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1、1 专题 4.7 竖直面内或斜面内的圆周运动问题 一选择题 1. 如图所示，一质量为M的人站在台秤上，一根长为R的悬线一端系一个质量为m的小球，手拿悬线 另一端，小球绕悬线另一端点在竖直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点，则下列说法 正确的是 ( ) A小球运动到最高点时，小球的速度为零 B当小球运动到最高点时，台秤的示数最小，且为Mg C小球在a、b、c三个位置时，台秤的示数相同 D小球从最高点运动到最低点的过程中台秤的示数增大，人处于超重状态 【参考答案】C 2如图所示，长为L的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球，在O点的正下方与O点相距 L 2的地方 有一枚与竖直平面垂直
2、的钉子，把球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，当细绳碰到钉子的瞬 间，下列说法正确的是( ) 2 A小球的角速度突然增大 B小球的线速度突然增大 C小球的向心加速度突然增大 D小球受悬线的拉力突然增大 【参考答案】ACD 32017杭州模拟 如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动( 不计一 切阻力 ) ，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T-v 2 图象如图乙所 示，则 ( ) A轻质绳长为 am b B当地的重力加速度为 a m C当v 2c 时，轻质绳的拉力大小为 ac b a D只要v 2 b，小球在最低点和最高点时绳
3、的拉力差均为6a 【参考答案】BD 【名师解析】设绳长为L，最高点由牛顿第二定律得：Tmg mv 2 L ，则Tmv 2 L mg。对应图象有：mga得 3 g a m ，故 B 正确。 m L a b得： L mb a ，故 A 错误。当v 2 c时，T m L cmg a b ca，故 C 错误。当v 2b 时，小球能通过最高点，恰好通过最高点时速度为v，则 mv 2 L mg。在最低点的速度v，则 1 2mv 2 mg2L 1 2mv 2， Fmg mv 2 L ，可知小球在最低点和最高点时绳的拉力差为6mg即 6a，故 D正确。 4.(20 16海南高考 ) 如图 9，光滑圆轨道固定在
4、竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已 知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g，则 N1N2的值为 ( ) 图 9 A.3mgB.4mgC.5mgD.6mg 【参考答案】D 5. (2017辽宁铁岭联考) 飞机由俯冲到拉起时，飞行员处于超重状态，此时座椅对飞行员的支持力大于飞 行员所受的重力，这种现象叫过荷。过荷过重会造成飞行员四肢沉重，大脑缺血，暂时失明，甚至昏厥。 受过专门训练的空军飞行员最多可承受9 倍重力的影响。g取 10 m/s 2，则当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道 俯冲、拉起的速度为100 m/s 时，圆弧轨道的最小
5、半径为( ) 4 图 10 A.100 m B.111 m C.125 m D.250 m 【参考答案】C 6. （ 2018 洛阳名校联考）如图所示，内壁光滑半径大小为R的圆轨道竖直固定在桌面上，一个质量为m的 小球静止在轨道底部A点现用小锤沿水平方向快速击打小球，击打后迅速移开，使小球沿轨道在竖直面 内运动当小球回到A点时，再次用小锤沿运动方向击打小球，通过两次击打，小球才能运动到圆轨道的 最高点已知小球在运动过程中始终未脱离轨道，在第一次击打过程中小锤对小球做功W1，第二次击打过 程中小锤对小球做功W2. 设先后两次击打过程中小锤对小球做功全部用来增加小球的动能，则W1/W2的值可能 是
6、( ) A1/2 B2/3 C3/4 D1 【参考答案】AB 【名师解析】由于通过两次击打，小球才能运动到圆轨道的最高点，且小球始终未脱离轨道，所以第一次 击打小球后，小球运动的高度不能超过R，则有W1mgR，由于第二次击打后小球能运动到最高点，则有W1 W2mg2R 1 2mv 2， mgm v 2 R，可得 W1 W2 2 3，故选项 A、 B项正确 7如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球 ( 可视为质点 ) 当小球在竖直平面内沿 逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力F、轻绳与竖直线OP的夹角 满足关系式Fabcos ，式中a、b为常数若不计空气阻力，则当地的
7、重力加速度为( ) 5 A. b 2m B. 2b m C. 3b m D. b 3m 【参考答案】D 解析：在最高点时：设此时物体的速度为v1，由题意可知：180，绳的拉力F1ab；根据向心力公 式有： mgabmv 2 1 r ；在最低点时：设此时物体的速度为v2，由题意可知：0，绳的拉力T1ab； 根据向心力公式有：abmgmv 2 2 r ；只有重力做功， 由机械能守恒定律： 1 2mv 2 2 1 2mv 2 1mg(2r) ，解得：g b 3m ， 选项 D正确 8(2016山东潍坊高三一检) 如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，在最低点 给小球一个初速度，小
8、球恰好能够在竖直平面内完成圆周运动，选项中给出了轻绳对小球拉力F跟小球转 过的角度(0 180) 的余弦cos 关系的四幅图象，其中A是一段直线，B是一段余弦函数线， C、D是一段抛物线，这四幅Fcos 图象正确的是( ) 【参考答案】A 【名师解析】从最低点到与竖直方向夹角 位置，根据机械能守恒得， 1 2mv 2 0mgL(1 cos ) 1 2mv 2，当 小球恰好通过最高点时，有 1 2mv 2 0mg2L 1 2mv 2 1，mg mv 2 1 L ，解得，v05gL，又Fmgcos mv 2 L ，联立可 6 得，F3mg3mgcos ，可见F与 cos 是一次函数关系，因此Fco
9、s 图象是一条直线，故A正确。 9. (2016江苏南通高三期末) “水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在 竖直平面内的圆周运动模型，如图所示，已知绳长为L，重力加速度为g，忽略空气阻力，则( ) A小球运动到最低点Q时，处于超重状态 B小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大 C若v06gL，则小球一定能通过最高点P D若v0gL，则细绳始终处于绷紧状态 【参考答案】ACD 联立解得，F2F16mg，与小球的速度无关，B错误；小球刚好通过最高点P时只受重力， 重力提供向心力， mgm v 2 L ，vgL，联立可得，v05gL，当v05gL时，小球一
10、定能够通过最高点P，C正确；若v0gL， 设小球能够上升的最大高度h，由机械能守恒得，mgh1 2mv 2 0 1 2mgL ，所以hL 2，小球上升的最高点尚不到 与O水平的高度，所以细绳始终处于绷紧状态，故D正确。 10 (2016 福建质检 ) 如图，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高 的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。今使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运 7 动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力 大小为 A3mg B 3 4 3mg C3mg D23mg 【参考答案】
11、A 9(2016 连云港六校联考) 如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放 在地面上通过铰链连接形成转动轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳， 通过滑轮后挂上重物M，C点与O点的距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置 以角速度 缓慢转至水平 ( 转过了 90角 ) 下列有关此过程的说法中正确的是( ) A重物M做匀速直线运动 B重物M做变速直线运动 8 C重物M的最大速度是L D重物M的速度先减小后增大 【参考答案】BC 二计算题 1（12 分） （2018 北京西城期末） 游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游
12、客却不会掉下来，如图甲所示。我们把这种情形抽象为如 图乙所示的模型：弧形轨道的下端N与竖直圆轨道平滑相接，P为圆轨道的最高点。使小球（可视为质点） 从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。不考虑小球运动所受的摩擦等阻力。 （1）小球沿弧形轨道运动的过程中，经过某一位置A时动能为Ek1，重力势能为EP1，经过另一位置B时动 能为Ek2，重力势能为EP2。请根据动能定理和重力做功的特点，证明：小球由A运动到B的过程中，总的机 械能保持不变，即Ek 1+EP1=Ek2+EP2； （2）已知圆形轨道的半径为R，将一质量为m1的小球，从弧形轨道距地面高h=2.5R处由静止释放。 a请通过分
13、析、计算，说明小球能否通过圆轨道的最高点P； b如果在弧形轨道的下端N处静置另一个质量为m2的小球。仍将质量为m1的小球，从弧形轨道距地面高h = 2.5R处由静止释放，两小球将发生弹性正撞。若要使被碰小球碰后能通过圆轨道的最高点P，那么被碰 小球的质量m2需要满足什么条件？请通过分析、计算，说明你的理由。 【名师解析】. （12 分） 解： （1）根据动能定理W总= WG = Ek2Ek1 （1 分） 根据重力做功的特点可知WG = Ep1Ep2 （1 分） 联立以上两式Ek2Ek1 = Ep1Ep2 整理得到Ek2 + Ep2 = Ep1 + Ek1 （1 分） 9 b. 以小球m1为研究
14、对象，设小球运动到N点时的速度为v1 从M到N，根据机械能守恒定律 2 111 2 1 vmghm（1 分） 以两个小球为研究对象，碰后两小球的速度分别为v1、v2 根据动量守恒定律m1v1= m1v1+ m2v2（1 分） 根据能量守恒定律 222 1 11122 111 222 m vm vm v（1 分） 联立解得小球m2碰后的速度 1 21 12 2m vv mm （1 分） 因为小球m1从h =2.5R处滚下时恰好能过最高点，所以只要m2在N点被碰后的速度 21 vv，它就能过最高 点。从上式中分析可以得到，当m2m1时，可得 21 vv。所以当满足m 2m1时，小球m2被碰后能通过圆轨道 的最高点P。（1 分）