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1、高等数学1（一） 课程考试试卷(A 卷参考答案 ) 注意： 1、本试卷共3 页； 2、考试时间 :120 分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方。 一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内( 每小题 2 分， 共 20 分) 1与函数 2 ( )f xln x相同的函数是 C . AlnxB 2 1 () 2 ln xClnxDln x 2若 (1)(2)(3)(4)(5) lim (32) x xxxxx x ，则与的值为 D . A 1 1, 3 B 1 5, 3 C 5 1 1, 3 D 5 1 5, 3 3设函数( )yf x在点 0 x处可导，dy为( )f x在 0 x处的微分
2、，当自变量x由 0 x增加 到 0 xx时，极限 0 lim x ydy x 等于 B . A 1 B0 C1 D 4若( )f x在xa的某个邻域内有定义，则( )f x在xa处可导的一个充分条件是 D . A 1 lim()( ) h h f af a h 存在B 0 (2 )() lim h f ahf ah h 存在 C 0 ()() lim 2 h f ahf ah h 存在D 0 ( )() lim h f af ah h 存在 5已知函数 1 sin,0 ( ) ,0 xx f xx axbx 在(,)内连续，则a与b等于 C . A1,1abB0,abRC,0aR bD,aR
3、bR 6若函数 32 ( )fxxaxbx在1x处取得极值2，则下列结论中正确 的是 B . A3,0ab，且1x为函数( )f x的极小值点 B0,3ab，且1x为函数( )f x的极小值点 C1,0ab，且1x为函数( )f x的极大值点 D0,3ab，且1x为函数( )f x的极大值点 7设 1 ( ) 1 f x x ，其n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项( ) n Rx等于 C . A 1 1 ,(01) (1)(1) n n x nx B 1 1 ( 1) ,(01) (1)(1) nn n x nx C 1 2 ,(01) (1) n n x x D 1 1 ( 1) ,(01)
4、 (1) nn n x x 8若sin2x为函数( )f x的一个原函数，则( )xf x dx等于 D . Asin2cos2xxxCBsin2cos2xxxC C 1 sin 2cos2 2 xxxCD 1 sin 2cos2 2 xxxC 9若非零向量,a b c满足0a b与0ac，则b c等于 A . A0 B 1 C1 D3 10直线 20 20 xyz xyz 与平面1xyz的位置关系是 C . A直线在平面内B平行C垂直D相交但不垂直 二填空题 ( 每小题 2 分，共 10 分) 1一质点作直线运动，其运动规律为 42 6sttt，则速度增加的时刻t1 . 2若 2 1 arc
5、tan(1) 2 yxxlnx，则dyarctanxdx. 3已知 2 1 a dx x ，则a1 . 4已知( ) x f xe，则 ()flnx dx x xC. 5设向量, ,m n p满足0mnp，且6m，8n，10p，则 m nnppm144 . 三求解下列各题（每小题5 分，共 10 分) 阅卷人得分 阅卷人得分 阅卷人得分 三 峡 大 学 试 卷 教 学 班 号 序 号 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 1 11 lim(1) 21 n n n 解：原式 = (21)( 1) 1)/ 2 1 lim(1) 21 n n n 2 = (21)( 1/2)(1/ 2)11 lim(
6、1)lim(1) 2121 n nn nn 4 1/ 2 e5 2 2 0 (13) lim (seccos ) x lnx xx 解：原式 = 2 0 3cos lim (1cos )(1cos ) x xx xx 2 = 2 0 2 3cos lim 1 (1cos ) 2 x xx xx 4 =6 5 四. 求解下列各题（每小题6 分，共 12 分) 1若方程arctan1 xy ye确定了y是x的函数，求函数y的微分dy. 解：原方程两边同时对x求导，有 2 () 1 xyy eyxy y 则 2 2 (1) 1(1) xy xy yye y xye 4 则 2 2 (1) 1(1)
7、xy xy yye dydx xye 6 2设参数方程 2 1 cos xt yt 确定了y是x的函数，求 2 2 d y dx . 解： sin 2 dyt dxt 3 2 2 2 cossin 1 22 ttt d y t dxt 5 3 sincos 4 ttt t 6 五求解下列各题（每小题6 分，共 18 分) 1 2 22 () lnx dx xlnx 解：原式 = 2 1 2() () d xlnx xlnx 4 2 C xlnx 6 2 2 2 2 max ,x xdx 解：原式 = 012 22 201 x dxxdxx dx4 323 012 201 323 xxx 5 =
8、11/2 6 3设 2 1 sin ( ) x t f xdt t ，求 1 0 ( )xf x dx 解： 2 11 00 ( )( ) () 2 x xf x dxfx d2 22 1 1 0 0 ( )( ) 22 xx f xd f x4 22 11 2 2 00 sin 02sin 2 xx xdxxx dx x 2 1 0 1 cos 2 x cos11 2 6 六. （本题 10 分） y 阅卷人得分 阅卷人得分 阅卷人得分 已知星形线 3 3 cos sin xat yat 如右图所示，其中0a，a 1） 计算星形线的全长；a0 ax 2） 求星形线与坐标轴所围成图形的面积.
9、解： 1）长度 22 2 0 4()() dydx Ldt dtdt 2 a 222 2 0 49sincosattdt4 6a5 2）面积 0 242 0 2 443sincos a Sydxattdt8 242 2 0 12sincosattdt 2 3 8 a 10 七. （本题 7 分） 已知某直角三角形的边长之和为常数，求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为, ,x y z，其和为常数k，所求面积为S 因xyzk及 222 xyz，则 2 2 2() kxk y xk 3 则 22 12 24() kxxk Sxy xk ，且 22 2 (24) ( ) 4() k
10、xkxk S x xk 有驻点 22 2 xk5 则 22 max 132 2 4 128 2 Skk 为所求7 八. （本题 7 分） 求过点(2,1,3)M且与直线 11 321 xyz 垂直相交的直线方程. 解：记直线 1 11 : 321 xyz L ，设过点(2,1,3)M且垂直相交于直线 1 L的平面为 则平面方程为3(2)2(1)(3)0xyz2 令 11 321 xyz t 则13 ,12 ,xt yt zt 代入平面得3/ 7t，即交点为 2 133 (,) 777 A4 以 12 624 (,) 777 MA为所求直线的方向向量得到 所求直线为： 213 214 xyz 7 九. （本题 6 分） 设函数( )f x在闭区间0,1上连续且0( )1f x，试判断方程 0 2( )1 x xf t dt 在(0,1)内 有几个实根，并证明你的结论. 证：记 0 ( )2( )1 x g xxf t dt 则 1 0 (0)10, (1) 1( )0ggf t dt2 且0( )1f x知( )2( )0gxfx，即在闭区间0,1上单调增加4 故 0 2( )1 x xf t dt 在(0,1)内有一个实根 6 阅卷人得分 阅卷人得分 阅卷人得分