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1、南京市 20172018 学年度第一学期期末调研测试卷 高二数学（理科）2018.01 注意事项： 1本试卷共3 页，包括填空题 （第 1 题第 14 题） 、 解答题（第 15 题第 20 题）两部分 本 试卷满分为160 分，考试时间为120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答 案写在答题卡 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡 参考公式： 圆锥的体积公式：V 1 3 r 2h，侧面积公式： S rl，其中 r，h 和 l 分别为圆锥的底面半 径，高和母线长 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡
2、相应位置 上 1命题“若ab0，则 b0”的逆否命题是 2已知复数z 满足z(1i)i，其中 i 是虚数单位，则| z| 为 3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2 4x 的焦点坐标是 4 “ x 2 3x2 0”是“ 1x2”成立的 条件（在“充分不必要”，“必要不充 分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写） 5已知实数x， y 满足条件 x0， y1， 2xy50， 则 z 3xy 的最大值是 6函数f(x) xe x 的单调减区间是 7如图，直线l 经过点 (0，1)，且与曲线yf(x) 相切 于点 (a，3)若 f (a) 2 3，则实数 a 的值是 8在平面直角坐标系x
3、Oy 中，若圆(xa) 2(ya)22 与圆 x2 (y6)28 相外切，则实 数 a 的值为 9如图，在三棱锥P ABC 中，M 是侧棱PC 的中点，且BM xAB y AC zAP ， x y O a 3 1 yf(x) l （第 7 题图） A C P M 则 xyz的值为 10在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 2 3 y 2 1 的渐近线与 抛物线 x24 3y 的准线相交于A， B两点，则三角形OAB 的面积为 11在平面直角坐标系xOy 中，若点 A 到原点的距离为2，到直线3xy20 的距离为 1，则满足条件的点A 的个数为 12若函数f(x)x 33x2mx 在区间 (
4、0，3) 内有极值，则实数m 的取值范围是 13在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 的左、右焦点分别为 F1，F2， 过 F1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A， B 两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C 若AF2 2F2C ，则该椭圆的离心率为 14已知函数f(x)x| x 23| 若存在实数 m，m (0， 5，使得当 x0，m 时， f(x)的取 值范围是 0，am，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 15 （本题满分14 分） 已知复数 z
5、24mi 1i ， （mR，i 是虚数单位） （1）若 z 是纯虚数，求m 的值； （2）设 z 是 z 的共轭复数，复数 z 2z 在复平面上对应的点在第一象限，求m 的取值 范围 16 （本题满分14 分） 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点 E ，F，G 分别是棱BC，A1B1， B1C1的中点 （1）求异面直线EF与 DG所成角的余弦值； （2）设二面角A BDG 的大小为 ， B1 DC A1 C1 D1 F G 求 | cos | 的值 17 （本题满分14 分） 如图，圆锥OO1的体积为 6 设它的底面半径为x，侧面积为S （1）试写出S关于 x 的函数关系式； （2
6、）当圆锥底面半径x 为多少时，圆锥的侧面积最小？ 18 （本题满分16 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C 经过点A(1 ， 3) ， B(4 ， 2) ，且圆心在 直线 l：xy 10 上 （1）求圆 C的方程； （2）设 P是圆 D：x 2y28x2y160 上任意一点，过点 P作圆 C 的两条切线PM， PN，M，N 为切点，试求四边形PMCN面积 S的最小值及对应的点P坐标 19 （本题满分16 分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的一条准线方程为x 43 3 ， 离心率为 3 2 （1）求椭圆C的方程； （2）如图，设A
7、为椭圆的上顶点，过点A 作两条直线AM， AN，分别与椭圆C 相交于 M，N 两点，且直线MN 垂直于 x 轴 设直线 AM，AN 的斜率分别是k1， k2，求 k1k2的值； O O1 （第 17 题图） 过 M 作直线 l1 AM，过 N 作直线 l2AN，l1与 l2相交于点Q试问：点 Q 是否在 一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由 20 （本题满分16 分） 设函数 f(x)1 2ax 2 1lnx，其中 aR （ 1）若 a 0，求过点 (0， 1)且与曲线yf(x)相切的直线方程； （ 2）若函数f(x)有两个零点x1， x2， 求 a 的取值范围； 求证：
8、f (x1)f (x2) 0 南京市 20172018学年度第一学期期末检测卷 高二数学（理科）参考答案 201801 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分） O
9、N M A l1 x l2 y Q （第 19 题图） 1 “若 b0，则 ab0”2 2 2 3(1，0) 4充分不必要 57 6 ( ， 1)或( ， 1 73 83 90 10 3 3 113 12( 9，3) 13 5 5 141，3) 二、解答题（本大题共6 小题，共90 分） 15 （本题满分14 分） 解（ 1）z 2 4mi 1i (2 4mi)(1 i) (1i)(1 i) 12m(2m1)i 3 分 因为 z 是纯虚数，所以12m 0且 2m10， 解得 m 1 2 6 分 （2）因为 z是 z的共轭复数，所以 z12m(2m1)i8 分 所以 z2z12m(2m1)i 2
10、12m(2m1)i 36m(2m1)i10 分 因为复数 z2z在复平面上对应的点在第一象限， 所以 36m 0， 2m1 0， 12 分 解得 1 2m 1 2，即实数 m 的取值范围为( 1 2， 1 2) 14 分 16 （本题满分14 分） 解如图，以 DA ， DC ，DD1 为正交基底建立坐标系Dxyz 设正方体的边长为2，则 D(0，0，0)，A(2，0，0)， B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(2，1，2)，G(1，2，2) （1）因为 EF (2，1，2)(1，2，0)(1， 1，2)， DG (1，2，2)，2 分 所以 EF DG 11(1) 2223， | EF
11、| 1 (1) 2 22 6，| DG | 3 4 分 B B1 （第 16 题图） A D C A1 C1 D1 E F G y x z 从而 cos EF ，DG EF DG | EF | DG | 3 63 6 6 ， 即向量 EF 与DG 的夹角的余弦为 6 6 ， 从而异面直线EF 与 DG 所成角的余弦值为 6 6 7 分 （2） DB (2，2，0)，DG (1， 2，2) 设平面 DBG 的一个法向量为n1(x， y，z ) 由题意，得 DB n12x2y 0， DG n1x2y2z0， 取 x2，可得 y 2， z1 所以 n1(2， 2，1)11 分 又平面 ABD 的一个
12、法向量n2DD1 (0，0，2)， 所以 cosn1，n2 n1n2 | n1| n2| 2 3 2 1 3 因此 | cos | 1 3 14 分 17 （本题满分14 分） 解（ 1）设圆锥OO1的高为 h，母线长为l 因为圆锥的体积为 6 ，即 1 3 x 2h 6 ，所以 h3 6 x 2 2 分 因此l x 2h2 x 2(3 6 x 2 ) 2， 从而 Sxl x x 2(3 6 x 2 ) 2 x 454 x 2，(x0) 6 分 （2）令 f(x)x454 x 2，则 f (x)4x 3108 x 3 ，(x0)8 分 由 f (x)0，解得 x 310 分 当 0x 3时，
13、f (x)0，即函数f(x)在区间 (0，3)上单调递减； 当 x 3时， f (x) 0，即函数f(x)在区间 (3， )上单调递增 12 分 所以当 x 3时， f(x)取得极小值也是最小值 答：当圆锥底面半径为 3时，圆锥的侧面积最小14 分 18 （本题满分16 分） 解（ 1）设圆 C 的方程为x 2y2DxEyF0，其圆心为 (D 2， E 2) 因为圆 C 经过点 A(1，3) ， B(4，2)，且圆心在直线l：xy10 上， 所以 19D3EF0， 1644D2EF0， D 2 E 210， 4 分 解得 D 4， E 2， F0 所求圆 C 的方程为x2y24x2y07 分
14、（2）由（ 1）知，圆C 的方程为 (x 2) 2(y1)2 5 依题意， S2SPMC PMMC PC 25 5 所以当 PC 最小时， S最小10 分 因为圆 M：x2y28x2y160，所以 M(4，1)，半径为1 因为 C(2，1)，所以两个圆的圆心距MC 6 因为点 PM，且圆 M 的半径为1， 所以 PCmin615 所以 Smin 5 25 51014 分 此时直线 MC：y1，从而 P( 3，1)16 分 19 （本题满分16 分） 解（ 1）设椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21 的半焦距为 c 由题意，得 a 2 c 4 3 3 ， c a 3 2 ， 解得 a2，
15、c3， 从而 b1 所以椭圆 C 的方程为 x 2 4 y214 分 （2）根据椭圆的性质，M， N 两点关于x 轴对称， 故可设 M(x0，y0)，N(x0， y0)( x00，y00)， 从而k1k2 y01 x0 y01 x0 1 y 0 2 x0 2 7 分 因为点 M 在椭圆 C 上，所以 x0 2 4 y021，所以 1y02x0 2 4 ， 所以 k1k2 1y0 2 x0 2 1 4 10 分 设 Q(x1，y1)，依题意 A(0，1) 因为 l1AM，所以 y01 x0 y1y0 x1x0 1，即 (y 01)(y1y0) x0 (x1x0)； 因为 l2AN，所以 y01
16、x0 y 1y0 x1x0 1，即 (y 01)(y1y0) x0 (x1x0)， 故 (y01)(y1y0) (y01)(y1y0)0， 化得 (y11) y0 014 分 从而必有 y1 10，即 y1 1 即点 Q 在一条定直线y 1 上16 分 20 （本题满分16 分） 解（ 1）当 a0 时， f(x) 1lnx，f (x) 1 x 设切点为 T(x0， 1lnx0)， 则切线方程为：y1lnx0 1 x0( xx0) 2 分 因为切线过点(0， 1)，所以1 1ln x0 1 x0 (0x0)，解得 x0e 所以所求切线方程为y 1 ex1 4 分 （2） f (x)ax1 x
17、ax 21 x ，x0 (i) 若 a0，则 f (x)0，所以函数f(x)在(0， ) 上单调递减， 从而函数 f(x)在(0， ) 上至多有1 个零点，不合题意5 分 (ii) 若 a0，由 f (x) 0，解得 x 1 a 当 0x 1 a 时，f (x)0，函数 f(x)单调递减；当x 1 a 时，f (x)0，f(x)单调递增， 所以 f(x)minf( 1 a) 1 2ln 1 a 1 1 2ln 1 a 要使函数 f(x)有两个零点，首先1 2 ln 1 a 0，解得 0ae 7 分 当 0ae 时， 1 a 1 e 1 e 因为 f(1 e) a 2e 2 0，故 f(1 e)
18、 f( 1 a)0 又函数 f(x)在(0， 1 a)上单调递减，且其图像在 (0， 1 a)上不间断， 所以函数 f(x)在区间 (0， 1 a)内恰有 1 个零点 9 分 考察函数 g(x)x1lnx，则 g (x)11 x x1 x 当 x(0，1)时， g (x)0，函数 g(x)在 (0，1)上单调递减； 当 x(1， )时， g (x)0，函数 g(x)在(1， )上单调递增， 所以 g(x)g(1)0，故 f(2 a) 2 a1 ln 2 a0 因为 2 a 1 a 2 a a 0，故 2 a 1 a 因为 f( 1 a) f(2 a)0，且 f(x)在( 1 a ， ) 上单调
19、递增，其图像在( 1 a ， ) 上不间断， 所以函数 f(x)在区间 ( 1 a ，2 a 上恰有 1 个零点，即在 ( 1 a ， ) 上恰有 1 个零点 综上所述， a 的取值范围是 (0，e)11 分 由 x1， x2是函数 f(x)的两个零点 (不妨设 x1x2)，得 1 2ax1 2 1lnx 10， 1 2ax 2 2 1lnx 20， 两式相减，得 1 2a(x1 2x 2 2)lnx1 x20，即 1 2a(x1x2) (x1x2) ln x1 x20， 所以 a(x1x2) 2ln x1 x2 x1x2 13 分 f (x1)f (x2)0 等价于 ax1 1 x1ax2 1 x20，即 a(x1x2) 1 x1 1 x20， 即 2ln x1 x2 x1x2 1 x1 1 x20，即 2ln x1 x2 x2 x1 x1 x20 设 h(x)2lnx 1 x x，x(0，1)则 h (x) 2 x 1 x 21 2x1 x 2 x 2 (x1) 2 x 2 0， 所以函数 h(x)在(0， 1)单调递减，所以h(x)h(1)0 因为 x1 x2(0，1)，所以 2ln x1 x2 x2 x1 x1 x20， 即 f (x1)f ( x2)0 成立16 分