用FFT对信号作频谱分析.pdf

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1、实验三：用FFT对信号作频谱分析 一、实验原理与方法 1、用 FFT对信号作频分析是学习数字信号处理的重要内容，经常需要进行 分析的信号是模拟信号的时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分 辨率 D和分析误差。 频谱分辨率直接和FFT的变换区间 N有关，因为 FFT能够实 现的频率分辨率是N2，因此要求DN2。可以根据此式选择FFT的变换区 间 N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信 号除外）是连续谱，只有当N 较大时，离散谱的包络才能逼近连续谱，因此N 要适当选择大一些。 2、周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT ，得到的离 散谱才能

2、代表周期信号的频谱。 如果不知道信号周期， 可以尽量选择信号的观察 时间长一些。 3、对模拟信号进行谱分析时， 首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。 如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期长度，经过采样后形成周期序列， 按照周期序列的谱分析进行。 二、 实验内容 1、对以下序列进行FFT谱分析： )()(41nRnx n nn nn nx 其他0 748 301 )(2 n nn nn nx 其他0 743 304 )(3 选择 FFT的变换区间 N为 8 和 16 两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频 特性曲线，并进行讨论、分析。程序见附录3.1、实验结果见图3.1 。 2、对以下周期

3、序列进行谱分析： nnx 4 cos)( 4 nnnx 8 cos 4 cos)( 5 选择 FFT的变换区间 N为 8 和 16 两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频 特性曲线，并进行讨论、分析与比较。程序见附录3.2 、实验结果见图3.2 。 3、对模拟周期信号进行频谱分析： ttttx20cos16cos8cos)(6 选择采样频率 Fs=64Hz ，FFT的变换区间 N为 16、32、64 三种情况进行频谱 分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。程序见附录3.3 、 实验结果见图 3.3 。 4、已知有序列： n nn nn nx 其他0 748 301 )( 2 n

4、nn nn nx 其他0 743 304 )( 3 )()()( 329 njxnxnx 对)( 9nx选择 FFT的变换区间 N为 8 和 16两种情况进行频谱分析， 分别打印 出幅频特性曲线，并进行讨论、分析。程序见附录3.4 、实验结果见图3.4 。 5、已知序列1 ,2,3 ,3 ,2, 1)(nx。 （1）求出)(nx的傅里叶变换)( jw eX， 画出幅频特性相频特性曲线 （提示： 用 1024 点 FFT近似)( jw eX） ； （2）计算)(nx的)6(NN点离散傅里叶变换)(kX，画出幅频特性和相频特性 曲线； （3）将)( jw eX和)(kX的幅频特性和相频曲线特性分别

5、画在同一幅图中，验证 )(kX是)( jw eX的等间隔采样，采样间隔为N/2； （4）计算)(kX的 N点 IDFT,验证 DFT和 IDFT 的唯一性。程序见附录3.5 、实验 结果见图 3.5 、3.6 、3.7 。 6、选择合适的变换区间长度N，用 DFT对下列信号进行谱分析，画出幅频特性 和相频特性曲线。程序见附录3.6 、实验结果见图 3.8 、3.9 。 )55.0sin()45.0sin()( 2 nnnx )10(2)( 213 1 nRnx n 三、实验结果和分析、讨论及结论 1、实验结果 图 3.1 )()()(321nxnxnx、的幅频特性曲线 实验分析、讨论及结论：

6、)( 1 nx、)( 2 nx、)( 3 nx是非周期的对称序列。由实验结果可以看出所得的实 验频谱图是正确的，它与理论频谱是一致的。 2、实验结果 图 3.2 )()(54nxnx、的幅频特性曲线 实验分析、讨论及结论： nnx 4 cos)( 4 的周期为 8，所以 N=8和 N=16均是其周期的整数倍，得到正 确的单一频率正弦波的频谱，仅在0.25处有 1 根单一谱线。 nnnx 8 cos 4 cos)( 5 的周期为 16，所以 N=8不是其周期的整数倍，得到 的频谱不正确。 N=16是其一个周期，得到正确的频谱，仅在0.25 和 0.125 处有 2 根单一谱线。 3、实验结果 图

7、 3.3 )(6tx采样频率 Fs=64Hz的幅频特性曲线 实验分析、讨论及结论： 由实验结果可知，)( 6tx 有 3 个频率成分： f1=4Hz, f2=8Hz, f3=10Hz。所以 x6( t )的周期为 0.5s ，采样频率 Fs=64 Hz=16f1 =8f 2=6.4f3。 变换区间 N =16 时，观察时间Tp=16T=0.25 s ，不是)( 6t x的整数倍周期，所 以所得频谱不正确，如图 3.3 （6a） 所示。 变换区间 N =32， 64 时， 观察时间Tp=0.5s， 1s，是)( 6tx 的整数周期，所以所得频谱正确。 4、实验结果 00.511.52 0 5 1

8、0 15 20 25 30 (9a) 8 点 DFTx 9(n) / 幅 度 00.511.52 0 5 10 15 20 25 30 (9b) 16 点 DFTx 9(n) / 幅 度 图 3.4 )(9nx的幅频特性曲线 实验分析、讨论及结论： 实验结果表明所得)( 9 nx的频谱和其理论得出的频谱一致。它是由)( 2 nx和 )( 3 njx相加所得，可以看出它是一个非周期性的近似对称序列。 5、实验结果 00.20.40.60.811.21.41.61.82 0 5 10 15 x(n) 的 幅 频 曲 线 00.20.40.60.811.21.41.61.82 -4 -2 0 2 4

9、 x(n) 的 相 频 曲 线 图 3.5 傅里叶变换)( jw eX的幅频特性相频特性曲线 0123456 0 5 10 15 N=6 点 时 的 DFTx(n)=x1(k) 012345 -4 -2 0 2 4 x1(k) 的 相 位 05101520 0 5 10 15 N=18 点 的 DFTx(n)=X2(k) 05101520 -4 -2 0 2 4 X2(k)的 相 位 010203040 0 5 10 15 N=36 点 时 的 DFTx(n)=X 3(k) 05101520253035 -4 -2 0 2 4 X3(k)的 相 位 图 3.6 )6(NN 点离散傅里叶变换 )

10、(kX 的幅频特性相频特性曲线 00.511.522.533.544.55 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x1(k) 作 2DFT, 得 到 的 xl(n) 与 原 序 列 x(n) 一 致 图 3.7 )(kX的 2 点 IDFT 实验分析、讨论及结论： 图 3-5 显示的是 x(n) 的傅里叶变换)( jw eX的幅频特性和相频特性曲线；图 3-6 显示的是 x(n) 在 N处分别等于 6,18,36 点时的 DFT及相应的相位特性曲线 , 并且在图 3-5 中将)( jw eX和 X(k) 的幅频特性分别画在同一幅图中, 可以看出 ,X(k) 是)( jw eX的等间隔采样 ,

11、 采样间隔为 N 2 。图 3-7 显示的是利用得到的X(k) 作 IDFT, 得到的序列与原序列x(n) 完全一致 , 因此也验证了 DFT和 IDFT的唯一性。 6、实验结果 1.52 性图 1.52 00.511.52 0 10 20 (c) x2(n)的幅频特性图 / 幅 度 00.511.52 -5 0 5 / 相 位 图 3.8 )(2nx的幅频特性图 05101520253035 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (e) x3(n) 的 32点周 期 延拓序 列 00.511.52 0 1 2 3 (f) DFTx3(n) 32 的 幅 频特性 图 / 幅 度 00.511

12、.52 -4 -2 0 2 4 x 10 -3 (g) DFTx3(n) 32的相 位 / 相 位 010203040506070 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (h) x3(n) 的64点 周期 延 拓 序列 00.511.52 0 1 2 3 (i) DFTx3(n) 64的幅频 特性图 / 幅 度 00.511.52 -4 -2 0 2 4 x 10 -3 (j) DFTx3(n) 32的相 位 / 相 位 图 3.9 )(3nx的幅频特性相频特性曲线 实验分析、讨论及结论： )( 2 nx是周期序列，所以截取了一个周期用DFT进行谱分析，而)( 3 nx是非因 果、非周期序列

13、。它也是一个实偶对称序列，所以其相位应该是零。 四、思考题 1、对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT进行谱分析？ 答：可先截取 M 点进行 DFT, 再将截取长度扩大1 倍，比较两次的结果。如 果二者的主谱差别满足分析误差要求，则以两者中的一个近似表示周期序列的频 谱，否则，继续把截取长度加倍，重复上述步骤。 2、如何选择 FFT的变换区间？（包括非周期信号和周期信号） 答： （1）对于非周期信号：有频谱分辨率F，而频谱分辨率直接和FFT的变 换区间有关，因为 FFT能够实现的频率分辨率是2/N.因此有最小的 N2 /F。 就可以根据此式选择FFT的变换区间。 （2）对于周期信号，周期信

14、号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度 作 FFT ，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。 3、当 N=8时，)( 2 nx和)( 3 nx 的幅频特性会相同吗？为什么？N=16 呢？ 答：不同，因为这样会影响是不是周期的整数倍的问题，即影响了频谱的正 确性。 五、总结与心得体会 实验总结如下： 通过实验，我知道了用 FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内 容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析 的重要问题是频谱分辨率D 和分析误差。频谱分辨率直接和FFT 的变换区间 N 有关，因为 FFT能够实现的频率分辨率是D N 2 。可以根据此式选择FFT的

15、 变换区间 N。 误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱， 而信号（周 期信号除外）是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近于连续谱，因 此 N要适当选择大一些。 周期信号的频谱是离散谱， 只有用整数倍周期的长度作 FFT ，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量 选择信号的观察时间长一些。 对模拟信号进行频谱分析时， 首先要按照采样定理 将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度， 经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。 此次实验所遇到的问题主要出现在编程方面，由于对FFT的了解不够深刻， 编程时经常出现大大小

16、小的问题，也出现过漏加符号的情况， 但通过认真的学习 了解，成功的解决了问题。另外，在解决书里面的题时，因为对傅里叶变换的理 解有误，导致进行傅里叶变换时出现了错误，但通过同学的讲解， 解决了对傅里 叶变换的困惑，成功的完成了实验。 实验的心得体会见下： 在此次试验中，通过实验加深了对MATLAB软件的了解，体会到了MATLAB 具有完备的图形处理功能， 实现计算结果和编程的可视化等功能。通过做实验的 过程以及实验分析的结果， 知道了用 FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理 的重要内容。 通过这次的实验。 极大地提升了自己对于程序编辑的熟练度，增加了对于书 本里面知识点的应用，更深一层的加

17、深了对MATLAB 软件的使用。这对自己以后 的实验积累了丰富的经验。 六、附件： MATLAB 原程序清单 3.1 对)()()( 321nxnxnx、 作 FFT变换区间 N为 8 和 16 时的频谱分析 x1n=ones(1,4); %产生序列向量 x1(n)=R4(n) M=8; xa=1:(M/2); xb=(M/2):-1:1; x2n=xa,xb; % 产生长度为 8的三角波序列x2(n) x3n=xb,xa; X1k8=fft(x1n,8); %计算 x1n 的8点DFT X1k16=fft(x1n,16); %计算 x1n 的16 点DFT X2k8=fft(x2n,8);

18、%计算 x1n 的8点DFT X2k16=fft(x2n,16); %计算 x1n 的16 点DFT X3k8=fft(x3n,8); %计算 x1n 的8点DFT X3k16=fft(x3n,16); %计算 x1n 的16 点DFT %以下绘制幅频特性曲线 subplot(3,2,1); mstem(X1k8); %绘制 8点 DFT的幅频特性图 title(1a) 8点DFTx_1(n);xlabel( / ); ylabel(幅度); axis(0,2,0,1.2*max(abs(X1k8) subplot(3,2,2);mstem(X1k16); %绘制16 点DFT 的幅频特性图

19、title(1b)16点DFTx_1(n);xlabel( / );ylabel(幅度 ); axis(0,2,0,1.2*max(abs(X1k16) subplot(3,2,3);mstem(X2k8); %绘制 8点DFT的幅频特性图 title(2a) 8点DFTx_2(n);xlabel(/ );ylabel(幅度 ); ax is(0,2,0,1.2*max(abs(X2k8) subplot(3,2,4);mstem(X2k16); %绘制 16点DFT 的幅频特性图 title(2b)16点DFTx_2(n);xlabel(/ ) ;ylabel(幅度 ); axis(0,2,

20、0,1.2*max(abs(X2k16) subplot(3,2,5);mstem(X3k8); %绘制 8点DFT的幅频特性图 title(3a) 8点DFTx_3(n);xlabel( / );ylabel(幅度 ); axis(0,2,0,1.2*max(abs(X3k8) subplot(3,2,6);mstem(X3k16); %绘制 16 点DFT 的幅频特性图 title(3b)16 点DFTx_3(n);xlabel(/ );y la bel(幅度); ax is(0,2,0,1.2*max(abs(X3k16) 3.2 对)()( 54nxnx、 作 FFT变换区间 N为 8

21、 和 16 时的频谱分析 N=8;n=0:N-1; %FFT的变换区间 N=8 x4n=cos(pi*n/4); x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8); X4k8=fft(x4n); %计算 x4n 的8点DFT X5k8=fft(x5n); %计算 x5n 的8点DFT N=16;n=0:N-1; %FFT的变换区间 N=16 x4n=cos(pi*n/4); x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8); X4k16=fft(x4n); %计算 x4n 的16 点DFT X5k16=fft(x5n); %计算 x5n 的16 点DFT subplot(2,2,1

22、);mstem(X4k8); % 绘制 8点DFT的幅频特性图 title(a) 8点DFTx_4(n);xlabel( / ); ylabel(幅度); axis(0,2,0,1.2*max(abs(X4k8) subplot(2,2,3);mstem(X4k16); %绘制16 点DFT 的幅频特性图 title(b)16 点DFTx_4(n);xlabel( / );ylabel(幅度 ); axis(0,2,0,1.2*max(abs(X4k16) subplot(2,2,2);mstem(X5k8); %绘制 8点DFT的幅频特性图 title(a) 8 点DFTx_5(n);xla

23、bel(/ );ylabel(幅度 ); ax is(0,2,0,1.2*max(abs(X5k8) subplot(2,2,4);mstem(X5k16); %绘制 16点DFT 的幅频特性图 title(b)16点DFTx_5(n);xlabel(/ ) ;ylabel(幅度 ); axis(0,2,0,1.2*max(abs(X5k16) 3.3 对)( 8tx 选择HzsF64)(进行三种情况的谱分析 Fs=64;T=1/Fs; N=16;n=0:N-1; %FFT的变换区间 N=16 x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);

24、%对x6(t)16点采样 X6k16=fft(x6nT); %计算 x6nT 的16 点DFT X6k16=fftshift(X6k16); %将零频率移到频谱中心 Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率 F k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生 16 点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心） subplot(3,1,1);stem(fk,abs(X6k16),.);box on %绘制 8点DFT的幅频特性图 title(6a) 16点|DFTx_6(nT)|);xlabel(f(Hz);ylabel( 幅度 ); axis(-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*m

25、ax(abs(X6k16) N=32;n=0:N-1; %FFT的变换区间 N=16 x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)32点采样 X6k32=fft(x6nT); %计算 x6nT 的32 点DFT X6k32=fftshift(X6k32); %将零频率移到频谱中心 Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率 F k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生 16 点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心） subplot(3,1,2);stem(fk,abs(X6k32),.);box on %绘制 8点

26、DFT的幅频特性图 title(6b) 32点|DFTx_6(nT)|);xlabel(f(Hz);ylabel( 幅度 ); axis(-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k32) N=64;n=0:N-1; %FFT的变换区间 N=16 x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)64点采样 X6k64=fft(x6nT); %计算 x6nT 的64 点DFT X6k64=fftshift(X6k64); %将零频率移到频谱中心 Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率 F k=-N/2:

27、N/2-1;fk=k*F; %产生 16 点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心） subplot(3,1,3);stem(fk,abs(X6k64),.); box on%绘制 8点DFT的幅频特性图 title(6a) 64点|DFTx_6(nT)|);xlabel(f(Hz);ylabel( 幅度 ); axis(-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k64) 3.4 对)( 9 nx作 FFT变换区间 N为 8 和 16 时的频谱分析 M=8;xa=1:(M/2); xb=(M/2):-1:1; x2n=xa,xb; %产生长度为8 的三角波序列x2(n)

28、 x3n=xb,xa; x9n=x2n+x3n*j X9k8=fft(x9n,8); X9k16=fft(x9n,16); figure(1); N=8; f=2/N*(0:N-1); subplot(2,2,1);stem(f,abs(X9k8),.); % 绘制 8 点 DFT 的幅频特性图 title(9a) 8点 DFTx_9(n);xlabel( / );ylabel( 幅度 ); N=16; f=2/N*(0:N-1); subplot(2,2,2);stem(f,abs(X9k16),.); %绘制 16 点 DFT 的幅频特性图 title(9b) 16点 DFTx_9(n);

29、xlabel( / );ylabel( 幅度 ); 3.5 序列1 ,2,3 ,3 ,2, 1)(nx的有关问题 w=2*pi*(0:255)/256; xw=1+2*exp(-j*w)+3*exp(-j*2*w)+3*exp(-j*3*w)+2*exp(-j*4*w)+exp(-j*5*w ); figure(1); subplot(2,1,1); plot(w/pi,abs(xw),.); title(x(n)的幅频曲线 ); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angle(xw); line(0,2,0,0); title(x(n)的相频曲线 ); figure(2);

30、N1=6;K1=0:N1-1; N2=18;K2=0:N2-1; N3=36;K3=0:N3-1; xn=1,2,3,3,2,1; xk1=fft(xn,N1); subplot(3,2,1);stem(K1,abs(xk1),.); title(N=6点时的 DFTx(n)=x1(k);hold on ; plot(N1/2*w/pi,abs(xw),r); subplot(3,2,2);stem(K1,angle(xk1),.); title(x1(k)的相位 ); xk2=fft(xn,N2); subplot(3,2,3);stem(K2,abs(xk2),.); title(N=18

31、点的 DFTx(n)=X2(k);hold on ; plot(N2/2*w/pi,abs(xw),.); subplot(3,2,4);stem(K2,angle(xk2),.); title(X2(k)的相位 );xk3=fft(xn,N3); subplot(3,2,5);stem(K3,abs(xk3),.); title(N=36点时的 DFTx(n)=X3(k);hold on ; plot(N3/2*w/pi,abs(xw),r); subplot(3,2,6);stem(K3,angle(xk3),.); title(X3(k)的相位 );hold on ; figure(3)

32、; xn1=ifft(xk1,N1);stem(K1,xn1); title(x1(k)作 2DFT, 得到的 xl(n)与原序列x(n)一致 ); 3.6 用 FFT对信号)()( 32nxnx、 选择合适的变换区间N进行谱分析 clear all;close all; %= = n2=0:50;n3=-10:10; ;N2=20;N3a=32;N3b=64; x2n=2*sin(0.45*pi*n2).*sin(0.55*pi*n2); % 计算序列x2(n) x3n=0.5.abs(n3); %计算序列x3(n) x3anp=zeros(1,N3a); %构造 x3(n)的周期延拓序列,

33、 周期为 N3a for m=1:10, x3anp(m)=x3n(m+10);x3anp(N3a+1-m)=x3n(11-m); end x3bnp=zeros(1,N3b); %构造 x3(n)的周期延拓序列, 周期为 N3b for m=1:10, x3bnp(m)=x3n(m+10);x3bnp(N3b+1-m)=x3n(11-m); end X2k=fft(x2n,N2); %计算序列 x2(n)的 N2 点 DFT X3ak=fft(x3anp,N3a); %计算序列x3(n)的 N3a 点 DFT X3bk=fft(x3bnp,N3b); %计算序列x3(n)的 N3b 点 DF

34、T %以下为绘图部分 %=绘制 x2(n)的频谱特性图= k=0:N2-1;wk=2*k/N2; % 产生 N2 点 DFT 对应的采样点频率( 关于 归一化值 ) subplot(3,2,2);stem(wk,abs(X2k),.);grid on ;box on%绘制 x2(n)的 N2 点 DFT 的幅频特性图 title(c) x2(n)的幅频特性图 );xlabel( / );ylabel( 幅度 ) subplot(3,2,4);stem(wk,angle(X2k),.);grid on ;box on% 绘制 x2(n)的 N2 点 DFT 的相频特性图 line(0,2,0,0

35、) %画横坐标轴线 title(d) x2(n)的相频特性图); xlabel( / );ylabel( 相位 ); figure(2) %=绘制 32 点周期延拓序列和32 点 DFTx3(n)的频谱特性图 = n=0:N3a-1;subplot(3,2,1);stem(n,x3anp,.);box on title(e) x3(n)的 32 点周期延拓序列 ); k=0:N3a-1;wk=2*k/N3a; %产生 N3a 点 DFT 对应的采样点频率( 关于 归一化值 ) subplot(3,2,3);plot(wk,abs(X3ak); %绘制 x3(n)的 N3a 点 DFT 的幅频特

36、性图 title(f) DFTx3(n)_3_2的幅频特性图 );xlabel( / );ylabel( 幅度 ) subplot(3,2,5);plot(wk,angle(X3ak); % 绘制 x3(n)的 N3 点 DFT 的相频特性图 line(0,2,0,0) %画横坐标轴线 title( (g) DFTx3(n)_3_2的相位 ); xlabel( / );ylabel( 相位 ); %=绘制 64 点周期延拓序列和64 点 DFTx3(n)的频谱特性图 = n=0:N3b-1;subplot(3,2,2);stem(n,x3bnp,.);box on title(h) x3(n)

37、的 64 点周期延拓序列 ); k=0:N3b-1;wk=2*k/N3b; %产生 N3a 点 DFT 对应的采样点频率( 关于 归一化值 ) subplot(3,2,4);plot(wk,abs(X3bk); %绘制 x3(n)的 N3a 点 DFT 的幅频特性图 title(i) DFTx3(n)_6_4的幅频特性图 );xlabel( / );ylabel( 幅度 ) subplot(3,2,6);plot(wk,angle(X3bk); % 绘制 x3(n)的 N3 点 DFT 的相频特性图 line(0,2,0,0) %画横坐标轴线 title( (j) DFTx3(n)_3_2的相位 ); xlabel( / );ylabel( 相 位 );