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1、标准文档 实用文案 数列专题 3 一、裂项求和法 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的 目的 . 通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如： 1 1 nn aa ， n a是0d的等差 数列。 常用裂项形式有： ； 1 11 )1( 1 nnnn 11 11 () ()n nkk nnk ； ) 12 1 12 1 ( 2 1 1 ) 12)(12( )2( 2 nnnn n ； )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 )2)(1( 1 nnnnnnn ； )( 11 ba ba ba ； )( 11 nkn k nkn 特别
2、地：nn nn 1 1 1 二、用放缩法证明数列中的不等式 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。 1. 常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4 种： 1 n i i ak（k为常数）； 1 ( ) n i i af n ； 1 ( ) n i i af n ； 1 n i i ak（k为常数） . 放缩目标模型可求和（积）等差模型、等比模型、裂项相消模型 2. 几种常见的放缩方法 （1）添加或舍去一些项，如：aa1 2 ；nnn) 1( （2）将分子或分母放大（或缩小） nnnnn 1 1 1 )1( 11 2 ； 1 11 )1( 11 2 nn
3、nnn （程度大） ) 1 1 1 1 ( 2 1 )1)(1( 1 1 11 22 nnnnnn )2(n（程度小） 1 11 1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 1 1 n n nnnnnnn 或 2 1 22 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 n n nnnnnnn n n n nnnn 1111 3 1 2 1 1 平方型：) 12 1 12 1 (2 14 4 4 41 222 nnnnn ； ) 1 1 1 ( 4 1 )1(4 1 44 1 )12( 1 22 nnnnnnn 立方型： )1( 1 )1( 1 2 1 )1( 11 23 nnnnnnn
4、)2(n 指数型：)1( )( 11 1 ba baaba nnn ；)1( )( 11 1 ba baaba nn kkk kk 2 1 1 1 1； 利用基本不等式， 2 )1( ) 1( nn nn， 如：4lg16lg15lg) 2 5lg3lg (5lg3log 2 标准文档 实用文案 （一）放缩目标模型可求和等比数列或等差数列 例如：（1）求证：)(1 2 1 2 1 2 1 2 1* 32 Nn n . （2）求证：)( 1 12 1 12 1 12 1 12 1* 32 Nn n . （3）求证：)(2 232 3 22 2 12 1 * 32 Nn n n n . 总结： 放
5、缩法证明与数列求和有关的不等式，若 1 n i i a 可直接求和， 就先求和再放缩；若不能直接求和的， 一般要先将通项 n a放缩后再求和. 问题是将通项 n a放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的 n b才行呢？其实，能求和的常见数列模 型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中， n b大多是等比模 型或裂项相消模型. （1）先求和再放缩 例 1. 设各项均为正数的数列an 的前n项和为Sn，满足 4Snan 1 24n 1，nN *，且 a2，a5，a14构成等比 数列 (1) 证明： 21 45aa； (2) 求数列 an 的通项公式； (3)
6、证明：对一切正整数n，有 12231 1111 2 nn a aa aa a . 标准文档 实用文案 （2）先放缩再求和 例如： 求证：)(2 1 3 1 2 1 1 * 222 Nn n . 例如： 函数 x x xf 41 4 )(，求证：)( 2 1 2 1 )()2() 1( * 1 Nnnnfff n . 例 2.设数列 an的前 n 项和为 Sn，满足，且 a1，a2+5，a3成等差数列 （1）求 a1的值； （2）求数列 an的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有 总结：一般地， 形如 nn n baa或baa n n （这里1ba）的数列， 在证明k aaa n 111
7、21 标准文档 实用文案 （k为常数）时都可以提取出 n a利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型. 练习： 1.设数列 n a满足0 n a，1 1 a，)2()21 ( 11 naaana nnnn ，数列 n a的前n项和为 n S. （1）求数列 n a的通项公式； （2）求证：当2n时，2 1 n S n n ； （3）试探究：当2n时，是否有 3 5 )12)(1( 6 n S nn n ？说明理由 . （3）形如 1 ( ) n i i af n 例如： 设) 1(3221nnSn ，求证：)( 2 )2( 2 ) 1(* Nn nn S nn n . 根据所证不等式的结构特征来
8、选取所需要的不等式，不等式关系： 22 11 2 22 baba ab ba 注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 ba ab，若放缩成 1)1(nnn，则得 2 )1( 2 )3)(1( 1 2 1 nnn kS n i in ，就放过“度”了。 总结：形如 1 ( ) n i i af n 的数列不等式证明： 设 n S和 n T分别为数列 n a和 n b的前n项和，若)( * Nnba nn ，利用不等式的“同向可加性”这一 基本性质，则有 nn TS. 要证明不等式 1 ( ) n i i af n ，如果记)(nfTn 看作是数列 n b的前n项和，则
9、 标准文档 实用文案 )2( 1 nTTb nnn ， 11 Tb，那么只要证其通项满足 nn ba即可 . （二）放缩目标模型可求积 放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的 n b是可求积的模型，能求 积的常见的数列模型是 n n n C C b 1 （分式型），累乘后约简为 n i n i C C b 1 1 1 . 姐妹不等式：)00( mab ma mb a b ，和)00( mba ma mb a b ， 记忆口诀：“小者小，大者大” ， （解释：看b，若b小，则不等号是小于号，反之）。 例如： 求证：)( 12 1 2 12 6 5 4 3 2 1
10、* Nn nn n . 例如： 求证：12) 12 1 1 () 5 1 1)( 3 1 1)(11 (n n 。 总结： 形如 n i i nfa 1 )(的数列不等式证明：设 n A和 n B分别为数列 n a和 n b的前n项积，若 nn ba0， 利用不等式的 “正数同向可乘性” 这一基本性质， 则有 nn BA. 要证明不等式 n i i nfa 1 )(， 如果记)(nfBn 看作是数列 n b的前n项积，则)2( 1 n B B b n n n ， 11 Bb，那么只要证其通项满足 nn ba0即可 . 例 3. 已知数列 n a满足 3 2 1a ，)( 32 2* 1 Nn
11、a a a n n n . （1）求证： 1 1 n a 是等差数列，并求出 n a的通项 n a； （2）证明：对于 * Nn， 1 1 321 n aaaa n . 标准文档 实用文案 （二）添加或舍去一些正项（或负项） 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。 例如： 已知)(12 * Nna n n ，求证：)( 3 1 2 * 13 2 2 1 Nn a a a a a an n n . 例 4.已知数列 n a的各项为正数，其前n
12、 项和 2 ) 2 1 ( n nn a SS 满足. （I）求)2( 1 naa nn与 之间的关系式，并求 n a 的通项公式； （II）求证.2 111 21n SSS 例5. 已知数列：满足：，记. ( I ) 求证：数列是等比数列； ( I I ) 若对任意恒成立，求 t的取值范围； (III)证明:. 标准文档 实用文案 （三）固定一部分项，放缩另外的项 例 6. 设数列 an 的前n项和为Sn.已知a11， 2 1 212 33 n n S ann n ，nN *. （1）求a2的值； （2）求数列 an的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有 12 1117 4 n aaa
13、 . 练习： 2. 设 100 1 3 1 2 1 1s，则s的整数部分是（） A.17 B.18 C.19 D.20 3.已知 n a是各项都为正数的数列， n S为其前 n 项和，且1 1 a，) 1 ( 2 1 n nn a aS. （I）求数列 n a的通项 n a； （II）求证：) 1 1 1 (2 )1( 1 3 1 2 1 21nn SSnSS . 标准文档 实用文案 数列专题 3 一、裂项求和法 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的 目的 . 通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如： 1 1 nn aa ，
14、 n a是0d的等差 数列。 常用裂项形式有： ； 1 11 )1( 1 nnnn 11 11 () ()n nkk nnk ； ) 12 1 12 1 ( 2 1 1 ) 12)(12( )2( 2 nnnn n ； )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 )2)(1( 1 nnnnnnn ； )( 11 ba ba ba ； )( 11 nkn k nkn 特别地：nn nn 1 1 1 二、用放缩法证明数列中的不等式 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。 1. 常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4 种： 1 n i i ak （k为常数）；
15、 1 ( ) n i i af n ； 1 ( ) n i i af n ； 1 n i i ak （k为常数） . 放缩目标模型可求和（积）等差模型、等比模型、裂项相消模型 2. 几种常见的放缩方法 （1）添加或舍去一些项，如：aa1 2 ；nnn) 1( （2）将分子或分母放大（或缩小） nnnnn 1 1 1 )1( 11 2 ； 1 11 )1( 11 2 nnnnn （程度大） ) 1 1 1 1 ( 2 1 )1)(1( 1 1 11 22 nnnnnn )2(n（程度小） 1 11 1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 1 1 n n nnnnnnn 或 2 1 22 1
16、2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 n n nnnnnnn n n n nnnn 1111 3 1 2 1 1 平方型：) 12 1 12 1 (2 14 4 4 41 222 nnnnn ； ) 1 1 1 ( 4 1 )1(4 1 44 1 )12( 1 22 nnnnnnn 立方型： )1( 1 )1( 1 2 1 )1( 11 23 nnnnnnn )2(n 指数型：)1( )( 11 1 ba baaba nnn ；)1( )( 11 1 ba baaba nn kkk kk 2 1 1 1 1； 标准文档 实用文案 利用基本不等式， 2 )1( ) 1( nn nn，
17、如：4lg16lg15lg) 2 5lg3lg (5lg3log 2 （一）放缩目标模型可求和等比数列或等差数列 例如：（1）求证：)(1 2 1 2 1 2 1 2 1* 32 Nn n . 分析：不等式左边可用等比数列前n项和公式求和。 解析：左边 =1 2 1 1 2 1 1 ) 2 1 1( 2 1 n n 表面是证数列不等式，实质是数列求和。 （2）求证：)( 1 12 1 12 1 12 1 12 1* 32 Nn n . 分析：左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，将通项放缩为等比数列。 解析： nn 2 1 12 1 ，左边1 2 1 1 2 1 1 ) 2 1 1( 2
18、1 2 1 2 1 2 1 2 1 32n n n （3）求证：)(2 232 3 22 2 12 1* 32 Nn n n n . 分析：注意到 nn n n n 22 ，将通项放缩为错位相减模型。 解析： nn n n n 22 ，左边2 2 2 2 22 3 2 2 2 1 32nn nn 总结： 放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 1 n i i a 可直接求和， 就先求和再放缩；若不能直接求和的， 一般要先将通项 n a放缩后再求和. 问题是将通项 n a放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的 n b才行呢？其实，能求和的常见数列模 型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型
19、、裂项相消模型等. 实际问题中， n b大多是等比模 型或裂项相消模型. （1）先求和再放缩 例 1. 设各项均为正数的数列an 的前n项和为Sn，满足 4Snan 1 24n 1，nN *，且 a2，a5，a14构成等比 数列 (1) 证明： 21 45aa； (2) 求数列 an 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n，有 12231 1111 2 nn a aa aa a . 解析： (1) 当n 1时， 4a1a2 25， a2 24a 15. an0， 21 45aa. (2) 当n2时， 4Sn1an 2 4( n1) 1，； 4Snan 1 2 4n1， 由，得4an4Sn4
20、Sn1an 1 2 an 24， an1 2 an 24a n4(an2) 2. an0，an1an2， 当n2时， an是公差d 2的等差数列a2，a5，a14构成等比数列， a5 2a 2a14，(a26) 2 a2(a224) ，解得a23. 由(1) 可知， 4a1a2 254， a1 1. a2a1312， an是首项a11，公差d2 的等差数列 数列 an的通项公式为an2n 1. (3) 12231 111 nn a aa aa a 1111 1 3355 72121nn 11111111 1 2335572121nn 标准文档 实用文案 111 1 2212n . 总结：（3）
21、问左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩，表面是证数列不等式，实质是数列求和。 （2）先放缩再求和 例如： 求证：)(2 1 3 1 2 1 1 * 222 Nn n . 分析：左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和，保留第一项，从第二项开始放缩。 解析：)2( 1 1 1 )1( 11 2 n nnnnn 左边) 1 1 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1(1 nn )2(2 1 11n n 当1n时，不等式显然也成立. 例如： 函数 x x xf 41 4 )(，求证：)( 2 1 2 1 )()2() 1( * 1 Nnnnfff n . 分析：此题不等式左边不易求和，此
22、时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从 而对左边可以进行求和. 若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对 于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩 小或分母放大即可。 例 2.设数列 an的前 n 项和为 Sn，满足，且 a1，a2+5，a3成等差数列 （1）求 a1的值； （2）求数列 an的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有 解： （1）在 2Sn=an+12n+1+1 中，令 n=1 得： 2S1=a222+1，令 n=2 得： 2S2=a323+1， 解得： a2=2a1+3
23、，a3=6a1+13，又 2（ a2+5）=a1+a3，解得 a1=1 （2） 由 2Sn=an+12n+1+1， 得 an+2=3an+1+2 n+1， 又 a 1=1， a2=5 也满足 a2=3a1+2 1， 所以 an+1=3an+2n对 n N* 成立， an+1+2n+1=3 （ an+2 n） ，又 a 1=1，a1+2 1=3，a n+2 n=3n，a n=3 n2n； （3）分析： （3）左边不能直接求和，考虑将通项放缩后求和。利用指数函数的单调性放缩为等比模型。 （法二） an=3 n2n=（32） （3n1+3n2 2+3n3 22+ +2n1） 3n1， ， 标准文档
24、实用文案 + + 1+ +=； （法三） an+1=3n+12n+12 3n2n+1=2an，?， ， 当 n 2 时，?，?，?， 累乘得：?，+ + 1+ + + 总结：一般地， 形如 nn nbaa或baa n n（这里1ba）的数列， 在证明k aaa n 111 21 （k为常数）时都可以提取出 n a利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型. 练习： 1.设数列 n a满足0 n a，1 1 a，)2()21 ( 11 naaana nnnn ，数列 n a的前n项和为 n S. （1）求数列 n a的通项公式； （2）求证：当2n时，2 1 n S n n ； （3）试探究：当2n
25、时，是否有 3 5 )12)(1( 6 n S nn n ？说明理由 . 标准文档 实用文案 （3）形如 1 ( ) n i i af n 例如： 设) 1(3221nnSn ，求证：)( 2 )2( 2 ) 1(* Nn nn S nn n . 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系： 2211 2 22 baba ab ba 注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 ba ab，若放缩成 1) 1(nnn，则得 2 )1( 2 )3)(1( 1 2 1 nnn kS n i in ，就放过“度”了。 标准文档 实用文案 总结：形如 1 ( ) n
26、 i i af n 的数列不等式证明： 设 n S和 n T分别为数列 n a和 n b的前n项和，若)( * Nnba nn ，利用不等式的“同向可加性”这一 基本性质，则有 nn TS. 要证明不等式 1 ( ) n i i af n ，如果记)(nfTn 看作是数列 n b的前n项和，则 )2(1nTTbnnn ， 11 Tb，那么只要证其通项满足 nnba 即可 . （二）放缩目标模型可求积 放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的 n b是可求积的模型，能求 积的常见的数列模型是 n n n C C b 1 （分式型），累乘后约简为 n i n i C
27、C b 11 1 . 姐妹不等式：)00( mab ma mb a b ，和)00( mba ma mb a b ， 记忆口诀：“小者小，大者大” ， （解释：看b，若b小，则不等号是小于号，反之）。 例如： 求证：)( 12 1 2 12 6 5 4 3 2 1 * Nn nn n . 例如： 求证：12) 12 1 1 () 5 1 1)( 3 1 1)(11 (n n 。 总结： 形如 n i i nfa 1 )(的数列不等式证明：设 n A和 n B分别为数列 n a和 n b的前n项积，若 nn ba0， 利用不等式的 “正数同向可乘性” 这一基本性质， 则有 nn BA. 要证明不
28、等式 n i i nfa 1 )(， 如果记)(nfBn 看作是数列 n b的前n项积，则)2( 1 n B B b n n n ， 11 Bb，那么只要证其通项满足 nnba0 即可 . 标准文档 实用文案 例 3. 已知数列 n a满足 3 2 1 a，)( 32 2 * 1 Nn a a a n n n . （1）求证： 1 1 n a 是等差数列，并求出 n a的通项 n a； （2）证明：对于 * Nn， 1 1 321 n aaaa n . （二）添加或舍去一些正项（或负项） 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证 明不等式的需要，
29、有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。 例如： 已知)(12 * Nna n n，求证： )( 3 1 2 * 13 2 2 1 Nn a a a a a an n n . 本题在放缩时舍去了22 k ，从而使和式得到了化简。 标准文档 实用文案 例 4.已知数列 n a的各项为正数，其前n 项和 2 ) 2 1 ( n nn a SS 满足. （I）求)2( 1 naa nn与 之间的关系式，并求 n a的通项公式； （II）求证.2 111 21n SSS 例5. 已知数列：满足：，记. ( I ) 求证：数列是等比数列； ( I I )
30、若对任意恒成立，求 t的取值范围； (III)证明:. 解： （）证明：由得 即，且 2 23 1 n n n a a a 2 2 2 2 23 2 1 n n n n n a a a a a 2 ) 1( 4 1 2 23 1 1 n n n n n a a a a a 1 2 4 1 1 2 1 1 n n n n a a a a nn bb 4 1 1 4 1 1 2 1 1 1 a a b 标准文档 实用文案 数列是首项为，公比为的等比数列 （）由 ()可知 由得，易得是关于的减函数 ， （） 得证 （三）固定一部分项，放缩另外的项 例 6. 设数列 an 的前n项和为Sn.已知a11
31、， 2 1 212 33 n n S ann n ，nN *. （1）求a2的值； （2）求数列 an的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有 12 1117 4 n aaa . 解： (1) 依题意， 2S1a2 1 3 1 2 3 ，又S1a11，所以a24. (2) 当n2时， 2Snnan1 1 3 n 3n22 3 n，2Sn 1 (n1)an 1 3 (n 1) 3( n1) 22 3 (n1)， 两式相减得2annan1(n1)an 1 3 (3n 23n1) (2 n1) 2 3 ，整理得 (n 1)annan 1n(n1)， 即 1 1 1 nn aa nn . 又 21
32、 1 21 aa ，故数列 n a n 是首项为 1 1 1 a ，公差为1 的等差数列， 所以 n a n 1(n1)1n. 所以ann 2. (3) 当n 1时， 1 17 1 4a ；当n2 时， 12 11157 1 444aa ； 当n3 时， 2 11111 11 n annnnn ， 此时 12 111 n aaa 222 11111111111 1+1 434423341nnn 111717 1+ 4244nn . 综上，对一切正整数n，有 12 1117 4 n aaa . 此题采用了保留前2 项，从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，需根据 具体题型分
33、别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰到好处。 n b 4 1 4 1 1 2 4 1 ) 4 1 ( 4 11 n n n n n a a b 14 421 n n n a n n ta4 14 4 1 2 4) 14( 421 n n nn n t 14 4 1 2 n n n 4 3 14 4 1 2 14 4 1 2 n n 4 3 t nnn n n a 4 3 2 14 3 2 14 142 ) 4 3 4 3 4 3 (2) 4 3 2() 4 3 2() 4 3 2( 22 21 nn n naaa 4 3 2) 4 1 (12 4 1 1 ) 4 1 (1 4 3 2nnn n n 标准文档 实用文案 练习： 2. 设 100 1 3 1 2 1 1s，则s的整数部分是（） A.17 B.18 C.19 D.20 分析：不能直接求和式s，须将通项 n 1 放缩为裂项相消模型后求和. 思路：为了确定s的整数部分，必须将s的值放缩在相邻的两个整数之间. 3.已知 n a是各项都为正数的数列， n S为其前 n 项和，且1 1 a，) 1 ( 2 1 n nn a aS. （I）求数列 n a的通项 n a； （II）求证：) 1 1 1 (2 )1( 1 3 1 2 1 21nn SSnSS . 标准文档 实用文案