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1、第二十八章锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 28.1.1 三角函数的定义 学习目标 1理解正弦、余弦、正切这三个锐角三角函数的概念，能准确地用直角三角形两边的比表 示这些函数 2经历探索直角三角形边角关系的过程，初步感受数形结合的思想方法. 课前预习 1.如图，已知RtABC 中， C=90 ， AC=6， BC=8，则 tanA 的值为（） A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 4 3 2.已知 RtABC 中， C=90 ， CAB= ，AC=7 ，那么 BC 为（） A7sin B7cos C7tan D. 7cot 3.已知锐角 ，且 sin =cos 37 ，则 等于（
2、） A37B63C53D45 4.如图，在直角三角形ABC 中， C=90 ，AC=12 ，AB=13 ，则 sin B 的值等于 5.在 RtABC 中， C=90 ，如果 AC：BC=3 ：4，那么 cos A 的值为 答案： 1.D 2.C 3.C 4. 12 13 5. 3 5 课堂精讲 知识点 1 正弦的定义 如图所示，在RtABC中， C=90，如果锐角A确定，那么 A的对边与斜边的比是 一个固定值锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦 (sine)，记作 sin A ， 即 sin A= Aa c 的对边 斜边 . 注意： (1) 正弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的
3、关系，是两条线 段的比值，它没有单位，当角的度数确定时，其比值随之确定，与三角形的边的长短无关， 即与三角形的大小无关 (2) sin A是一个完整的符号，不能写成“sin A”，书写时习惯省略A的角的符号 “” ， 但当用三个大写字母表示角时( 如 ABC)， 其正弦应写成sin ABC ， 不能写成 sin ABC. sin 2 A表示 (sin A) 2，即 sin A sin A ，而不能写成 sin A 2 (3)在直角三角形中，因为O0， b0，所以 tan AO. 【例 2】如图所示，在RtABC中， C=90 ，求 A, B的余弦值和正切值 解析： 先用勾股定理求出AC的长，再
4、用余弦和正切的定义求值 解： C= 90， AC= 2222 53ABBC=4 cos A= 4 5 AC AB ， tan A= 3 4 BC AC ，cos B= 3 5 BC AB ，tan B= 4 3 AC BC . 变式拓展 2.RtABC 中， C=90 ， AB=10 ，BC=8 ，则 cos B= 3.如图， ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则tan BAC 等于 答案： 2. 4 5 3. 1 3 知识点 3 锐角三角函数的定义 对于锐角 A的每一个确定的值，sin A 有唯一确定的值与它对应，所以sin A 是 A的函 数，同样的， cos A ，tan A 也是
5、A 的函数即锐角A的正弦、余弦、正切都是么A的锐角 三角函数 . 注意：(1) 锐角三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角的大小有关，sin x、cos x、 tan x都是以锐角x 为自变量的函数，当x 确定后，它们的值都是唯一确定的也就是说， 锐角三角函数值随角度的变化而变化 (2)锐角三角函数都不可取负值. 【例 3】 在 RtABC 中， C=90 ，AB=13 ，BC=5 ，求 A 的锐角三角函数数值 解析： 利用勾股定理列式求出AC，然后根据锐角的三角函数列式即可 解： 由勾股定理得，AC= 2222 135ABBC=12， sin A= 5 13 BC AB ， cos A=
6、12 13 AC AB ， tan A= 5 12 BC AC 变式拓展 4.已知，如图：在RtABC 中， C=90 ，AC=15 ，BC=8 ，求 A 的锐角三角函数值 解： 在 RtABC 中， C=90 ， AC=15 ，BC=8 ， AB 2=AC2+BC2=289， AB=17 ， sin A= 8 17 BC AB ， cos A= 15 17 AC AB ， tan A= 8 15 BC AC . 随堂检测 1.在直角 ABC 中， C=90 ，A、B 与 C 的对边分别是a、b 和 c，那么下列关系中， 正确的是（） A.cos A= a c B.tan A= b a C.s
7、in A= a c D.cos A= a b 2.如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，CDAB ， 垂足为 D若 AC=2 ，BC=1，则 sinACD= （） A. 5 3 B. 2 5 5 C. 5 2 D. 2 3 3.如图， 点 A（ t，3）在第一象限， OA 与 x 轴所夹的锐角为 ，tan = 3 2 ，则 t 的值是 （） A1B1.5 C2D3 4.随着锐角的增大， cos 的值（） A增 大B 减小 C不 变D增大还是减小不确定 5.在 RtABC 中， C=90 ，CD 是斜边AB 上的高，如果CD=3，BD=2那么cosA 的值 是 6.如图，在 ABC 中， C=90 ，点 D 在 BC 上， AD=BC=5 ，cosADC= 3 5 ，求 sin B 的值