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1、一些著名不等式及应用 一、平均值不等式及应用 一、相关定义 设 a1，a2，an是 n 个正实数，记 anaa n H n 111 21 ， n n anaaG 21 ， n aaa A n n 21 ， n aaa Q n n 22 2 2 1 ，分别称Hn，Gn，An，Qn为这 n 个 正数的调和平均、几何平均、算术平均数、平方平均 二、相关定理 定理Hn GnAnQn, ,等号成立当且仅当a1=a2=an 引理若 1 0(2,3, ) kkk xxxkn且，则 123121 ) 1()23)(2( nn n n xnnxxxxxxx ，等号成立当且仅当x1=x2=xn 三、例题 例 1设
2、 Rzyx,，求证： 9 33 )( )( 222 222 xyzxyzzyx zyxzyxxyz 例 2设 x+y+z=0 , Rzyx,， （1）求证： 32222333 )()(6zyxzyx （2）试求出最佳的常数,，使不等式 )()()( 6663222666 zyxzyxzyx 例 3设复数满足1iz，求)1)(Re( 2 izzA的最大值与最小值 四、练习题 1设,为锐角，且1coscoscos 222 ，求证：对任意实数x,y,z 有 xyzxyzzyxcotcotcotcotcotcot)( 2 1222 2设Rzyx,，且x+y+z=1，试求： )1 ()1()1( 2 4
3、 2 4 2 4 xx z zz y yy x f的最小值 二、柯西不等式及应用 一、相关定理 柯西不等式是指下面的定理 定理设), 2, 1(,niRba ii 则)()( 2 1 2 1 2 1 n i i n i i n i ii baba 当数组 a1， a2， ，an ,b1， b2， ，bn不全为 0 时，等号成立当且仅当)1(niab ii . 柯西不等式有两个很好的变式： 变式 1 设 ), 2, 1(0,nibiRai i i n ii i b a b a 2 1 2 )( , 等号成立当且仅当)1 (niab ii 变式 2 设 ai,bi同号且不为0（i=1，2， n）则
4、 ii i n ii i ba a b a 2 1 )( , 等号成立当且仅当 n bbb 21 二、例题 例 1.设 x1，x2，xn 0, 则 11 1 1n x x x n i i n i i i 例 2.设Rxi （ i=1，2， n）且1 1 1 n ii i x x 求证 : nji ji n i i xxx 11 2 例 3.设 a为实常数 ,试求函数)cos(sin)(xaxxf(xR)的最大值 例 4.求函数xbxaxfcossin)(在) 2 ,0( 上的最大值 ,其中 a，b 为正常数 三. 练习 1. ）设三个正实数a,b,c 满足)(2)( 4442222 cbacb
5、a 求证：a,b,c 一定是某三角形的三边长； ）设)3(nn个正实数a1，a2，an 满足)(1()( 44 2 4 1 222 2 2 1nn aaanaaa 2.已知Rzyx,且1 2x x : 1 222 222 z z y y x x 3.设Rzyx,: 1 22 2 22 2 22 2 xyyx z zxxz y yzzy x 4.设Rzyx,且 x+2y+3z =36,求 zyx 321 的最小值 三、排序不等式及应用 一、相关定义及定理 1）考虑如下2*(n+1) 个实数摆成的矩阵： n n bbb aaa A 10 10 ， n iii n bbb aaa B 10 10 ，
6、 0 1 10 bbb aaa C nn n 其中 n iii, 10 是 0,1,2,n 的一个排列 .矩阵 A称为同序矩阵,矩阵 B称为矩阵 A的乱序矩阵 , 矩阵 C 称为矩阵A 的反序矩阵 若矩阵 A 的乱序 M 可经列列交换变出A，则称矩阵M 为 A 的可同序矩阵显然，A 的列积 和或列和积均与A 的列交换无关 记 S（A） ，T（A）分别表示矩阵A 的列积和与列和积，则S（M）=S（A），T（M）=T（A） 2）排序不等式 排序不等式1 设 A 为 2*（n+1）同序实数矩阵，B 为 A 的乱序阵， C 为 A 的反序阵， 则)()()(CSBSAS，即 n k knk n k i
7、k n k kk bababa k 000 ，左边等号成立当且仅当B 中 任意两列同序，右边等号成立当且仅当B 中任意两列反序 排序不等式2 设 A 为 2*（n+1）同序非负实数矩阵，B 为 A 的乱序阵， C 为 A 的反序阵， 则)()()(CTBTAT，即 n k knk n k ik n k kk bababa k 000 )()()(，左（右）边等 号成立当且仅当B 中任意两列同（反）序 排序不等式3 设 A 为 m*n 同序非负实数矩阵，A为 A 的乱序阵，则有 （1） S （A） S （ A ） ， 即 m j n i m j n i ijij aa 1111 ；（2） T （
8、A） T （B） ， 即 m j n i ij m j n i ij aa 1111 二、例题 例 1、 在 ABC 中， ha , hb ,hc 为边长 a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinC ha +hb +hc 例 2、AG 不等式：ai0 (i=1,2,，n)，则Gaaaa n A n n n i i21 1 1 例 3、柯西不等式：)()( 2 1 2 1 2 1 n i i n i i n i ii baba 三、练习题 1若 a0,b0，则 2222 332266 babababa 2在 ABC 中，求证：abccbacbacbacba3)()()( 222
9、（IMO ） 3若 a1，a2，an为两两不等的正整数，求证： n k n k k kk a 11 2 1 4若 x1，x2，xn0， x1+x2+xn 2 1 ，则 2 1 )1()1)(1( 21n xxx 四、复数模不等式及应用 一、相关概念关于复数模不等式，它包括两方面的内容： 定理设 z1，z2，zn 为任意复数，则（1） 212121 ZZZZZZ 当0 21 ZZ时，左边（右边）等号成立当且仅当)0(0, 21 ZZ； （2） n k k n k k ZZ 11 ，式中等号成立当且仅当 n ZZZargargarg 21 二、例题 例 1、设 ai ,bi C (i=1,2,， n),则)()( 2 1 2 1 2 1 n i i n i i n i ii baba 例 2、 设 x1 ,x2 ,z 是复数，则不等式 1212 xxZxx成立的充要条件是z=c1x1 +c2x2, 这里 12 1cc 三、练习题 1、设,是模均大于1 的复数，求使不等式： 1()，恒成立的的最大值 2、设 A,B,C,D 为平面上任意四点，求证：ABCDADBCACBD