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1、实用标准文案 精彩文档 高一数学必修二圆与方程知识点整理 一、标准方程 22 2 xaybr 1. 求标准方程的方法关键是求出圆心, a b和半径r 待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例 2 利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2. 特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件方程形式 圆心在原点 222 0xyrr 过原点 22 2222 0xaybabab 圆心在x轴上 2 22 0xayrr 圆心在y轴上 2 22 0xybrr 圆心在x轴上且过原点
2、 2 22 0xayaa 圆心在y轴上且过原点 2 22 0xybbb 与x轴相切 22 2 0xaybbb 与y轴相切 22 2 0xaybaa 与两坐标轴都相切 22 2 0xaybaab 二、一般方程 2222 040xyDxEyFDEF 1. 22 0AxByCxyDxEyF表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 ABAB CC DEAF DEF AAA 实用标准文案 精彩文档 2. 求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材 122 P例r4 3. 22 40DEF常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1. 判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 dr点在圆
3、内；dr点在圆上；dr点在圆外 2. 涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PBBNBCr max PBBMBCr （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 min PAANrAC max PAAMrAC 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 四、直线与圆的位置关系 1. 判断方法（d为圆心到直线的距离） （1）相离没有公共点0dr （2）相切只有一个公共点0dr （3）相交有两个公共点0dr 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2. 直线与圆相切 （1）知识要点 基本图形 主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：
4、直线l与圆C相切意味着什么？ 圆心C到直线l的距离 恰好等于半径 r （2）常见题型求过定点的切线方程 实用标准文案 精彩文档 切线条数 点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无 求切线方程的方法及注意点 i ）点在圆外 如定点 00 ,P xy，圆： 22 2 xaybr， 22 2 00 xaybr 第一步：设切线l方程 00 yyk xx 第二步：通过drk，从而得到切线方程 特别注意： 以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上千万不要漏了！ 如：过点1,1P作圆 22 46120xyxy的切线，求切线方程. 答案：3410xy和1x ii ）点在圆上 1） 若点 00 xy，在圆
5、 222 xyr上，则切线方程为 2 00 x xy yr 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点 00 xy，在圆 22 2 xaybr上，则切线方程为 2 00 xaxaybybr 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析， 我们知道： 过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是判断 点与圆的位置关系，得出切线的条数. 求切线长：利用基本图形， 222 22 APCPrAPCPr 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 1 ACAP ACr kk 3. 直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理 及勾股定理常用 弦长公式： 2 22
6、121212 114lkxxkxxx x （暂作了解，无需掌握） （2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题 例：若圆 22 2 35xyr上有且仅有两个点到直线4320xy的距离为1，则 半径r的取值范围是 _. 答案：4,6 4. 直线与圆相离 会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题 实用标准文案 精彩文档 1. 若圆 222 120xymxmym，关于直线10xy，则实数 m的值为 _. 答案： 3（注意：1m时， 22 40DEF，故舍去） 变式：已知点A是圆C: 22 450xyaxy上任意一点，A
7、点关于直线210xy 的对称点在圆C上，则实数a_. 2. 圆 22 131xy关于直线0xy对称的曲线方程是_. 变式： 已知圆 1 C： 22 421xy与圆 2 C： 22 241xy关于直线l对称， 则直线l的方程为 _. 3. 圆 22 311xy关于点2,3对称的曲线方程是_. 4. 已知直线l：yxb与圆C： 22 1xy，问：是否存在实数b使自3,3A发出的光 线被直线l反射后与圆C相切于点 247 , 2525 B ？若存在，求出b的值；若不存在，试说明 理由 . 六、最值问题 方法主要有三种： （1）数形结合； （2）代换；（3）参数方程 1. 已知实数x，y满足方程 22
8、 410xyx，求： （1） 5 y x 的最大值和最小值；看作斜率 （2）yx的最小值； 截距（线性规划） （3） 22 xy的最大值和最小值. 两点间的距离的平方 2. 已知AOB中， 3OB ， 4OA ， 5AB ， 点P是AOB内切圆上一点， 求以 PA， PB，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！ 3. 设,P x y为圆 2 2 11xy上的任一点， 欲使不等式0xyc恒成立， 则c的取 值范围是 _. 答案：21c（ 数形结合和参数方程两种方法均可！） 七、圆的参数方程 222 cos 0 sin xr xyrr yr ，为参数 22
9、2 cos 0 sin xar xaybrr ybr ，为参数 实用标准文案 精彩文档 八、相关应用 1. 若直线240mxny（m，nR） ，始终平分圆 22 4240xyxy的周长， 则m n的取值范围是 _. 2. 已知圆C： 22 2440xyxy，问：是否存在斜率为1 的直线l，使l被圆C截得 的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理 由. 提示： 1212 0xxy y或弦长公式 2 12 1dkxx. 答案：10xy或40xy 3. 已知圆C： 22 341xy，点0,1A，0,1B，设P点是圆C上的动点， 22 dPAPB，求d的最值及对
10、应的P点坐标 . 4. 已知圆C： 22 1225xy， 直线l：211740mxmym（mR） （1）证明：不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程. 5. 若直线yxk与曲线 2 1xy恰有一个公共点，则k的取值范围 . 6. 已知圆 22 60xyxym与直线230xy交于P，Q两点，O为坐标原点， 问：是否存在实数m，使OPOQ，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 九、圆与圆的位置关系 1. 判断方法：几何法（d为圆心距） （1） 12 drr外离（2） 12 drr外切 （3） 1212 rrdrr相交（4） 12 drr内切 （5） 12 d
11、rr内含 2. 两圆公共弦所在直线方程 圆 1 C： 22 111 0xyD xE yF，圆 2 C： 22 222 0xyD xE yF， 则 121212 0DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程. 补充说明： 若 1 C与 2 C相切，则表示其中一条公切线方程； 若 1 C与 2 C相离，则表示连心线的中垂线方程. 3 圆系问题 （1）过两圆 1 C： 22 111 0xyD xE yF和 2 C： 22 222 0xyD xE yF交点的 实用标准文案 精彩文档 圆系方程为 2222 111222 0xyD xE yFxyD xE yF（1） 说明： 1）上述圆系不包括 2 C；2）当1
12、时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） （ 2 ） 过 直 线0AxByC与 圆 22 0xyDxEyF交 点 的 圆 系 方 程 为 22 0xyDxEyFAxByC （3）有关圆系的简单应用 （4）两圆公切线的条数问题 相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相 离时，有四条公切线 十、轨迹方程 （1）定义法（圆的定义） ：略 （2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标 的关系式轨迹方程. 例：过圆 22 1xy外一点 2, 0A作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析： 222 OPAPOA （3）相关点法
13、（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动 动点主动点 特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动. 例 1. 如图，已知定点2,0A，点Q是圆 22 1xy上的动点，AOQ的平分线交AQ于 M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程 . 分析：角平分线定理和定比分点公式. 例 2. 已知圆O： 22 9xy，点3,0A，B、C是圆O上的两个动点，A、B、C呈 逆时针方向排列，且 3 BAC，求ABC的重心G的轨迹方程 . 法 1： 3 BAC，BC为定长且等于3 3 实用标准文案 精彩文档 设,G x y，则 3 33 33 ABCBC ABCBC xxxxx x yyyyy
14、 y 取BC的中点为 33 , 24 E x ， 3 3 3 , 42 E y 222 OECEOC， 229 4 EE xy（1） 2 2 2 2 BC E BCE BCEBC E xx x xxx yyyyy y ， 3233 32 23 23 E E E E xx xx y yyy 故由（ 1）得： 22 2 2 333933 110, 1 22422 x yxyxy 法 2： （参数法） 设3cos , 3sinB，由 2 2 3 BOCBAC，则 22 3cos, 3sin 33 C 设 ,G x y ，则 2 33cos3cos 23 1coscos1 333 2 3sin3sin
15、 23 sinsin2 333 ABC ABC xxx x yyy y 4 , 33 ，由 22 112得： 2 2 33 110, 1 22 xyxy 参数法的本质是将动点坐标, x y中的x和y都用第三个变量（即参数） 表示， 通过消 参 得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x，y的范围 . （4）求轨迹方程常用到得知识 实用标准文案 精彩文档 重心,G x y， 3 3 ABC ABC xxx x yyy y 中点,P x y， 12 12 2 2 xx x yy y 内角平分线定理： BDAB CDAC 定比分点公式： AM MB ，则 1 AB M xx x ， 1 AB M yy y 韦达定理 .