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1、3.3 三角函数的奇偶性与单调性 【知识网络】 1正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性； 正弦、余弦、正切函数的的单调性 【典型例题】 例 1 (1) 已知Ra，函数Rxaxxf|,|sin)(为奇函数，则a（） （A）0（ B） 1（C） 1（D） 1 (1)A 提示：由题意可知，()( )(0)0fxf xf可得得 a=0 （2）函数tan 4 fxx 的单调增区间为 ( ) A, 22 kkkZ B,1,kkkZ C 3 , 44 kkkZ D 3 , 44 kkkZ (2)C 提示：令 242 kxk可得 （ 3）定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期
2、是，且当 2 , 0x时，xxfsin)(，则) 3 5 (f的值为 ( ) A. 2 1 B. 2 3 C. 2 3 D. 2 1 (3)B 提示： 53 ()(2 )()()sin 333332 ffff （4）如果( )sin()2cos()f xxx是奇函数，则tan (4)由()( )(0)0fxfxf可得 （）已知函数( )yf x满足以下三个条件： 在0, 2 上是增函数以为最小正周期是偶函数 试写出一满足以上性质的一个函数解析式 (5)( )cos2fxx提示：答案不唯一，如还可写成( )sinf xx等 例 2判断下列函数的奇偶性 （）( )sin 2tanf xxx；(2
3、) 1sincos ( ) 1sincos xx f x xx ； (3 ) ( )cos(sin )f xx；(4 ) ( )lgcosf xx 解： （1）( )fx的定义域为() 2 xkkZ，故其定义域关于原点对称， 又()sin( 2 )tan()sin 2tan( )fxxxxxf x ( )f x为奇函数 （2） 2 x时，1sincos2xx，而1sincos0 2 xxx时,， ( )fx的定义域不关于原点对称，( )f x为非奇非偶函数。 （3）( )f x的定义域为R，又()cos(sin()cos(sin)( )fxxxf x ( )fx为偶函数。 （4） 由lgcos
4、0x得cos 1x ，又cos 1xcos1x ，故此函数的定义域为 2()xkkZ，关于原点对称，此时( )0f x ( )fx既是奇函数，又是偶函数。 例3已知 : 函数 xxxfcossinlog 2 1 (1)求它的定义域和值域； (2) 判断它 的奇偶性； (3) 求它的单调区间；（4）判断它的周期性, 若是周期函数, 求它的最小正 周期 . 解 :(1).由0cossinxx0 4 sin2xkxk2 4 2()kZ 定义域为Zkkk , 4 5 2, 4 2, 2,0 4 sin2x值域为., 2 1 (2).定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数 （ 3）sincos2 si
5、n0 4 xxx ( )fx的递增区间为 35 2,2)() 44 kkkZ 递减区间为 3 (2,2() 44 kkkZ (4). 1 2 2logsin2cos2fxxx 1 2 logsincosxxfx ( )fx是周期函数 , 最小正周期T2. 例 4已知函数 22 ( )sin2sincos3cosf xxxxx，xR求 : (I) 函数( )f x的最大值及取得最大值的自变量x的集合； (II) 函数( )f x的单调增区间 解(I) 1cos23(1cos2 ) ( )sin 21sin 2cos222 sin(2) 224 xx f xxxxx 当22 42 xk,即() 8
6、 xkkZ时, ( )f x取得最大值 22. 函数( )f x的取得最大值的自变量x的集合为/,() 8 x xR xkkZ. (II) ( )22 sin(2) 4 fxx 由题意得 : 222() 242 kxkkZ 即: 3 () 88 kxkkZ 因此函数( )f x的单调增区间为 3 ,() 88 kkkZ. 【课内练习】 1函数 f(x)=sin(2x+ )+3cos(2x+ )的图像关于原点对称的充要条件是（） A =2k 6 ，kZB =k 6 ，kZ C =2k 3 ，kZ D =k 3 ，kZ 1D 提示：( )sin(2)3cos(2)2sin(2) 3 f xxxx
7、令 3 k可得 2在ABC中， 2 C，若函数)(xfy在0，1上为单调递减函数，则下列命题正确的是 （A）)(cos)(cosBfAf（ B）)(sin)(sinBfAf （C）)(cos)(sinBfAf（ D）)(cos)(sinBfAf 2C 提示：根据00 222 ABAB得所以sinsin()cos 2 ABB 3. 同时具有性质“ 最小正周期是；图象关于直线 3 x对称； 在, 63 上是增函数”的一个函数是( ) A ) 62 sin( x y B ) 3 2cos( xy C ) 6 2cos( xy D ) 6 2sin( xy 3D 提示：由性质 (1)和(2)可排除A
8、和 C ,再求出) 6 2sin( xy的增区间即可 4 设函数 ( )sin, 22 f xxxx ，若 12 ()()f xf x，则下列不等式必定成立的是 （） A 120xxB 22 12xxC 12xxD12xx 4 B 提示：易知( )( | )f xfx，且当x 0 , 2 x时，( | )fx为增函数又由 12()()f xf x，得12( |)( | )fxfx，故12|xx|，于是 22 12 xx 5. 判断下列函数奇偶性（1）( )|sin 2 |tanf xxxx是； （2） cos (1sin) ( ) 1sin xx f x x 是； （3）f（x）= 2 lg(
9、sinx+ 1+sin)x是 5 （1）偶函数（）非奇非偶函数（）奇函数 提示：先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后用奇函数和偶函数的定义判断 6. 若( )f x是以 5 为周期的奇函数，( 3)4f且 1 cos 2 ，则(4cos 2 )f= 6 -4 提示： 2 (4cos 2 )(8cos4)( 2)(3)( 3)4fffff 五个函数( )sinf xx( )cos2f xx( )sin 2f xx( )tan()f xx ( )cos2sin 2f xxx中，同时满足()( ) 2 fxf x且 ()( )fxf x的函数的序号为 7提示：不满足()( )fxf x不满足()
10、( ) 2 f xf x 8求下列函数的单调区间. (1) 3 2 4 sin 2 1x y (2) 4 cos xy 解:(1).原函数变形为 43 2 sin 2 1x y令 43 2x u, 则只需求uysin的单调区间 即可 . 2 2 43 2 2 2sink x ukuy在,(Zk) 上 即 8 9 3 8 3 3kxk,(Zk) 上单调递增 , uysin在)( , 2 3 2 43 2 2 2Zkk x uk, 上 即)( , 8 21 3 8 9 3Zkkxk, 上单调递减 故 3 2 4 sin 2 1x y 的递减区间为 :, 8 9 3 , 8 3 3kk()kZ 递增
11、区间为 :)( , 8 21 3, 8 9 3Zkkk. (2)原函数的增减区间即是函数 4 cos xy的减增区间 , 令 4 xu 由函数uycos的图象可知 : 周期T且uycos在, 42 kxuk上, 即Zkkxk, 44 3 上递增 , 在 24 kxuk即在Zkkxk, 44 上递减 故所求的递减区间为 4 , 4 3 kk, 递增区间为, 44 kk (Zk) 已知( )f x为奇函数，且当0x时，( )sin 2cosf xxx （）当0x时，求( )f x的解析式； （）当x R时，求( )f x 的解析式 解： （）当0x时，则0x，()sin 2()cos()sin 2
12、cosfxxxxx， 又( )f x 为奇函数，所以( )()sin 2cosfxfxxx （）当xR时，( )f x为奇函数，所以(0)0f 由（）知 sin 2cos,0 ( )0,0 sin 2cos ,0 xx f xx xx x 10已知函数( )sin()f xx(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点 3 (,0) 4 M 对称，且在区间0, 2 上是单调函数，求和的值 解：由( )f x是R上的偶函数，得()( )fxf x，即sin()sin()xx， 展开整理得：cossincos sinxx，对任意x都成立，且0，所以cos0 又0，所以 2 由( )f x的图象关于点M对
13、称， 得 33 ()() 44 fxfx 取0x，得 33 ()() 44 ff， 所以 3 ()0 4 f， 333 ()sin()cos 4424 f 所以 33 cos0,0, 442 k又得，()kN即 2 (21),0,1,2, 3 kk 22 0,( )sin()0, 3322 kf xx当时在上是减函数； 1,2,( )sin(2)0, 22 kf xx当时在上是减函数； 10 2,( )sin()0, 322 kf xx当时在上不是单调函数； 综上所得 2 2 3 或， 2 作业本 A 组 函数y=xcosx的部分图象是（） D y x O C y x O y xO BA y
14、xO 1.D 提示： y=xcosx 为奇函数，且当00xy时. 2函数y=2sin （ 6 2x） （x 0， ）为增函数的区间是（） A.0， 3 B. 12 ， 12 7 C. 3 ， 6 5 D. 6 5 ， 2C提示：由y=2sin （ 6 2x）=2sin （ 2x 6 ）其增区间可由y=2sin （2x 6 ） 的减区间得到，即2k+ 2 2x 6 2 k+ 2 3 ，kZ. k+ 3 xk+ 6 5 ，kZ. 令k=0，故选 C. 若( )sinyf xx是周期为的奇函数，则( )fx可以是（） A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 3B 4. 已知( )
15、sincos5,(0)(9)27f xaxbxabf且，则f(-9) 4-17 提示 :( 9)sin( 9)cos( 9)5fabsin9cos951017ab 5已知xxxfcos3sin的一条对称轴为y轴, 且,0. 求= . 5 6 提示：xxxfcos3sin=2 sin 3 x 由()0, 32 kkZ 及可得 已知函数 sin ,sincos ( ) cos ,cossin xxx f x xxx （1）画出( )f x的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值； （2）判断( )f x是否为周期函数. 如果是，求出最小正周期. 解： （1）实线即为( )f x的图象 . x y
16、y= y= si nx cosx -22- 1 - 1 O 单调增区间为2k+ 4 ，2k+ 2 ， 2k+ 4 5 ，2k +2 （kZ） ， 单调减区间为2k，2k+ 4 ， 2k+ 2 ，2k+ 4 5 （kZ） ， f（x）max=1，f（x）min= 2 2 . （2）f（x）为周期函数，T=2. 7. 比较下列各组中两个值的大小： （1） 3 cos 2 ， 1 sin 10 ， 7 cos 4 ； （2） 3 sin(sin) 8 ， 3 sin(cos) 8 解： （1） 11 sincos() 10210 ， 77 coscos() 44 ， 又 713 0 42102 及c
17、osyx在(0,)内是减函数， 可得 317 cossincos 2104 （2） 3 cossin 88 ， 33 0cossin1 88 ，而sinyx在(0,1)上递增， 33 sin(sin)sin(cos) 88 8.( )f x是定义在2,2上的偶函数， 当x,0时，( )cosyfxx； 当x2, 时，( )f x的图象是斜率为 2 ，在y轴上截距为2 的直线在相应区间上的部分. （1）求( 2 )f，() 3 f的值； （2）求( )f x的解析式，并作出图象，写出其单调区间. 解： （1）当x（ ，2时，y=f（x）= 2 x2， 又f（x）是偶函数，f（ 2）=f（2）=2
18、. 又x 0， 时，y=f（x）=cosx， f（ 3 ）=f （ 3 ）= 2 1 . （2）y=f（x）= .22 2 cos 22 2 ， ， ， xx xx xx x y - -22 - 1 1 2 - 2 O 单调增区间为，0 ， ，2.单调减区间为2， ， 0， 。 B 组 1函数baxxxf|sin|)(是奇函数的充要条件是（） A0abB0baCbaD0 22 ba 1D 提示：由奇函数的定义可得 2函数y = xcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（） A.（ 2 ， 2 3 ）B.（，2）C.（ 2 3 ， 2 5 ）D.（2， 3） 2B 提示：利用导数判断 3设，是
19、一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是 （A）1tantan（B）2sinsin（C）1coscos（D） 2 tan)tan( 2 1 3D 提示：取特值，如取 6 4给出下列命题： 正切函数的图象的对称中心是唯一的； y=|sinx| 、y=|tanx| 的周期分别为、 2 ； 若x1x2，则 sinx1sinx2； 若f（x）是 R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（ 2 T ）=0. 其中正确命题的序号是_. 4 提示： 正切函数的对称中心是(,0)() 2 k kZ；y=|sinx|、y=|tanx|的周期都是 正弦函数在定义域上不是单调函数； ()()()() 2
20、222 TTTT ffTff 5 设 函 数cos30fxx。 若 / fxfx是 奇 函 数 ， 则 _ 5 6 提示 / fxfxcos33sin32cos3 3 xxx 由()0 32 kkZ 及可得 6已知函数 sin(2) 4 ( )(0,1) x f xaa且a (1)这个函数是否为周期函数?为什么 ? (2)求它的单调增区间和最大值. 解:(1) sin2()sin(2) 44 ()( ) xx f xaaf x( )f x是以为周期的周期函数. (2)当 1a 时 , 增区间为 3 ,() 88 kkkZ , 最大值为a; 当0 1a , 增区间为 37 , 88 kk ,()
21、kZ,最大值为 1 a 7. 设函数( )sin(2),(0)f xx，( )yf x图象的一条对称轴是直线 8 x (1) 求; (2) 求函数( )yf x的单调增区间 ; (3)证明直线520xyc与函数( )yf x的图象不相切 . 解:(1) 8 x是函数( )yf x的图象的一条对称轴 sin(2)1 8 , 42 kkZ 3 0, 4 (2) 由(1) 知 3 4 , 因此 3 sin(2) 4 yx由题意得 3 222, 242 kxkkZ所以函数 3 sin(2) 4 yx 的单调增区间为 5 ,() 88 kkkZ . (3) 证明 : 33 sin(2)2cos(2)2
22、44 yxx, 所以曲线( )yf x的切线 斜 率 取 值 范 围 为 -2,2,而 直 线520xyc的 斜 率 为 5 2 2 , 所 以 直 线 520xyc与函数( )yf x的图象不相切. 8已知偶函数( )cossinsin()(tan2)sinsinfxxxx的最小值是0，求 ( )f x的最大值及此时x的集合 解：( )cos sinsin()(tan2)sinsinf xxxx sincos(tan2)sinsinxx 因为( )f x是偶函数，所以对任意 xR，都有()( )fxf x 即sincos()(tan2)sin()sinsincos(tan2)sinsinxxxx 即(tan2)sin0x，所以tan2 由 22 sin 2 cos sincos1 解得 2 5 sin 5 5 cos 5 或 2 5 sin 5 5 cos 5 此时，( )sin(cos1)f xx当 2 5 sin 5 时， 2 5 ( )(cos1) 5 f xx最大值为 ，不合题意最小值为，舍去；当 2 5 sin 5 时， 2 5 ( )(cos1) 5 f xx最小值为 ，符合题意，故当cos1x时，( )f x有最大值为 4 5 5 ， 自变量x的集合为2,x xkkZ