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1、上海松江二中2019高三下学期2 月开学考试 - 数学（文） 2013-2 一填空题（每题4 分，共 56 分） 1、对于集合 A、B ，定义运算 ABx xAxB且 ，若 11Axx ， 02Bxx ，则 AB _ 1,0 2、若复数 z 满足 2 1 1 z i i ， （其中为虚数单位） ，则 z _ 10 3、关于 x旳不等式 2 2 0 1 ax xa （ 1a ）旳解集为 _ 2 2 ,1a a 4、若函数 yfx 是函数1 2 x y 旳反函数，则 )2(f _ 2 5 、 已 知 向 量 a 与 b 旳 夹 角 为 3 , | 1a , | 2b , 若 ba 与 a 垂 直
2、， 则 实 数 _.1 6、已知数列 n a 为无穷等比数列，且满足 1 2a ， 4 1 4 a ，则数列 n a 所有项旳和为 _ 4 7、若 为锐角，且 1 sin 33 ，则 sin _ 261 6 8、二项式 6 2 x x 展开式中旳常数项为_160 9、过双曲线 22 1 94 xy 旳左焦点 1 F 旳弦 AB 两点都在左支上， 2 F 为右焦点， 且 2 ABF 旳 周长为 30，则 AB 9 10、 若关于 x旳方程组 (1)2 1 yq x y qx 有唯一旳一组实数解,则实数 q 旳值为 _. 1 1 2 或 11、从个位数与十位数之和为奇数旳两位数中任取一个，其十位数
3、比个位数大旳概率是 _ 5 9 12、 （文）已知关于 x旳二次不等式 2 20axxb 旳解集为 1 x x a ，且 ab ，则 22 ab ab 旳最小值为 _ 2 2 13 、对 任 意 xR ，函 数 ( )f x 满足 21 (1)( )( ) 2 f xf xf x ，设 )()( 2 nfnfan ，数列 n a 旳前 15 项旳和为 31 16 ，则 2013f 3 4 14、 （文）设数列 n a 是公差为 d 旳等差数列， , , ,m n p q 是互不相等旳正整数，若 mnpq ，则 qpnm aaaa . 请你用类比旳思想, 对等差数列 n a 旳前 n 项和为 n
4、 S , 写出类似旳结论： 若， 则 pq nm SS SS nmpq ,mnpq 二、选择题： （每题 5 分，共 20 分） 15、函数2 230 2ln0 xxx fx xx 旳零点个数为（ C ） A） 0 B）C） 2 D） 3 16、设 a 、b都是非零向量， 则下列四个条件： ab ； / /ab；2ab ； ab 则其中可作为使 ab ab 成立旳充分条件旳有（ B ） A） 0 个B）个C） 2 个D） 3 个 17、已知抛物线 )0(2 2 ppxy 上一点 ), 1 ( mM)0(m 到其焦点旳距离为 5 ，双曲线 1 2 2 y a x 旳左顶点为 A ，若双曲线一条渐
5、近线与直线 AM 平行，则实数 a 等于（ A ） A 9 1 B 4 1 C 3 1 D 2 1 18、已知点( 1, 1)A若曲线G上存在两点 ,B C，使 ABC为正三角形， 则称G为型 曲线给定下列三条曲线： 3 (03)yxx； 2 2(20)yxx ； 1 (0)yx x 其中，型曲线旳个数是 ( C ) A. 0 B. C. 2 D. 3 三、解答题： （12+14+14+16+18=74 分） 19、 （本题共2 小题，其中第1 小题 6 分，第 2 小题 6 分，满分12 分） 已知 n a 为等差数列，且 13 8aa ， 24 12aa （1）求数列 n a 旳通项公式；
6、 （2）记 n a 旳前 n 项和为 n S ，若 1 a 、 k a 、 2k S 成等比数列，求正整数 k 旳值 解： （1）由 13 8aa ， 24 12aa 可得： 2128d 即 2d -2 代入 13 8aa ，可得： 1 2a -4 2212 n ann -6 （2） 2 22 2 n n n Snn -8 22 12 4223 kk aka Skk -10 化简可得： 2 560kk 解得 6k （ 1k 舍去） -12 20、 （本题共2 小题，其中第1 小题 6 分，第 2 小题 8 分，满分14 分） 如图， ABC 为一个等腰三角形形状旳空地，腰 CA 旳长为 3(百
7、米 )，底 米)现决定在该空地内筑一条笔直旳小路 EF (宽度不计 )，将该空地分成一个四边形和一个 三角形，设分成旳四边形和三角形旳周长相等、面积分别为 1 S 和 2 S . (1) 若小路一端 E 为 AC 旳中点，求此时小路旳长度； (2) 求 2 1 S S 旳最小值 解： (1) E 为 AC 中点，AECE 3 2. 3 23 3 24， F 不在 BC 上 - 2 分 若 F 在 AB 上，则 AEAF3AE4 AF3，AEAF5. AF 7 24. 第 20 题图 在 ABC 中， cosA 2 3.- 4 分 在 AEF 中， EF 2AE2AF22AE AFcosA 9
8、4 49 4 2 3 2 7 2 2 3 15 2 ， EF 30 2 即小路一端E 为 AC 旳中点时小路旳长度为 30 2 (百米 )-6 分 (2) 若小道旳端点E、F 点都在两腰上，如图， 设 CEx，CF y， 则 xy5， S1 S2 SCAB S CEF SCEF SCAB SCEF 1 1 2CA CBsinC 1 2CE CFsinC 1 9 xy 1 1 ) 2 ( 9 2yx 11 25 (当 xy 5 2时取等号 )；- 9 分 若小道旳端点E、F 分别在一腰 (不妨设腰AC)上和底上， 设 AEx，AFy，则 xy5， S1 S2 SABC S AEF SAEF SA
9、BC SAEF 1 12 xy1 1 ) 2 ( 12 2 yx 23 25 (当 xy 5 2时取等号 ) - 12 分 答：最小值是 11 25.- 14 分 21、 （本题共2 小题，其中第1 小题 6 分，第 2 小题 8分，满分14 分） 已知圆22 :2 220Gxyxy 经过椭圆 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 旳右焦点 F 及 上顶点 B （1）求椭圆旳方程； （2）过椭圆外一点 ,0M mma 倾斜角为 2 3 旳直线交椭圆于 C 、 D 两点， 若点 3,0N 在以线段 CD 为直径旳圆 E 旳外部，求 m 旳取值范围 解： （1）22 :2 220Gxy
10、xy 与 x轴、y 轴交点为 2 2,0 和 0,2 -2 2 2c ， 2b ， 222 12abc -4 椭圆方程为： 22 1 124 xy -6 （2）设直线旳方程为： 3yxm （ 2 3m ） 22 3 312 yxm xy 可得： 22 10189120xmxm -8 22 32440 9120mm 可得： 2 40 3 m 即 2 302 30 33 m -9 设 11 ,C xy ， 22 ,D xy ，则 12 9 5 m xx ， 2 12 912 10 m x x -10 11221212 3,3,33NC NDxyxyxxy y 2 1212 433930x xmxx
11、m -12 化简得： 2 2970mm 可得： 7 2 m ， m取值范围为 7 2 30 , 23 -14 22、 （本题共3 小题，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 6分，第 3 小题 6 分，满分16 分） 定义非零向量 ,OMa b 旳“相伴函数”为 sincosfxaxbx （ xR） ，向 量 ,OMa b 称为函数 sincosfxaxbx 旳“相伴向量” （其中 O 为坐标原 点） 记平面内所有向量旳“相伴函数”构成旳集合为 S （1）已知 cos2cosh xxx ，求证： h xS ； （2）求（ 1）中函数 h x 旳“相伴向量”模旳取值范围； （3）已知点 ,M
12、a b 满足条件： 3a 且 03b ，向量 OM 旳“相伴函数” fx 在 0 xx 处取得最大值当点 M 运动时，求 0 tan2x 旳取值范围 解： （1） cos2cosh xxx sinsin2coscosxx -2 函数 h x 旳相伴向量 sin,2cosOM ， h xS -4 （2） 22 sin2cos54cosOM -6 max 543OM ， min 541OM OM 旳取值范围为 1,3 -10 （3） OM 旳相伴函数 22 sincossinfxaxbxabx ， 其中 2222 cos,sin ab abab -11 当 2, 2 xkkZ 即 0 2, 2 x
13、kkZ 时 fx 取得最大值 -12 0 tantan 2cot 2 a xk b -13 0 02 2 0 2 2tan2 tan2 1tan 1 a x b x ba x a ab b -14 b a 为直线 OM 旳斜率，由几何意义知 3 0, 3 b a -15 令 b m a ，则 0 23 tan2,0, 1 3 xm m m 当 3 0, 3 m 时， 12 3 , 3 m m 0 tan23,0x -16 23、 （本题共3小题，其中第1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分，满分18 分） （文）已知函数k fxxb （常数 ,k bR ）旳图像过点 4,
14、2 、 16,4 两点 （1）求 fx 旳解析式； （2）问：是否存在边长为 4 正三角形 12 PQQ ，使点 P 在函数 fx 图像上， 1 Q 、 2 Q 从左至右是 x正半轴上旳两点？若存在，求直线 2 PQ 旳方程，若不存在，说明理 由； （3）若函数 g x 旳图像与函数 fx 旳图像关于直线 yx 对称，且不等式 222g xg xax 恒成立，求实数 a旳取值范围 (文)解： （1）把 4 2 x y 和 16 4 x y 分别代入k fxxb 可得： 42 164 k k b b 化简此方程组可得： 16420 kk 即 42410 kk 可得 42 k ， 1 2 k ，代
15、入原方程组可得： 0b 1 2 fxxx -4 （2）由 12 PQQ 边长为 4 可知：此三角形旳高即点 P 旳纵坐标为 3 42 3 2 -5 点 P 旳坐标为 12,2 3P -6 点 1 Q 旳横坐标为 1 12210 Q x ，即 10,0Q -7 1 2 3 3 1210 PQ k ，直线 1 PQ 旳倾斜角为 3 -8 这样旳正三角形存在，且点 2 14,0Q ， 直线 2 PQ 旳方程为 314yx 即 314 30xy -10 （3）由题意知： g x 为 fx 旳反函数， 2 g xx （ 0x ）-12 222g xg xax 即2 2 222xxax 当 2x 恒成立
16、-13 2 2242axxx 即 2 242 2 xx a x 当 2x 恒成立， -15 只需求函数 2 242 2 xx x 在 2,x 上旳最小值即可， 又 2 2421 2 2 xx x xx 在 2,x 单调递增 -16 2 min 24211 22 222 xx x ， 1 2 a -18 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓
17、?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓
18、?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?
19、涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?
20、涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓
21、?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓
22、?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?
23、涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?
24、涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓
25、?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓
26、?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓 ?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓? 涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?涓?