高二数学选修2-2定积分与微积分基本定理.pdf

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1、定积分与微积分基本定理 教学重点：定积分 的 概念 、 定积分的几何意义求简 单 的定 积 分 , 微 积分 基 本 定理 的 应用 教学难点：定积分的概念、求曲边图形面积 一定积分的概念 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程等问题的解决方法，这几个问题都有什么共同点 呢？ 分割以直代曲求和取极限（逼近 一般地，设函数( )fx在区间 , a b上连续， 分割用分点 0121iin axxxxxxb 将区间 , a b等分成n个小区间，每个小区间长度为 x（ ba x n ） ， 以直代曲在每个小区间 1,ii xx 上取一点1,2, i in，每份小曲边梯形的面积近似 为() i fx 求和

2、： 11 ()() nn nii ii ba Sfxf n 取极限如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式 n S无限趋近于常数S，那么 称该常数S为函数( )f x在区间 , a b上的 定积分 。记为：() b a Sfx dx 其中( )f x成为被积函数，x叫做积分变量， , a b为积分区间，b积分上限，a积分下限 。 思考定积分( ) b a f x dx是一个常数还是个函数？ 即 n S无限趋近的常数S（n时）称为() b a fx dx，而不是 n S 常见定积分 曲边图形面积： b a Sfx dx；变速运动路程 2 1 ( ) t t Sv t dt；变力做功( ) b a

3、 WF r dr 理解本来面积 =底高路程 =速度时间功=力位移 因为都是不规则的，所以都用先分割，再以直代曲，这样就可以相乘了，再求和，再取极 限。 二定积分的几何性质 定积分 b a fx dx表示由直线 ,(),0xa xb aby和曲线( )yf x=所围成的 曲边梯 形( 如图中的阴影部分) 的面积 ， 。 思考： 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？ 求曲边梯形的面积：dxxgxfS b a ) )()(（两曲线所围面积） ； 典例题一、用定义计算定积分 例 1计算定积分 2 2 1 x dx 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质 1() b

4、 a kdxk ba； 性质 2( )( )() bb aa kf x dxkf x dx k为常数 （定积分的线性性质） ； 性质 3 1212 ( )( )( )( ) bbb aaa f xfx dxfx dxfx dx（定积分的线性性质） ； 性质 4( )( )( )() bcb aac f x dxf x dxf x dxacb其中 （定积分对积分区间的可加性） ( )0 a a f x dx ； 试从运算过程和几何性质两方面给予解释。 说明：推广： 1212 ( )( )( )( )( )( ) bbbb mm aaaa fxfxfx dxf x dxfx dxfx 推广 : 1

5、2 1 ( )( )( )( ) k bccb aacc f x dxf x dxf x dxf x dx 三、微积分基本定理 思考：微积分与导数都应用了无限接近，求极限的方法，这两者之间有什么关系呢？ 设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t 时物体所在位置为S(t),速度为 v(t) （( )v to） ， 1、 任意一刻的速度v(t)就是 S(t) 的导函数 2、物体在时间间隔 12 ,T T内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ( ) T T v t dt， 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t ）在 12 ,T T上的增量 12 ()()S TS T来表达， 那岂不是有 2 1

6、( ) T T v t dt= 12 ()()S TS T ？ 对于一般函数( )f x，设( )( )Fxf x，是否也有( )( )( ) b a f x dxF bF a ？ 用 ( )f x 的原函数 的数值差 ( )( )F bF a 来计算 ( )f x 在 , a b 上的定积分 定理如果函数( )F x是 , a b上的连续函数( )f x的任意一个原函数，则 ( )( )( ) b a f x dxF bF a 为了方便起见，还常用 ( ) | b a F x表示( )( )F bF a，即 ( )( )|( )( ) b b a a f x dxF xF bF a 该式称之

7、为微积分基本公式或牛顿莱布尼兹公式。 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互 为逆运算 典型题一、基本定积分的计算 例 1计算下列定积分： （ 1） 2 1 1 dx x ；（2） 3 2 1 1 (2)xdx x A变式练习1：计算 1 2 0 x xe dx 已知 t 0，若（2x2）dx=3，则 t= （） A 3 B 2 C 1 D 3 或 1 分析：首 先利用定积分求出关于t 的方程，然后解一元二次方程求出t ，注意 t 0 解答：解：由 （ 2x2） dx=（x 22x）| =t 22t=3 ， 解得 t=3 后者 t= 1， 因为 t 0；

8、 所以 t=3 ； 故选 A A变式 2cosxdx= （） A 0 B 1 C 2 D 3 分析：直 接利用定积分的运算法则求法求解即可 解答： 解：cosxdx=sinx=1 0=1 故选： B 计算：=（） A 2 B 4 C 8 D 12 考点 ： 定 积分 专题 ： 导 数的综合应用 分析：求 出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限后作差得答案 解答：解： = =4 A.变式 3例 6 已知 t 0，若 0 t （2x-2 ）dx=8，则 t=（） 已知 2 0 （sinx-acosx ）dx=2，则实数 a 等于（） B变式 1 sin 2xdx=（ ） A 0 B CD

9、1 分析： 根据微积分基本定理计算即可 解答： 解： sin 2xdx= dx=（x sin2x ）=（sin 00）=， 故选： C B变式 2 cos 2xdx=（ ） 典型题二、分段函数的定积分 例题已知函数，则的值为（） AB 4 C 6 D 分析： 原式分解为x 2 在区间 2，0 上的积分与x+1 在区间 0 ，2 上的积分之和， 再分别用 积分公式求出它们的原函数，最后利用定积分的运算法则进行计算，即可得到原式的 值 解答： 解：= =（x 2+x+C 1）+（+C2）， （其中为C1、C2常数） = （） （） +（） （） =4+= 故选 D A变式 1 设f(x) x 2，

10、 x0 ，1 ， 2x，x1，2 ， 则 0 2f (x)dx等于 ( ) A变式 2 3 0 1xdx 四、用定积分计算围成图形面积。 例 2计算下列定积分： 22 00 sin,sin,sinxdxxdxxdx。 由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6 一 3 ) ，定积分的值取正值，且等 于曲边梯形的面积； 图 1 . 6 一 3 ( 2 ） （2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且 等于曲边梯形的

11、面积的相反数； ( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分 的值为 0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的 曲边梯形面积 图形在 x 轴下方时，定积分的值计算后加绝对值才等于曲边梯形面积。 函数值如果有正有负，则计算定积分时应该分开算。 【典型例题】用定积分计算围成图形面积 例 1（1）由抛物线xy 2 和直线x=1所围成的图形的面积等于（） 利用对称性可以简化运算 例题 2 求由抛物线 2 8 (0)yx y与直线6xy及0y所围成图形的面积. 在图形的不同部分函数关系式不一样。分几段求。 1.

12、找出分界点2. 写出每一段的函数关系 式 例题 3 如图，阴影部分的面积是（） 两条曲线围成图形，一条在另一条上方，函数即为 fxg x （上方函数 - 下方函数） A 变式 1 曲线 y=x 3与直线 y=x 所围成图形的面积为（ ） 分析：先 求出曲线y=x 3 与 y=x 的交点坐标， 得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一象 限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三象限的面积，从而求出所求 解答：解 ：曲线 y=x 3 与 y=x 的交点坐标为（0，0） ， （1，1） ， （ 1， 1） 曲线 y=x 3 与直线 y=x 在第一象限所围成的图形的面积是 = 根据 y=x 3

13、 与 y=x 都是奇函数， 关于原点对称， 在第三象限的面积与第一象限的面积相 等 曲线 y=x 3 与 y=x 所围成的图形的面积为 故选 B A 变式 2 图中 y=3x 2 与 y=2x 阴影部分的面积是（） 例 1（2） AB 9 CD 分 析： 求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求 和即可 解 答： 解：直线y=2x 与抛物线y=3 x 2 解得交点为（3， 6）和（ 1，2） 抛物线 y=3x 2 与 x 轴负半轴交点（，0） 设阴影部分面积为s，则 = = 所以阴影部分的面积为， 故选 C A变式 3 求由曲线 2 2yx与3yx，0x，2

14、x所围成的平面图形的面积。 A变式 4 求 3 2yxyx与 围成的图形面积 A变式 4 如图阴影部分是由曲线y 1 x， y 2x 与直线x2，y 0 围成， 则其面积为 _ B变式 1 例 7 求由xy4 2 与直线42xy所围成图形的面积 B变式 2 图中，阴影部分的面积是（） A 16 B 18 C 20 D 22 分析： 从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2， 2） ， （8，4） 过（ 2， 2）作 x 轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相 加即可得到阴影部分的面积 解答： 解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2， 2） ，

15、（8，4） 过（ 2， 2） 作 x 轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2： A1=0 2 dx=2 dx=， A2=2 8 dx= 所以阴影部分的面积A=A1+A2=18 故选 B B 变式 3. 已知抛物线y=x 2-2x 及直线 x=0,x=a,y=0 围成的平面图形的面积为 3 4 ，求 a 的值 B.变式 4 如图，求由两条曲线 2 xy， 2 4xy及直线y= -1所围成图形的面积 典型题用几何法求定积分 例题定积分dx 的值为（） ABC 1 D 1 分析： 根据定积分的几何意义，求定积分 解答： 解：由定积分的几何意义， y x o 1 2 2

16、- -1 -1 A B C D 2 xy 2 4xy 例 2 图 dx 为图中阴影部分的面积，dx= ； 故选 C A变式 1计算（1+）dx 的结果为（） A 1 BC 1+ D 1+ 分析： 由定积分的公式和定积分的几何意义计算可得 解答： 解：（1+）dx=1dx+dx=1+dx 由定积分的几何意义可知dx 表示圆 x 2+y2=1在第一象限的面积，即单位圆的四分之一， dx= 1 2= ， （1+）dx=1+， 故选： C A变式 2 计算：（x 2+ ）dx= A变式 3 计算：= 分 析： 根据 y=表示 x 轴上方的半圆，可得dx=，利用 =2 dxsinxdx ，即可求得结 论

17、 解 答： 解： y=表示 x 轴上方的半圆， dx= =2 dxsinxdx=2 （ cosx ）= 0= 故答案为： 分 析： 首先利用定积分的运算法则将所求转化为和的积分，然后分别求原函数代入求值 解 答： 解：（ x 2+ ）dx=|+= ； 故答案为： 典型题定积分的实际应用 例题一物体沿直线以v=t 2+3（t 的单位： s，v 的单位： m/s）的速度运动，则该物体在 1 4s 间行进的路程是 A变式 1 一个物体作变速直线运动，速度和时间关系为v（t ）=4-t 2 m/s，则该物体从0 秒 到 4 秒运动所经过的路程为 A变式 2 若 1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使

18、弹簧伸长10 cm，则需要花费的功 为（） （提示：fkx，f 为力， x 为伸长长度） A变式 3. 如果 1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（） B变式 1 汽车以每小时32 公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a=1.8 米/ 秒 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？ B变式 2 列车以 72km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度 2 0.4m/sa，问列车应在 进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？ B. 变式 3 物体 A以速度 2 31vt在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时， 物 体 B在物体 A的正前方5m处以 10

19、vt的速度与 A同向运动， 问两物体何时相遇？相遇时物 体 A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s） 小结 1() b a Sfx dx 其中( )f x成为被积函数，x叫做积分变量， , a b为积分 区间，b积分上限，a积分下限 。 2 定积分的几何性质曲边梯形 ( 如图中的阴影部分) 的面积 3 定理如果函数( )F x是 , a b上的连续函数( )f x的任意一个原函数，则 ( )( )( ) b a f x dxF bF a ， 求定积分的关键是求导函数的原函数 4.计算曲边梯形面积技巧 利用对称性可以简化运算 在图形的不同部分函数关系式不一样。分几段求。 1. 找出分界点2. 写出每一段的函数关系 式 两条曲线围成图形，一条在另一条上方，函数即为 fxg x （上方函数 - 下方函数） 5. 当原函数很难求，而很容易看出函数的几何意义时，可用几何法求定积分 6、定积分的常见应用：路程与速度、变力做功