北现大版八年级上册第一章勾股定理-折叠问题专题练习题.pdf

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1、2019-2020 勾股定理折叠问题（含答案） 知识点睛 1.折叠问题处理思路： （1）找折痕； （2）设未知数，表达线段、转移线段； （ 3）利用勾股定理列方程 一、单选题 1在直线 L 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、 3，正放置的 四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、 S4 ， 则 S1+2S2+2S3+S4=（） A5 B4 C6 D10 2 如图 ,将矩形纸片ABCD 沿 EF 折叠 ,使 D 点与 BC 边中点 D 重合 ,若 BC=8,CD=6, 则 CF 长为 （ ） A1.5 B 3 5 C2 D1 3如图，在矩形ABCD 中， AB=4

2、 ，BC=6 ，点 E 为 BC 的中点，将 ABE 沿 AE 折叠，使点B 落 在矩形内点F 处，连接CF，则 CF 的长为（） A1.8 B2.4 C3.2 D3.6 4 如图 ,直角三角形纸片两直角边长分别为6,8,按如图折叠 ,使 A 与 B 重合 ,折痕为 DE,则 S BCE ： S BDE 等于（） A2：5 B14：25 C16： 25 D4：21 5如图，在矩形纸片ABCD 中， AB=5CM ，BC=10CM ，CD 上有一点E，ED=2cm ，AD 上有一点 P，PD=3cm，过点 P 作 PF AD ，交 BC 于点 F，将纸片折叠，使点P 与点 E 重合，折痕与PF交

3、于 点 Q，则 PQ 的长是 ( ). A. 4 13 cm B.3cm C.2cm D. 2 7 cm 6如图，在矩形ABCD 中， AB=3 ，BC=5 ，点 E 在边 CD 上，连接BE，将 BCE 沿 BE 折叠，若 点 C 恰好落在AD 边上的点 F 处，则 CE 的长为（） A 5 3 B 3 5 C 4 3 D 3 4 7如图，有一块RtABC 的纸片， ABC=90 0,AB 6，BC 8，将 ABC 沿 AD 折叠，使点 B 落 在 AC 上的 E 处，则 BD 的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8将宽为1cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的

4、长是（） A1cm B 2cm C 3 3 cm D 2 3 3 cm 9如图，矩形ABCD 中， AB4cm， BC8cm，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影 部分的面积（）cm 2. A8 B10 C15 D20 10如图， RtABC 中， AB=9 ，BC=6 ，B=90 ，将 ABC 折叠，使A 点与 BC 的中点 D 重合， 折痕为 MN ，则线段BN 的长为（） A 5 3 B 5 2 C4 D5 11如图矩形ABCD 中， AB=3 ，BC=3，点 P 是 BC 边上的动点，现将PCD 沿直线 PD 折叠， 使点 C 落在点 C1处，则点B 到点 C1的最短距离为（）

5、 A5 B4 C3 D 2 12 如图是一个直角三角形纸片，A=30 ， 将其折叠， 使点 C 落在斜边上的点C 处，折痕为 BD ， 如图，再将沿DE 折叠，使点 A 落在 DC 的延长线上的点A 处，如图，若折痕 DE 的长是 cm， 则 BC 的长是（） A3cm B4cm C 5cm D6cm 二、填空题 13 如图，将边长为的正方形折叠，使点 落在边的中点处， 点落在处， 折痕为， 则 线段的长为 _ 14如图，已知RtABC 中， B90 ，A60 ，AC 3，点 M、N 分别在线段AC、 AB 上，将 ANM 沿直线 M 折叠，使点A 的对应点D 恰好落在线段BC 上，当 DCM

6、 为直角三角形时，折痕 MN 的长为 _ 15如图，在 ABC 中， ACB90 ，点 D，E 分别在 AC，BC 上，且 CDE B，将 CDE 沿 DE 折叠，点C 恰好落在 AB 上的 F 处，若 CD4，CE3，则 AB 的长为 _ 16 如图，纸片中， 点在边上， 以为折痕折叠得 到，与边交于点，若为直角三角形，则的长是 _ 17如图，在四边形ABCD 中， AD BC，C90 ，E 为 CD 上一点，分别以EA，EB 为折痕将 两个角 (D，C)向内折叠，点C，D 恰好落在AB 边的点 F 处若 AD 3，BC 4，则 EF 的长为 _ 18如图，在 ABC 中， AB=20 ，A

7、C=12 ，BC=16，把 ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上，则重 叠部分（阴影部分）的面积是_ 19如图，在ABC 中， AB=AC=6， BAC=90，点 D、E 为 BC 边上的两点，分别沿AD 、AE 折叠， B、 C 两点重合于点F，若 DE=5，则 AD 的长为 _ 20如图，矩形纸片ABCD 中，点 E、F 在矩形 ABCD 的边 AB、AD 上 运动，将 沿 EF 折叠，使点在 BC 边上，当折痕EF 移动时，点在 BC 边上也随之移动则 的取值范围为 _ 21如图，矩形ABCD 中， AB=8,AD=5 ，点 E 为 DC 边上一个动点，把ADE 沿 AE 折叠，点 D

8、 的对应点D 落在矩形ABCD 的对称轴上时，DE 的长为 _. 22如图，将边长为6cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点D 落在 AB 边中点 E 处，点 C 落在点 Q 处，折痕为FH，则线段AF 的长是 _cm 三、解答题 23小丽剪了一些直角三角形纸片，她取出其中的几张进行了如下的操作： 操作一：如图，将RtABC 沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A 与 B 重合，折痕为DE. （1）如果 AC=6cm ，BC=8cm ，试求 ACD 的周长 . （2）如果 CAD ：BAD=4 ：7，求 B 的度数 . 操作二：如图，小丽拿出另一张RtABC 纸片，将直角边AC 沿直线 AD 折

9、叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，已知两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，你能求出CD 的长吗？ 操作三：如图，小丽又拿出另一张RtABC 纸片，将纸片折叠，折痕CDAB 。你能证明： BC 2+AD2=AC2+BD2 吗？ 24我们已经知道，有一个内角是直角的三角形.其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫 斜边 .数学家已发现在一个直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边长的平方.如果设直角三 角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达为： 222 abc . （1）在图中，若 3a ， 4b ，则 c 等于多少； （2）观察图，利用面积与代

10、数恒等式的关系，试说明 222 abc 的正确性 .其中两个相同的直角三 角形边AE、EB在一条直线上； （3）如图 所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点 D落在BC边的点F处，已知8AB ， 10BC，利用上面的结论求的长. 25如图， AOB ，COD 是等腰直角三角形，点D 在 AB 上， （1）求证： AOC BOD ； （2）若 AD=3 ，BD=1 ，求 CD 参考答案 1C 【解析】 【分析】 运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答 【详解】 观察发现， AB=BE ，ACB= BDE=90 ， ABC+ BAC=90 ，ABC+

11、EBD=90 ， BAC= EBD ， ABC BDE （ AAS） ， BC=ED ， AB 2=AC2+BC2， AB 2=AC2+ED2=S 1+S2， 即 S1+S2=1， 同理 S2+S3=2，S3+S4=3 则 S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6 ， 故选 C. 【点睛】 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质，发现正放置的两个小正方形的面积和正好是它们 之间斜放置的正方形的面积是解题的关键. 2B 【解析】 D 是 BC 的中点， DC= 2 1 BC=4 ， 由折叠的性质知：DF=D F ，设 CF=x，则 DF=DF=6 x， 在 RtCFD 中，根据勾股定理得：

12、DF 2=CF2+CD 2， 即： （6x） 2=x2+42， 解得 x= 3 5 ， CF= 3 5 故选： B 3D 【解析】 试题解析：连接BF， BC=6，点 E 为 BC 的中点， BE=3， 又AB=4， AE= + =5， BH= ， 则 BF=， FE=BE=EC ， BFC =90 ， CF= -= 故选 D 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称， 折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键 4B 【解析】 试题分析：在Rt BEC 中利用勾股定理计算出AB=10 ，根据折叠的性质得到AD=BD=5

13、，EA=EB ， 设 AE=x ，则 BE=x ，EC=8 x，在 RtBEC 中根据勾股定理计算出x=，则 EC=8 =， 利用三角形面积公式计算出SBCE= BC CE= 6=，在 RtBED 中利用勾股定理计算出 ED= ，利用三角形面积公式计算出S BDE= BD DE= 5 =，然后求出两面积的比 SBCE：S BDE= ： =14： 25 故选 B 考点：翻折变换（折叠问题） 5A. 【解析】 试题分析：过Q 点作 QGCD，垂足为 G 点，连接QE， 设 PQ=x，由折叠及矩形的性质可知， EQ=PQ=x ，QG=PD=3，EG=x-2 ， 在 RtEGQ 中，由勾股定理得： E

14、G 2+GQ2=EQ2，即：（x-2）2+32=x2， 解得： x= 13 4 ，即 PQ= 13 4 . 故选： A. 考点：图形的翻折变换. 6B 【解析】 试题分析： 设 CE=x四边形 ABCD 是矩形， AD=BC=5 ， CD=AB=3 ，A= D=90 将 BCE 沿 BE 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处， BF=BC=5 ，EF=CE=x ，DE=CD CE=3x在 RtABF 中，由勾股定理得：AF 2=5232=16，AF=4 ，DF=5 4=1在 RtDEF 中，由勾股定理 得：EF 2=DE2+DF2，即 x2=（3x） 2+12， 故选 B 考点：翻折变换

15、（折叠问题） 7A 【解析】 【分析】 由题意可得 AED= ABC =90 ，AE=AB=3 ，由勾股定理即可求得AC 的长，则可得EC 的长，然 后设 BD=ED=x ，则 CD=BC-BD=4-x，由勾股定理CD =EC+ED，即可得方程，解方程即 可求得答案 【详解】 点 E 是沿 AD 折叠，点B 的对应点，连接 ED， AED= ABC=90 ，AE=AB=6 ， 在 RtABC 中， B=90 ，AB=6 ，BC=8 ， AC= =10， EC=AC-AE=10-6=4， 设 BD=ED=x ，则 CD=BC-BD=8-x， 在 RtCDE 中， CD =EC+ED ， 即： (

16、8-x) =x+16， 解得： x=3， BD=3 故选： A 【点睛】 此题考查勾股定理，折叠的性质,解题关键在于求得AC 的长 . 【答案】 D 【解析】 试题解析：解：如下图所示，过点A 作 AB BP， 根据两直线平行，同位角相等， 可得： APB60 ， BAP 30 ， AP2BP， AB 1， 2 21 1 2 APAP ， AP 2 3 3 ， 同理可得： AQ 23 3 ， APQ 是等边三角形， PQ 2 3 3 ， 故应选 D. 考点：折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质 点评：本题主要考查了直角三角形的性质与等边三角形的判定.直角三角形中30 的锐角所对的直角 边

17、等于斜边的一半；有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形. 9B 【解析】分析：首先根据折叠图形和平行线的性质得出BE=DE ，然后设BE=DE=x ，则 AE=8 x， 根据 ABE 的勾股定理求出x 的值，最后根据三角形的面积计算公式得出答案 详解：根据折叠可得：CBD= EBD ，AD BC， EDB= CBD ， EDB= EBD ， BE=DE ，设 BE=DE=x ，则 AE=8x，根据 RtABE 的勾股定理可得：x=5， 即 DE=5，则 S阴影=5 4 2=10，故选 B 点睛：本题主要考查的是折叠图形的性质以及勾股定理的应用，属于中等难度的题型解答折叠问 题的时候，我们首先

18、要明确对应边和对应角，将所求的线段放入直角三角形中，从而得出线段的长 度 10C 【解析】 【分析】 设 BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9 x，在 RtBDN 中，根据勾股定理可得x 2+32=（9 x）2， 解得 x 的值，即可求得BN 的长 . 【详解】 设 BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9 x， D 是 BC 的中点， BD=3 ， 在 RtBDN 中， x 2+32=（9 x）2，解得 x=4 故线段 BN 的长为 4 故选 C 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，熟练运用折叠的性质及勾股定理是解决问题的关键. 11C 【解析】 【分析】 连接 BD， BC1，利用三角

19、形三边关系得出 BC1+DC1BD ，得到当C1在线段 BD 上时，点 B 到点 C1的距离最短，然后根据勾股定理计算即可 . 【详解】 连接 BD， BC1， 在CBD中， BC1+DC1BD ， 由折叠的性质可知，C1D=CD=3 ， 当 C1在线段 BD 上时，点B 到点 C1的距离最短， 在 RtBCD 中， BD= =6， 此时 BC1=63=3， 故选： C 【点睛】 本题考查了翻转变换的性质，解题的关键是熟练掌握：折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和 对应角相等 . 12B 【解析】分析:先根据在一个直角三角形纸片,A=30 ,根据翻折图形的性质可得: DBA=30 , ADC

20、 =60 , ADE =30 ,所以 BDE=90 ,在 RtBDE 中, DBE=30 ,DE= ,根据 30 角 所对直角边等于斜边的一半,可得 :BE= ,根据勾股定理可得:BD=, 在 RtDBC 中, DBC=30 ,DB=,根据 30 角所对直角边等于斜边的一半,可得 :DC= ,根据勾股定理可得:BC= . 详解 : 因为 A=30 ,根据翻折图形的性质可得: DBA=30 , ADC =60 , ADE =30 , 所以 BDE=90 , 在 RtBDE 中 , 因为 DBE=30 ,DE= , 所以 BE= , 根据勾股定理可得:BD= , 在 RtDBC 中 , DBC =

21、30 ,DB =,根 所以 DC= , 根据勾股定理可得:BC= . 故选 B 点睛 :本题主要考查在直角三角形中,30 所对直角边等于斜边的一半,勾股定理 ,解决本题的关键是要 熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理. 13 【解析】 【分析】 根据折叠的性质，只要求出DN 就可以求出NE，在直角 CEN 中，若设CN=x ，则 DN=NE=8-x ， CE=4，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN 的长 【详解】 设 CN=x，则 DN=8-x ，由折叠的性质知EN=DN=8-x ， 而 EC= BC=4 ，在 RtECN 中，由勾股定理可知 =+ ，即（ - ） 整理得 16x=48，所

22、以 x=3 故答案为： 3. 【点睛】 本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方 程解决问题，属于中考常考题型 14 1或 6 69 2 2 【解析】 【分析】 由DCM 为直角三角形，分两种情况进行讨论： CDM 90 ； CMD90 分别依据含30 角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN 的长 【详解】 解：分两种情况： 如图，当 CDM 90 时， CDM 是直角三角形， 在 RtABC 中， B90 ， A60 ，AC3， 13 30 , 22 CABAC， 由折叠可得，MDN A60 ， BDN 30 ， 11 2

23、2 BNDNAN， 11 32 BNAB， AN2BN1， DNB 60 ， ANM DNM 60 ， AMN 60 ， MNAN1； 如图，当 CMD 90 时， CDM 是直角三角形， 由题可得， CDM 60 ， A MDN60 ， BDN 60 ，BND30 ， 11 ,3 22 BDDNAN BNBD， 又 3 2 AB， 6 39 63 3, 2 ANBN ， 过 N 作 NHAM 于 H，则 ANH30 ， 163 36 39 , 222 AHANHN ， 由折叠可得，AMN DMN 45 ， MNH 是等腰直角三角形， 6 39 2 HMHN ， 6692 2 MN 故答案为

24、1 或 6 69 2 2 【点睛】 本题考查了翻折变换-折叠问题， 勾股定理， 含 30 角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质， 正确的作出图形是解题的关键折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小 不变，位置变化，对应边和对应角相等 15 48 5 【解析】 【分析】 由勾股定理可求DE5，由三角形面积公式可求OC 12 5 ，由折叠的性质可求CF 24 5 ，由直角三 角形的性质可得AFCFBF 24 5 ，即可求AB 的长 【详解】 解：如图，设DE 与 CF 的交点为 O， CD4，CE3，ACB 90 ， DE 22 CDCE 5， 将 CDE 沿 DE 折叠，

25、点C 恰好落在AB 上的 F 处 OCOF，CFDE， SCDE 1 2 CD CE 1 2 DE CO OC 12 5 , CF 24 5 , ACB90 ， A+B90 ，且 CDE+DCF90 ，CDE B A ACF AFCF 24 5 , 同理可求： BF CF 24 5 , ABAF+BF 48 5 , 故答案为： 48 5 . 【点睛】 本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，证明AFCF BF 是本题的关键 16 1或 【解析】 【分析】 先依据勾股定理求得AB 的长，然后由翻折的性质可知：AB 5，DB DB ，接下来分为 BDB 90 和B ED 90 两种情况画出

26、图形，设DB DB x，然后依据勾股定理列出关于 x 的方程求解 即可 【详解】 解： RtABC 纸片中， C90 ，AC 3，BC4， AB 5， 以 AD 为折痕 ABD 折叠得到 AB D， BD DB ，AB AB 10 如图 1 所示：当 BDB 90 时，过点B 作 BF AF，垂足为 F 设 BDDB x，则 AF3x， FB 4-x 在 RtAFB 中，由勾股定理得：AB 2AF2FB 2，即（ 3x）2（ 4-x ）2 5 2 解得： x11，x2 0（舍去） BD 1 如图 2 所示：当 BED 90 时， C 与点 E 重合 AB 5，AC 3， BE 2 设 BDDB

27、 x，则 DE4-x 在 RtBDE中， DB 2DE2BE2，即 x2（ 4-x ）2 2 2 解得： x BD 综上所述， BD 的长为 1 或 故答案为1 或 【点睛】 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x 的方程是解题的关键 17 2 3 【解析】 【分析】 先根据折叠的性质得DEEF，CEEF，AF AD 3，BFCB4，则 DC2EF，AB 7，再作 AH BC 于 H，由于 AD BC，B90 ，则可判断四边形ADCH 为矩形，所以AH DC 2EF， HB BCCHBCAD 1， 然后在 RtABH 中， 利用勾股定理计算出AH 4 3， 所以 E

28、F 23 【详解】 解 分别以 AE，BE 为折痕将两个角(D，C)向内折叠，点C， D 恰好落在AB 边的点 F 处， DEEF，CEEF， AFAD 3，BFCB4， DC2EF，AB 7， 作 AHBC 于 H， AD BC，C90 ， 四边形 ADCH 为矩形， AH DC2EF，HB BCCHBCAD 1， 在 RtABH 中， AH 22 ABBH 4 3 EF2 3 故答案为： 2 3 【点睛】 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等也考查了勾股定理 18 36 【解析】 【分析】 利用勾股定理求出CD

29、=6 ，所以阴影部分面积为 CD AC ，求出即可 【详解】 解：设 CD=x ， 在 ABC 中， AB=20 ，AC=12 ，BC=16，把 ABC 折叠，使AB 落在直线 AC 上， BD=B D=16x，BC=AB AC=20 12=8，DCB =90 ， 在 RtDCB 中， CD 2+BC2=DB2， x 2+82=（16x）2， 解得： x=6， 重叠部分（阴影部分）的面积为： 6 12=36 故答案为： 36 【点睛】 此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出BD=B D=16x，BC=8 是解 题关键 19或 【解析】 【分析】 过点 A 作 AG BC，

30、垂足为G，根据等腰直角三角形的性质可得AG=BG=CG=6 ，设 BD=x ，则 DF=BD=x ，EF=7-x ，然后利用勾股定理可得到关于x 的方程，从而求得 DG 的长，继而可求得AD 的长 . 【详解】 如图所示，过点A 作 AG BC，垂足为G， AB=AC=6， BAC=90 ， BC= =12， AB=AC ，AG BC， AG=BG=CG=6 ， 设 BD=x，则 EC=12-DE-BD=12-5-x=7-x， 由翻折的性质可知：DFA= B=C=AFE=45 ，DB=DF ，EF=FC， DF=x ，EF=7-x ， 在 RtDEF 中， DE 2=DF2+EF2，即 25=

31、x2+(7-x)2， 解得： x=3 或 x=4， 当 BD=3 时， DG=3，AD=， 当 BD=4 时， DG=2，AD=， AD 的长为或， 故答案为：或. 【点睛】 本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，正确添加辅助线，灵活运用勾 股定理是解题的关键. 20 【解析】 【分析】 由矩形的性质得出 C，BCAD，CDAB，当点 E 与 B 重合时， AC 最小， 此时 BA BA，得出 ACBCBA ；当 F 与 D 重合时， AC 最大， 此时 ADAD ，由勾股定理求出AC 的长，即可得出结果 【详解】 四边形 ABCD 是矩形， C ，BCAD，CDAB，

32、当点 E 与 B 重合时， AC 最小， 如图 1 所示： 此时 BA BA， ACBCBA； 当 F 与 D 重合时， AC最大， 如图 2 所示： 此时 ADAD， AC； 综上所述： AC 的取值范围为AC 故答案为：AC 【点睛】 本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，求出AC最 小和最大时的值是解决问题的关键 21 或 【解析】分析：过点D 作 MN AB 于点 N，MN 交 CD 于点 M，由矩形有两条对称轴可知要分两种 情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角EMD 与AND 中，利 用勾股定理可得出关于DM 长度的

33、一元二次方程，解方程即可得出结论 详解：过点D 作 MN AB 于点 N，MN 交 CD 于点 M，如图 1、所示 设 DE=a，则 DE=a 矩形 ABCD 有两条对称轴， 分两种情况考虑： 当 DM=CM 时， AN=DM=CD= AB=4 ，AD=AD =5， 由勾股定理可知： ND = ， MD =MN -ND =AD-ND =2 ，EM=DM-DE=4-a ， ED 2=EM2+MD 2，即 a2=（4-a） 2+4， 解得： a= ； 当 MD =ND 时， MD =ND =MN= AD= ， 由勾股定理可知： AN= ， EM=DM-DE=AN-DE= -a， ED 2=EM2+

34、MD 2，即 a2( - a) 2+( )2， 解得： a= 综上知： DE= 或 故答案为：或 点睛： 本题考查了翻转变换、轴对称的性质、 矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于DM 长度的一元二次方程本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题 型题目时，结合勾股定理列出方程是关键 22 【解析】 如图： 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD=6， AE=EB=3，EF=FD ，设 EF=DF =x.则 AF=6- x， 在 RTAEF 中,AE2+AF2 =EF2， 32+(6- x) 2=x2， x=， AF=6- = cm， 故答案为 .

35、23操作一：（1）14cm； （2） B=35 ；操作二： CD=3cm ；操作三：见解析. 【解析】 【分析】 操作一利用对称找准相等的量：BD=AD ，BAD= B，然后分别利用周长及三角形的内角和可求 得答案； 操作二利用折叠找着AC=AE ， 利用勾股定理列式求出AB，设 CD=x ， 表示出 BD ， AE，在 RtBDE 中，利用勾股定理可得答案； 操作三两次运用勾股定理可答案 【详解】 解：操作一： （1）由对称性可得AD=BD ， ACD 的周长 =AC+CD+AD ， ACD 的周长 =AC+CD+BD=AC+BC=8+6=14（cm） ； （2）设 CAD=4x ，BAD=

36、7x 由题意得方程：7x+7x+4x=90 ， 解之得 x=5， 所以 B=35 ； 操作二： AC=6cm ，BC=8cm ， AB= =10cm， 根据折叠性质可得AC=AE=6cm ， BE=AB-AE=10-6=4 ， 设 CD=x，则 BD=8-x ，DE=x ， 在 RtBDE 中，由题意可得方程x 2+42=（8-x）2， 解之得 x=3， CD=3cm ； 操作三： 在 RtBCD 中，由勾股定理可得BC 2=BD2 +CD 2 在 RtACD 中，由勾股定理可得AD 2+CD2=AC2 BC 2+AD2=BD2+CD2+AD2 =AC 2+BD2 【点睛】 本题考查了直角三角

37、形中的勾股定理的应用及图形的翻折问题；解决翻折问题时一般要找着相等的 量，然后结合有关的知识列出方程进行解答 24 （1）5； （2）见解析；（3）EF=5. 【解析】 【分析】 （1）根据勾股定理计算即可； （2）分别用不同的方式表示出梯形的面积，列出等式，根据整式的运算法则计算即可； （3）根据勾股定理计算 【详解】 （1）由勾股定理得，c= 22 5ab （2）图 的梯形的面积可以有两种表示方法， 由梯形面积公式，得 2 11 22 ababab； 也可表示为 2 222 AEDCBECDE ababc SSS； 故 2 21 2222 ababc ab 整理得 222 2 2222 a

38、abbababc ， 即 222 abc . （3）由长方形ABCD和折叠的性质可得， 10AFADBC，8CDAB，EFDE， 在Rt ABF中， 222 ABBFAF ，即 222 810BF ， 所以6BF，1064FC. 设EFx，则DEx，8ECx， 在Rt EFC中， 222 ECFCEF ， 2 22 84xx，解得5x，即5EF. 【点睛】 本题考查的是四边形的综合运用，掌握梯形的面积公式、勾股定理以及翻转变换的性质是解题的关 键 25 (1)见解析；（2） 【解析】试题分析： （1）因为 AOB= COD=90 ，由等量代换可得DOB= AOC ，又因为 AOB 和COD 均

39、为等腰直角三角形，所以OC=OD ，OA=OB ，则 AOC BOD ； （2） 由 （1） 可知 AOC BOD， 所以 AC=BD=1 ， CAO= DBO=45 ， 由等量代换求得 CAB=90 ， 根据勾股定理即可求出CD 的长 试题解析：（ 1） AOB ，COD 是等腰直角三角形， OC=OD ，OA=OB ， AOB= COD=90 ， AOC= BOD=90 AOD ， 在AOC 和BOD 中， AOC BOD （SAS） ； （2） AOB ，COD 是等腰直角三角形， OC=OD ，OA=OB ， AOB= COD=90 ， B= OAB=45 ， AOC BOD ，BD=1 ， AC=BD=1 ， CAO= B=45 ， OAB=45 ， CAD=45 +45 =90 ， 在 RtCAD 中，由勾股定理得：CD=