牛吃草问题经典例题.pdf

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1、精心整理 英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10 头牛吃，可 以吃 22 天，或者供给16 头牛吃，可以吃10 天，如果供给25 头牛吃，可以吃几天？? 解题关键： ? 牛顿问题，俗称“ 牛吃草问题 ” ，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：? 1、求出每天长草量；? 2、求出牧场原有草量；? 3、求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量 -生长的草量 =消耗原有草量)；? 4、最后求出可吃天数? 想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把 10 头牛 22 天吃的总量与16 头牛 10 天吃的总量相比 较，得到的1

2、022-1610=60 ，是 60 头牛一天吃的草，平均分到（22-10 ）天里，便知是5 头牛一天吃的草，也就是 每天新长出的草。求出了这个条件，把25 头牛分成两部分来研究，用5 头吃掉新长出的草，用20 头吃掉原有的草， 即可求出 25 头牛吃的天数。? 解：新长出的草供几头牛吃1 天： ? （1022-161O ） (22-1O ）? =（220-160 ） 12? =6012? =5（头） ? 这片草供25 头牛吃的天数：? （10-5 ） 22（25-5 ）? =52220? =5.5 （天） ? 答：供 25 头牛可以吃5.5 天。 ? -? 精心整理 “ 一堆草可供10 头牛吃

3、 3 天，这堆草可供6 头牛吃几天？” 这道题太简单了，一下就可求出：3 10 65（天）。如果 我们把 “ 一堆草 ” 换成 “ 一片正在生长的草地” ，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类 工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。? ? 例 1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10 头牛吃 20 天，或者可供15 头牛吃 10 天。问：可供 25 头牛吃几天？? 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量 可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的

4、草虽然在变化，因为是匀速 生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和 每天新长出的草量这两个不变量。? 设 1 头牛一天吃的草为1 份。那么， 10 头牛 20 天吃 200 份，草被吃完；15 头牛 10 天吃 150 份，草也被吃完。 前者的总草量是200 份，后者的总草量是150 份，前者是原有的草加20 天新长出的草，后者是原有的草加10 天新长 出的草。 ? 200150 50 （份），201010（天），? 说明牧场 10 天长草 50 份， 1 天长草 5 份。也就是说，5 头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5 头牛以外的牛

5、吃的 草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草? （l05） 20 100 （份）或（ 155） 10100 （份）。? 现在已经知道原有草100 份，每天新长出草5 份。当有25 头牛时，其中的5 头专吃新长出来的草，剩下的20 头吃原有的草，吃完需100205（天）。? 所以，这片草地可供25 头牛吃 5 天。 ? 在例 1 的解法中要注意三点：? （1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。? （2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天 数可以计算出原有的草量。? （3）在所求的问题中

6、，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。? ? 例 2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打 开 2 个出水管，那么8 分钟后水池空；如果同时打开3 个出水管，那么5 分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多 少分钟？ ? 精心整理 分析：虽然表面上没有“ 牛吃草 ” ，但因为总的水量在均匀变化，“ 水” 相当于 “ 草” ? 进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1 相似。 ? 出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水

7、量，另一部分是开始排水至排空这段时间 内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。? 设出水管每分钟排出水池的水为1 份，则 2 个出水管8 分钟所排的水是2 816（份），3 个出水管5 分钟所排 的水是 3515（份），这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是 在 8-5=3 （分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是? (16-15)/3=1/3(份)? 假设让 1/3 个出水管专门排进水管新进得水,两相抵消 ,其余得出水管排原有得水,可以求出原有水得水量 为:(2-1/3) 8=40/3( 份)

8、或(3-1/3) 5=40/3( 份 )? 解:设出水管每分钟排出得水为1 份,每分钟进水量(2 8-35)/(8-5)=1/3( 份)? 进水管提前开了(2-1/3) 81/3=40( 分)? 答：出水管比进水管晚开40 分钟。 ? ? 例 3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20 头牛吃 5 天，或可供15 头牛吃 6 天。照此计算，可供多少头牛吃10 天？ ? 分析与解：与例1 不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1 的方 法，求出每天减少的草量和原有的草量。? 设 1 头牛 1 天吃的草为1

9、 份。 20 头牛 5 天吃 100 份， 15 头牛 6 天吃 90 份， 100-90=10 （份），说明寒冷使牧场 1 天减少青草10 份，也就是说，寒冷相当于10 头牛在吃草。由“ 草地上的草可供20 头牛吃 5 天” ，再加上 “ 寒冷 ” 代表 的 10 头牛同时在吃草，所以牧场原有草 （2010 ） 5150 （份）。? 由 1501015 知，牧场原有草可供15 头牛吃 10 天，寒冷占去10 头牛，所以，可供5 头牛吃 10 天。 ? ? 例 4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20 级梯级，女孩每分 钟走 15 级梯级，结果男孩

10、用了5 分钟到达楼上，女孩用了6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？? 精心整理 分析：与例3 比较， “ 总的草量 ” 变成了 “ 扶梯的梯级总数” ，“ 草 ” 变成了 “ 梯级 ” ，“ 牛 ” 变成了 “ 速度 ” ，也可以看成牛吃 草问题。 ? 上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、 女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩 5 分钟走了205 100（级），女孩 6 分钟走了15690（级），女孩比男孩少走了100 9010（级） ，多用了651（分），说明 电梯 1 分钟走 10 级。由男孩5 分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有? （20

11、10 ） 5150 （级）。? 解：自动扶梯每分钟走? （205156） （65） 10（级），? 自动扶梯共有（20 10） 5150 （级）。? 答：扶梯共有150 级。 ? ? 例 5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需30 分钟，同时开5 个检票口需20 分钟。如果同时打开7 个检票口，那么需多少分钟？? 分析与解： 等候检票的旅客人数在变化，“ 旅客 ” 相当于 “ 草” ， “ 检票口 ” 相当于 “ 牛” ，可以用牛吃草问题的解法求解。? 旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，

12、另一部分是开始检票后新来的旅客。? 设 1 个检票口 1 分钟检票的人数为1 份。 因为 4 个检票口30 分钟通过（4 30） 份， 5 个检票口20 分钟通过（520） 份，说明在（30-20 ）分钟内新来旅客（4 30-520）份，所以每分钟新来旅客? （4 30-520） （30-20 ）=2（份）。? 假设让 2 个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为? （4-2 ） 30=60 （份）或（ 5-2 ） 20=60 （份）。? 同时打开7 个检票口时，让2 个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要? 60（7-2 ）=

13、12 （分）。 ? 例 6 有三块草地，面积分别为5，6 和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11 头牛吃 10 天，第二块草地可供12 头牛吃 14 天。问：第三块草地可供19 头牛吃多少天？? 分析与解：例1 是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统 一起来。 ? 精心整理 5， 6，8 120 。? 因为 5 公顷草地可供11 头牛吃 10 天， 120524，所以 120 公顷草地可供11 24 264（头）牛吃10 天。 ? 因为 6 公顷草地可供12 头牛吃 14 天， 120620，所以 120 公顷草地可供1

14、220 240（头）牛吃14 天。 ? 120815，问题变为：120 公顷草地可供1915285 （头）牛吃几天？? 因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：? “ 一块匀速生长的草地，可供264 头牛吃 10 天，或供240 头牛吃 14 天，那么可供285 头牛吃几天？” ? 这与例 1 完全一样。设1 头牛 1 天吃的草为1 份。每天新长出的草有? （24014 26410） （1410 ） 180 （份） 。草地原有草（264 180 ） 10 840（份）。可供 285 头牛吃 ? 840（285 180 ） 8（天）。? 所以，第三块草地可供19 头牛吃 8 天。 ?

15、 -? 牛顿在其着作普遍的算术(1707 年出版 )中提出如下问题：12 条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由 格尔的牧草；21 条公牛在9 星期吃掉10 由格尔的牧草，问多少条公牛在18 个星期内吃掉20 由格尔的牧草？? （由格尔是古罗马的面积单位，1 由格尔约等于2,500 平方米）。这个着名的公牛问题叫做“ 牛顿问题 ” 。? 牛顿的解法是这样的：在牧草不生产的条件下，如果12 条公牛在四星期内吃掉三又三分之一由格尔的牧草、则 按比例 63 头公牛四星期内， 或 16 头公牛九个星期内，或八头公牛18 星期内吃掉10 由格尔的牧草， 由于牧草在生长， 所以 21 头公牛星期只吃掉10

16、 由格尔牧草，即在随后的五周内，在10 由格尔的草地上新长的牧草足够21-16=5头 公牛吃 9 星期，或足够5/2 头公牛吃18 个星期，由此推得，14 个星期（即18 个星期减去初的四个星期）内新长的牧 草可供 7 头公牛吃 18 个星期，因为5：14=5/2 ：7。前已算出，如牧草不长，则10 由格尔草地牧草可供八头公牛吃 18 个星期，现考虑牧草生长，故应加上7 头，即 10 由格尔草地的牧草实际可供15 头公牛吃18 个星期，由此按比例 可算出。 24 由格尔草地的牧草实际可供36 头公牛吃18 星期。 ? 牛顿还给出代数解法：他设1 由格尔草地一个星期内新长的牧草相当于面积为y 由

17、格尔，由于每头公牛每个星期 所吃牧草所占的面积看成是相等的，? 根据题意，设若所求的公牛头数为x，则（ 10/3+10/3 ）*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x? 解得 x=36 即 36 条公牛在18 个星期内吃掉24 由格尔的牧草。? ? 精心整理 有一片牧场，已知饲牛27 头， 6 天把草吃尽。饲牛23 头，则 9 天吃尽。如果饲牛21 头，问几天吃尽？? 解：假设1 头牛 1 天吃的草为1.? 每天新长的草： （ 239-276） （9-6 ）=15? 牧场原有的牧草：276-156=72? 21 头牛几天把草吃尽：72 （ 21-

18、15 ）=12? 计算这种牛顿问题，必须明确一个道理，就是牧场上的草不是固定不变的，而是在不断地生长，计算时要把这一 点考虑进去。 （江苏人民出版社小学数学袖珍手册）? 牛顿问题是牛顿在1707 年提出的着名命题，其思想方法在实践中有重要的应用。? 没看吧主的解，试做了一下：? 设原有草X，每天长草Y，每天每牛吃草Z， ? 得方程组： 1、X+6Y=Z*27*6? 2、X+9Y=Z*23*9? 3、X+?Y=Z*21*? 由 1、2 得 Y=15Z ，X=72Z ，代入 3，? 得到 :72Z+15?Z=21?Z? 得到 :?=12.? 小明步行从甲地出发到乙地，李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲

19、地.48 分钟后两人相遇，李刚到达甲地后马上返回乙 地，在第一次相遇后16 分钟追上小明.如果李刚不停地往返于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时，李刚共追上小明 几次？ ? 试解：根据题意，设李速度为X，小明速度为Y，得到： ? 16* （X-Y ）=2*48Y ，得： X=7Y ，即李的速度是小明的7 倍，换句话说，小明走完全程时，李刚走完了七个全程的距 离，到达甲地，可知，中途和小明相会7 次，其中 “ 追上 ”3 次， ? ? 牛吃草问题 ? 精心整理 1.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27 头牛吃 6 周，或供23 头牛吃 9 周，那么它可供21 头牛吃几周？? 解答这类问题，困难在于

20、草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部 分组成的：某个时间期限前草场上原有的草量；这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找 出这两个量来。? 假设一头牛一周吃草一份? 则 23 头牛 9 周吃的总草量：1 239=207 份? 27 头牛 6 周吃的总草量：1 27 6=162 份? 所以每周新生长的草量：（207-162 ） （ 9-6）=15 份? 牧场上原有草量：127 6-156=72 份， （或 1 239-159=72 份） ? 牧场上的草21 头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21 头牛分成两部分：一部分看成

21、专吃牧场上原有的草， 另一部分看成专吃新生长的草.? 假设有 15 头牛专吃新生长的草，另一部分21-15=6 头牛专去吃原有的草? 则牧场上原有的的草够吃726=12 周? 即这个牧场上的草够21 头牛吃 12 周.? 2.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。已知某草地上的草可供20 头牛吃 5 天，或供15 头牛吃 6 天。那么它可供多少头牛吃10 天？ ? 假设一头牛一天吃草一份? 则 20 头牛 5 天吃的总草量：1 205=100 份? 15 头牛 6 天吃的总草量：1 156=90 份? 所以每天枯草量： （100-90 ） （ 6-5）=10 份? 牧场上原有草量：

22、1205+105=150 份? 牧场上的草可供多少头牛吃10 天？ ? （150-1010 ） 10=5 头牛 ? 3.一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16 头牛吃 20 天，或者供80 只羊吃 12 天.如果一头牛一天的吃 草量等于4 只羊一天的吃草量，那么10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？? 精心整理 由于 1 头牛每天的吃草量等于4 只羊每天的吃草量，故60 只羊每天的吃草量和15 头牛每天吃草量相等，80 只羊每 天吃草量与20 头牛每天吃草量相等。? 所以问题可转化为：这片牧草可供16 头牛吃 20 天，或者供20 头牛吃 12 天.那么（ 10+15 ）=2

23、5 头牛可以吃多少天? 设一牛一天吃草一份? 则每天长草（116 20-12012） （20-12 ）=10 份? 原有草 1 1620-1020=120 份? 假设 25 头牛中， 10 头牛专吃每天新长的10 份草，另外的25-10=15头牛专吃原有草? 则 12015=8 天 ? 即这块草场可供10 头牛和 60 只羊吃 8 天。 ? 4.一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 12 人淘水， 3 小时淘完；如5 人淘水， 10 小时淘完 . 如果要求2 小时淘完，要安排多少人淘水？? 设 1 人 1 小时的淘水量为“1份” ? 则 12 人 3 小时淘水： 1 123=

24、36 份? 5 人 10 小时淘水： 1 5 10=50 份? 所以每小时漏进水： （50-36 ） （10-3 ）=2 份? 淘水时已漏进的水：36-23=30 份? 所以如果要求2 小时淘完，要安排（30+22） 2=17 人淘水 ? 5.一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5 台抽水机连续20 天可抽干； 6 台同样的抽水机连续15 天可抽干 .若要 求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？? 设 1 台抽水机连1 天抽水 1 份? 则 5 台抽水机连续20 天抽水 5 20=100 份? 6 台抽水机连续15 天抽水 6 15=90 份? 每天进水（ 100-90 ） （20-15

25、 ）=2 份? 原有的水 100-220=60 份? 精心整理 所以若 6 天抽完，共需抽水机（60+26） 6=12 台? 6.有三块草地， 面积分别为5、6 和 8 公顷。 草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11 头牛吃 10 天， 第二块草地可供12 头牛吃 14 天。问第三块草地可供19 头牛吃多少天？? 将三块草地的面积统一起来：? 即5，6，8=120? 第一块草地可供11 头牛吃 10 天， 120/5=24 ，变为 120 公顷草地可供11 24=264 头牛吃 10 天? 第二块草地可供12 头牛吃 14 天， 120/6=20 ，变为 120 公顷草地可供12

26、 20=240 头牛吃 14 天? 120/8=15 ，问题变为120 公顷草地可供19 15=285 头牛吃多少天? 于是，假设一头牛一天吃草一份? 所以 120 公顷草地每天新生长的草：（24014-26410） （14-10 ）=180 份? 120 公顷草地原有草：26410-180 10=840 份? 所以可供285 头牛吃 840（285-180 ）=8 天 ? 即第三块草地可供19 头牛吃 8 天? 7.经测算，地球上资源可供100 亿人生活100 年，或可供80 亿人生活300 年。假设地球新生资源速度一定，那么为 满足人类不断发展需要，地球最多能养活多少亿人？? 设 1 亿人

27、 1 年消费资源1 份? 则 100 亿人生活100 年消费资源100*100=10000份? 80 亿人生活300 年消费资源80*300=24000份? 所以每年新生资源（24000-10000） （300-100 ）=70 份? 为满足人类不断发展需要，应使每年消费的总资源不超过每年新生资源? 所以地球最多能养活701=70 亿人 ? 8.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4 个检票口需30 分钟，同时开5 个检票口需20 分钟，如果同时开7 个检票口，那么需多少分钟？? 假设 1 个检票口1 分钟检票1 组? 精心整理 则

28、 4 个检票口30 分钟检票4*30=120组? 5 个检票口20 分钟检票5*20=100组 ? 所以每分钟来的旅客：（120-100 ） （30-20 ） =2 组? 开始检票前已来旅客：120-230=60 组? 所以如果同时开7 个检票口，那么需60（7-2）=12 分钟 ? 9.画展 9 点开门， 但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开 3 个入场口， 9 点 9 分就不再有人排队；如果开5 个检票口， 9 点 5 分就没有人排队。那么第一个观众到达时间是8 点多少分？ ? 假设 1 个入口 1 分钟进入人数为1 组 ? 则 3 个入口 9 分钟

29、进入人数3*9=27 组? 5 个入口 5 分钟进入人数5*5=25 组? 所以每分钟来的观众人数：（27-25 ） （9-5 ）=0.5 组? 开门前已来的观众：25-0.5*5=22.5组? 所以第一个观众到达时间是9 点-（22.5 0.5 ）分 =8 点 15 分? 10.牧场上有一片匀速生长的草地，可供17 头牛吃 30 天，或供19 头牛吃 24 天。现有一群牛吃了6 天后卖掉4 头， 余下的牛又吃了2 天将草吃完。这群牛原来有多少头？? 设 1 头牛 1 天吃草 1 份? 则 17 头牛 30 天吃草： 117 30=510 份? 19 头牛 24 天吃草： 1 19 24=45

30、6 份? 所以每天新生草： （510-456 ） （ 30-24 ）=9 份? 牧场上原有草：510-930=240 份? 假设那 4 头牛不卖掉，必须另备两天的草1 42=8 份 ? 所以这群牛原来有：240+9（6+2 ）+8 （6+2 ）=40 头? 11.自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20 级台阶，女孩每分 钟走 15 级台阶，结果男孩用了5 分钟到达楼上，女孩用了6 分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？? 精心整理 男孩 5 分钟走了20 5=100 级? 女孩 6 分钟走了156=90 级? 女孩比男孩少走了100-90=10级，多用了6-5=1 分钟，说明扶梯1 分钟走 10 级? 因为男孩用了5 分钟到达楼上? 该扶梯共有205+105=150 级台阶