 : CDBE; A M F E D C B N A D A C B E A B D CB D C A 实用标准方案 精彩文档 ( ) 求线段 BH 的长度； ( ) 求直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值. 17. 解： （1）由于BH平面CDEF，CDBH，又由于DE
10、CD，HDEBH， EBDCD平面，BECD. 法一： （2）设hBH，kEH，过F作FG垂直ED于点G，因为线段BE，BF在 翻折过程中长度不变，根据勾股定理： 222 22 222222 222 )2(29 5 kh kh GHFGBHFHBHBF EHBHBE ，可解得 1 2 k h ， 线段BH的长度为2. （2）延长BA交EF于点M，因为3:1:MBMABFAE，点A到平面EFCD的 距离为点 B到平面EFCD 距离的 3 1 ，点 A到平面EFCD 的距离为 3 2 ，而13AF，直 线AF与平面EFCD所成角的正弦值为 39 132 . 法二： （2）如图，过点E作DCER ，
11、过点E作ES平面EFCD，分别以ER、ED、 ES为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点)0,0)(,0(zyzyB， 由于)0,2,2(F，5BE，3BF， 9)2(4 ,5 22 22 zy zy 解得 ,2 ,1 z y 于是)2,1 ,0(B，所以线段 BH 的长度为 2. （3）从而 )2,1,2(FB ， 故) 3 2 , 3 1 , 3 2 ( 3 1 FBEA，) 3 2 , 3 7 , 3 8 (EAFEFA， F C A B D E H A E F C D B 实用标准方案 精彩文档 设平面EFCD的一个法向量为)1 ,0,0(n，设直线AF与平面EFCD所成角的大小为，
12、则 39 132 sin nFA nFA . 立体几何的动态问题之三 最值、范围问题 1、 （ 2006 年浙江理14）正四面体ABCD 的棱长为1，棱 AB平 面 ，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的 取值范围是. 实用标准方案 精彩文档 A B P 2、 （ 2008 年浙江理10） 如图， AB 是平面 a的斜线段， A 为斜足， 若点 P 在平面a内运动使得 ABP 的面积为定值， 则动点 P 的轨迹是 （） （A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线 3、 （ 15 届高考模拟卷文）如图，已知球O是棱长为 1 的正方体 1111 AB C DA B C D的内
13、切球，则平面 1 A C D截球O的截面面积为 4、 （ 2014 年金华高二十校联考文10）圆柱的轴截面ABCD 是边长为2 的 正方形， M 为正方形ABCD 对角线的交点， 动点 P 在圆柱下底面内 （包括圆 周） ，若直线BM 与直线 MP 所成角为 45 ，则点 P 形成的轨迹为( ) A椭圆的一部分B抛物线的一部分 C双曲线的一部分D.圆的一部分 5（2014 浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射 击训练已知点A 到墙面的距离为AB，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动， 此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A 观察点 P 的仰角 的大小 若 AB
14、15 m，AC25 m， BCM30 ，则 tan 的最大值是 _(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角 ) 6 （2015浙江卷 8） 如图 11-10， 斜线段 AB 与平面 所成的角为60 ， B为斜足，平面 上的动点 P满足 PAB 30 ， 则点 P的轨迹是 () A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支 式题 （1）如图，平面的斜线 AB 交 于 B 点，且与 所成的角为 ， 平面 内有一动点C 满足 BAC 6，若动点 C 的轨迹为椭圆，则的 取值范围为 _ (2)在正四面体ABCD 中， M 是 AB 的中点， N 是棱 CD 上的一个动点，若直线MN 与 BD 所成的角为 ，
15、则 cos 的取值范围是_ 7、(2014 年 7 月浙江学考第25 题)在棱长为1 的正方体 1111 A B C D -AB CD中， E、F分别是棱 1111 A DC D、的中 点，为线段 1 B C的中点，若、M 分别为 1 D B、 EF的动 O A B C D A B CD B A C D M P 实用标准方案 精彩文档 点，则PM+PN的最小值为 8、 （ 16 届嘉兴一模文15）边长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD将其对角线 1 AC与平面垂直，则正方体 1111 DCBAABCD在平面 上的投影面积为 9、 （ 16 届高考模拟卷理）正方体 ABCDA1B1C1
16、D1的棱长为1，底面 ABCD 的对角线BD 在平面 内，则正方体在平面 内的投影构成的图形面积的取值范围 是 10、 （16 届高考模拟卷理）将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径 为 1 且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为（） A 6 622 B 6 632 C 3 2232 D 3 3223 11、 （16 届宁波一模 理 14） 在AB C中，1 0 ,3 0B A CA C B，将直线B C绕AC 旋转得到 1 B C，直线A C绕A B旋转得到 1 A C， 则在所有旋转过程中，直线 1 B C与直线 1 AC 所成角的取值范围为_
17、 12、 （16 届金华十校一模理14）在四面体ABCD 中，已知ADBC，AD=6，BC=2，且 = 2 A BA C B DC D ，则 V四面体 ABCD的最大值为 A. 6 B. 21 1 C. 215 D. 8 13、 （15 年上海高考题改编）在四面体 ABCD 中，已知BCAD，2BC,6AD， ),7t(tCDACBDAB ，则 ABCD V四面体最大值的取值范围是 A. ,72 B.,3C. ,22 D. ,2 【答案】 B. 【解析】 试题分析： 设AD C， 设2A B， 则由题意1ADB D， 在空间图形中， 设A Bt， 在A CB中， 2222222 112 co
18、s 22112 A DD BABtt A D B A DD B ， 实用标准方案 精彩文档 在空间图形中，过A作AND C，过B作BMD C，垂足分别为N，M， 过N作 / /N PM B，连结A P， N PD C， 则A N P就是二面角AC DB的平面角，A N P， 在RtA N D中，coscosD NA DA D C，sinsinA NA DA D C， 同理，sinBMPN，co sD M，故2 cosBPM N， 显然B P面A N P，故B PA P， 在RtA BP中， 2222222 ( 2 co s)4 co sA PA BB Ptt， 在A NP中， 222 co sco s 2 A NN PA P A N P A NN P 2222 sinsin(4 cos) 2 sinsin t