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1、实用文档 文案大全 第八、九讲：一元二次、一元高次不等式及分式不等式的解法 教学要求： 1在熟练掌握一元一次不等式（组）的解法基础上，掌握一元二次不等式的解法及其它的一些 简单的高次不等式和分式不等式的解法。 2掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式等复杂不等式化归为整式不等式（组）。 3初步掌握含参不等式的解法，形成讨论思想，要注意它们的讨论依据的选取！ 一、复习： 1. 绝对值不等式常见类型的解法：（基本思想通过去绝对值转化为不含绝对值的不等式） 类型（1） ：()(0 )()f xaaafxa；( )(0)( )( )f xa af xaf xa或； ( )(0)( )( )af xba
2、baf xbbf xa或。 类型（ 2） ：()()()()()f xgxgxf xgx； ( )( )( )( )( )( )f xg xf xg xf xg x或 类型（ 3） ：含多个绝对值的不等式常见解法零点分段法（特殊方法还有：函数图象法； 数轴法）（注意每种方法的要领） 类型（4） ：平方法： 22 ( )( )( )( )f xg xf xg x（但去绝对值一般不要轻易采用平方法） 2. 一元一次不等式的解法： 一元一次不等式 0axbaxb 一元一次方程一次函数 yaxb 0a 解集 0 x xx 0 0 b axbx a 0a 解集 0 x xx 0a 0b，解集 0b，解集
3、R 注意： 一元一次不等式含参时，要分一次项系数0,0,0aaa及常数项b的符号讨论。 二、新课： 1一元二次不等式的解法（型如 2 0(000)axbxc或或或） 一 元 二 次 不 等 式 () 2 2 4 0(0) ac axbxca b 一 元 二 次 方 程 2 0axbxc 一 元 二 次 函 数 2 yaxbxc y O x 0b 0b O x y O x y 0 x 0 x 实用文档 文案大全 0，解集 1 12 2 ()x xx x xxx x x或 二不等根 12 xx 0，解集 1 ( , ) x xx xR 二相等根 12 xx 0，解集 () R 无 实 根 注：对二
4、次项系数0a类似地可由数形结合求解集！ （一）解简单的一元二次不等式 例 1. 求下列不等式的解集： （1） 2 2320xx； （2） 2 362xx； （ 3） 2 4410xx； （4） 2 230xx。 变式练习一： 解下列不等式： 2 32xx； 2 320xx。 变式练习二： 二次函数 2 ()yaxbxc xR的部分对应值如下表： x 3210 1 2 3 4 y 6 0 4664 0 6 则不等式 2 0axbxc的解集是 _。 （二）含参一元二次不等式的解法 例 2解关于x的不等式 2 2(1)40()axaxaR。 1 x 2 xx 1 x x x 实用文档 文案大全 变式
5、练习： 设方程 2 0(0)axbxca的两根为 12 ,x x，且 12 xx，则关于x的不等式 2 0axbxc的解集（用 12 ,xx表示）为 _。 （三）一元二次不等式解法的逆向问题 例 3. 0，已知不等式 2 0axbxc的解集为xx，求不等式 2 ()(2 )0acb xba xa的解集。 变式练习： （1） 2 1 2 3 0xxxaxbxc，则 2 0xcxbxa_。 2一元高次不等式的解法序轴标根法 引入：解不等式 () (3)(4)0xx。 递进：解不等式(3)(4)(5)0xxx。 实用文档 文案大全 序轴标根法 解一元高次不等式的步骤及注意事项： （1）分解因式成标准
6、型： 2 () 1 ()()()0 n xxx； （2）标根： 12n； （3）串线写解集：从最大根的右上方依 次串过每一个根，上方线遮住的x轴上的 实数代表 12 ()()()0 n xxx 的解集，下方线遮住的x轴上的实数代表 12 ()()()0 n xxx的解集。（含等号时端点也加等号）（注意重根情况怎么办？） 例 1. 解不等式：（ 1） 3 (1)(1)0x xx； （2） 223 (1)(2) (1)(1)0x xxxx。 变式练习：解不等式： （ 1） 322 (44 )(32)0xxxxx；（2） 222 (4 )2(4 )150.xxxx 课后作业： 1. 解关于x的不等式
7、： （1） 22 (2)(1)0xxx； （2） 2 341xxx； （3） 22 (21)(235)0xxxx； （4） 222 (1)(8 )2(8 )630xxxxx； （5） 22 3443xxxx； （6）(1)(2)(3)(4)120xxxx。 2. （1）当 0ab 时，不等式()()0axxb的解集是 _ 。 （2）设全集 2 ,560 ,3UR Ax xxBx xa，若5B，则（） A.ABU B. U C ABU C. U AC BU D. UU C AC BU （3） 已知不等式 2 20axbx的解集为 11 23 xx ， 则ab的值为 _。 （4）若不等式 2 ()
8、(43)0xaxx的解集是312xxx或，则实数a的值为 _。 （5）若关于x的不等式 2 60xaxa有解，且解的区间长度不超过5 个单位，则实数a的 取值范围是 _ 。 （6） （09 重庆卷理）不等式 2 313xxaa对任意实数x恒成立， 则实数a的取值范围 为（） x1 2n 实用文档 文案大全 A(, 14,) B (, 25,) C1,2 D(,12,) 3. （1）已知关于x的不等式 2 0axbxc 的解集是 11 23 x xx或 ，求不等式 2 0cxbxa的解集。 （2）设不等式 2 57120xxaxbx与同解，求ab、的值。 课后作业答案： 1.（1） 12xx；
9、（2）1135x xxx或或； （3） 5 111 2 xxx或 ； （4）11179xxxx或或 ； （5） 757 117 4 x xxx 或或； （6） 61x xx或。 2. （1） x xbxa或； （2）A ； （3）14； （4）2； （5）252401aa或； （ 6）A。 3. （ 1） 23xx； （2） 4 9 a b 。 3分式不等式的解法（基本思想：转化为整式不等式（但不能轻易去分母） 分式不等式的解法：一般通过移项通分化为如下常见类型： （1） ( ) 0( )( )0 ( ) f x f xg x g x ；（ 2） ( ) 0( )( )0 ( ) f x f
10、xg x g x ； （3） ( )0 ( ) 0 ( )( )0( ) g x f x f xg xg x ； （ 4） ( )0 ( ) 0 ( )( )0( ) g x f x f xg xg x 。 例 1. 解下列不等式： （1） 2 2 0 1 x xx ； （2） 2 2 34 0 310 xx xx ； （3） 2 2 41 1 372 xx xx 。 例 2. 解下列不等式： （1） 513 12(21)2xx ；（2） 32 2 417 1 45 xxx x xx ；（3） 4132 324 xxxx xxx 。 实用文档 文案大全 4. 一元二次不等式含参问题及三个“二次
11、”之间的关系 例 1. （1）已知关于x的不等式 22 (45)4(1)30mmxmx对一切实数x恒成立，求实 数m的取值范围； 变式：对于（1）中的条件改为“解集为 R” ，求实数m的取值范围。 （ 2）集 2 ,560(2 )(2)0AxBxxxxa xa，若() R C AB，求 实数a的取值范围。 （3）集 2222 ,56,281 3000AxBxxCxxxa x axx，满足 (),()ABCABCR，求实数a的值集； （4）已知 22 20,2(52 )50,Ax xxxZBxxk xkxZ，且 2AB，求实数k的取值范围。 变式：不等式 2 053xmx恰好有一个实数解，求实数
12、m的值集。 例 2 （1）已知集合 2 |80Ax xax， 2 |20Bx xaxb，且|49ABxx， 求实数,a b的值； 实用文档 文案大全 （2）已知集合02|,023| 22 aaxxxSxxxP，若PS，求实数a的取 值组成的集合A。 变式练习： 已知集合034|,0 3 2 | 22 aaxxxB x x xA，且BA，求实数a的取值范围。 （3）已知集合 2 |80Ax xax，|20Bx xa，且 ABB，求a的取值范围。 课后作业： 1. 解下列关于x的不等式： （1） 11 xx xx ；（2） 32 4 2 0 1 xxx x ； （3） 2 2 237 1 1 xx
13、 xx ；（4） 2 2 (21)(6) 0 231 xxx xx ； （5） 9 52 32 x x ； （6） 2 2 0 12 x xx ； （ 7） 21 2x ； （8） 12 0 3 x x x ； （9） 2 72 21xx ； （10） 2 22 55 60 11 xx xx ； （11） 1111 4563xxxx 。 2. （1）若不等式 2 230axax对xR恒成立，则实数a的取值范围是（） A.03a B.03a C. 03aa或 D. 3a （2）若不等式1 1 ax x 的解集是 12x xx或，则实数a的值为 _。 （3）p为何值时，不等式 2 (3)3 123
14、 1 px xx 对任意实数x恒成立。 （4）设集 249 52 ,210 32 AxxBx xxk x ，若AB，求实数k的取值 范围。 （5）设集 2*2 ,4300,AxBxmxnxxxmnN、，若 34ABxx，求mn、的值。 实用文档 文案大全 （6） 已知集合 222215 |(1)(1)0,|,03, 22 Ay yaaya aBy yxxx 若AB，求实数a的取值范围。 （7）设集 22 60 ,2(27)70 ,Ax xxBxxkxkCx xm mZ，若 3ABC，求实数k的取值范围。 （8） （09 天津卷理10）01ba, 若关于x的不等式 2 ()xb 2 ()ax的解
15、集中的整数恰有3 个，则（） A.10a B.01a C. 13a D. 36a （ 9）已知 22 ( , )|23Mx yxy，( , ) |Nx yymxb，若对于所有的Rm，均 有,MN则实数b的取值范围是（） A 2 6 , 2 6 B.（ 2 6 , 2 6 ） C.（ 3 32 , 3 32 ） D. 3 32 , 3 32 课后作业答案： 1. （1） 01xx； （2）210x xx或； （3）42x xx或； （4） 11 213 22 xxxx或或 ； （5） 133 252 xxx或 ； （6） 3224xxx或； （ 7）4004xxx或； （8）23x xx或； （
16、9） 11 321123 22 xxxxx或或或 ； （10） 11 22 22 x xxx或或 ； （11） 9 6543 2 x xxx或或 。 2.（ 1） B； （2）1 2 ； （3）6p； （4） 1010 55 xx； （5） 567 4812 mmm nnn 或或； （6）332aa或； （ 7） 43k ； （8） C 提示：由题得不等式 2 ()xb 2 ()ax即 222 (1)20axbxb，它的解应在两根 之间，故有 22222 44(1)40bbaa b，不等式的解集为 11 bb x aa 或 0 11 bb x aa 。若不等式的解集为 11 bb x aa ，又由01ba得01 1 b a ， 故32 1 b a ，即23 1 b a ，排除选项就选C。 （9） 解法一：双法；解法二：MN相当于点（ 0，b）在椭圆 22 23xy上或它的 内部 2 2 1, 3 b66 22 b。故选 A。