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1、精品文档 精品文档 课题： 等比数列的前n项和（一课时） 教材： 浙江省 职 业 学 校 文 化 课 教 材数学下册 （人民教育出版社） 一、教材分析 教学内容 等比数列的前n项和是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章数 列第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看， 它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛 的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等, 另外公式推导过程中所渗透的类 比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法, 都是学生今后学习和工作中 必备的数学素养就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推 导需要学生观察
2、、 归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神, 同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体 二、学情分析 知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项 公式等内容 , 这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独 立、合作地解决一些问题， 但从学生的思维特点看， 很容易把本节内容与等差数 列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导不 利因素是： 本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同， 这对学生 的思维是一个突破，另外，对于1q这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤 其是
3、在后面使用的过程中容易出错 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制 定了如下教学目标： 1. 教学目标 精品文档 精品文档 知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程，掌握公式的特点，并 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题 过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2. 教学
4、重点、难点 重点：等比数列前 n项和公式的推导及公式的简单应用 难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用 突破难点的手段：“抓两点，破难点”, 即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予 适当的提示和指导 . 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于 情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软 件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程
5、教学过程 教 学 环节教学内容学生活动设计意图 一、 课前 成果 展示 一、 课前学生展示： （1）庄子语录：一尺之捶，日取其半，万世不竭 问 8 天去多少？ （2）微商： 1 人发朋友圈， 3 人转发， 3 人之后又 学 生 分 组 派 代 表 展示，并在辅助黑板 上转换成两个求和 的式子 让学生带着问题进入 课堂，激发学生求知欲 望， 而就身边的事例引 入课堂激发学生兴趣。 精品文档 精品文档 分享9 人转发，那么依次转发到n 次，问有多少人转发 了朋友圈。 二、 探 究 归 纳 10mi n 1、问题探究 【撕纸实验】 课前每位同学人手准备一张报纸，第一小组不 撕。其他组同学将报纸第一次
6、对折，每组中一名同 学不撕，其他组员对折撕开，第二次对折，还是每 一组中一名组员不再撕了，其他组员对折撕开，重 复上面循环到最后组里第五个。那么每组有多少片 纸？ 探究： 如何求和 第一组： 1+1+1+1+1=5 其他每组有： 3122221 432 问题延伸： 如果全班 30人一起做这样的实验那么我们能得 到多少张纸片？ 共有： 30 2932 22221S 【教师提问】 （1）能否逐一相加得结果？ （2）那有什么简单方法？ 引导学生回忆： 等差数列求和的重要方法是倒 序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构 造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的 问题转化为易于求和的问题，从而
7、求和的实质是减 少了项 . 那现在用这种办法还行吗？若不行，那该 怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，根据等 比数列项之间的特点，也构造一个式子，通过两式 运算来解决问题？ 探讨 1、 30 2932 22221S ， 记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？ （学生会发现，后一项都是前一项的2 倍） 探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一 项 ，（ 1） 式 两边 同乘 以2则 有 30 302932 22222S ， 记为 （2） 式比较（ 1）(2）两式，你有什么发现？ 老师强调指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过 程，反思：为什么（1）式两边要同乘以 2呢？
8、 课堂中学生动手实 验参与其中。 学生积极探究， 解决 情境 学生观察、思考 解决情境问题： 经过 比较、研究，学生发 现：（ 1）、（ 2）两 式有许多相同的项， 把两式相减， 相同的 项就可以消去了 . 动手实验的引入， 引出 课题的同时激发学生 的兴趣，调动学生主动 性 实验内容紧扣本节 课的主题与重点 留出时间让学生充分 地思考、讨论 . 用错位 相减法推导等比数列 前n项和公式的关键 是变“加”为“减”， 在教师看来这是 “天经 地义”的，但在学生看 来却是“不可思议”的， 因此教学中应着力在 这儿下功夫， 让学生经 过思考讨论， 教师引导 类比倒序相加求和的 本质，运用数学中重要
9、的转化思想， 通过构造 法发现上述解法， 让学 生在探索过程中， 充分 感受到成功的乐趣， 从 而增强学习数学的兴 趣和学好数学的信心， 同时这也是培养学生 辩证思维能力的良好 契机 二、 探 究 归 纳 形 2、归纳 这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比 数列为 n a，公比为 q，如何求它的前n 项和？ 让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。 一般等比数列前n项和： ? 1321nnn aaaaaSLL 即? 1 1 2 1 2 111 nn n qaqaqaqaaS 错位相减法 学生推导公式 在教师的指导下，让学生从 特殊到一般，从已知到未 知，步步深入，让学生自己 探究公式，从而
10、体验到学习 的愉快和成就感。 突破重点，达成课堂初 精品文档 精品文档 成 公 式 7min nn n nn n qaqaqaqaqaqS qaqaqaqaaS 1 1 1 3 1 2 11 1 1 2 1 2 111 q qa qaaSq n n n 1 )1( )1 ( 1 11 这里的 q 能不能等于 1？等比数列中的公比能 不能为 1？q=1 时是什么数列？此时sn=？ 1 1 1 )1( 1 1 qna q q qa S n n 在 学 生 推 导 完 成 之 后 ， 老 师 再 问 ： 由 n n qaaSq 11 )1 (得 q qaa S n n 1 11 步目标 三、 性 质
11、 探 究 8min 1 等比数列的前n 项和公式： 当 q=1 时， 当时 2公式特征： 等比数列求和时，应考虑与两种 情况。 当时， 等比数列前 n 项和公式有两种形式, 分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。 等比数列通项公式结合前n 项和公式涉及五个 量， 五个量中“知三求二”（方程思想）。 3等比数列前n 项和公式推导方法：错位相减法。 学生分组讨论， 得出 成果汇总， 师生再得 出公式特征 以疑导思，激发学生的 探索欲望，营造一个让 学生主动观察、思考、 讨论的氛围 . 对学生的 思维发展有促进作用。 认知数学的严谨性，。 四、 尝 试 应 用 11mi n 再次呈现生活实例 庄子
12、语录：一尺之捶，日取其半，万世不竭 问 n 天取共取多少？ 【多媒体动画演示】 宰相西萨曾发明了象棋，国王十分高兴, 决定重重的奖赏他。国王说；“无论你说出 什么要求，我都想法满足你。”他回答说； “我想请您在有64 个格子的棋盘的第1 个 给我 1 粒麦子，在第 2 个格子上赐给我2 粒， 第 3 个格子上赐给我4 粒，第 4 个格子上赐 给我 8 粒，第 5格 16 粒 照这样 , 每一格 是前面一格的2 倍, 赐给我满64 格的麦子 , 解决预设问题增强 学习激情， 解决问题 更增强学习信心， 同 时课堂反馈。 三个实例“知三求一” 数学源于生活服务于 生活，对事例的解决， 即解答了学生
13、课前的 疑惑，促进学生的学习 欲望，使得内容更加衔 接紧密。 情景剧是同学们课前 精心准备的， 并拍成了 视频，视频的拍摄培养 了学生的课堂参与积 精品文档 精品文档 臣就心满意足了。 ”那么西萨一共可以得多 少麦子呢？ 【播放情景剧】 （2）话说八戒自西天取经回到高老庄，从高原外 手里接下高老庄集团，摇身变成了CEO 。可是好景 不长，因资金周转不灵而陷入窘境，需要大量资金 投入，于是就找送悟空帮忙。悟空一口答应：“行！ 我每天投资100 万元，连续一个月（30 天） ，但是 有一个条件作为回报，从投资的第一天起必须返还 我 1 元，第二天返还2 元，第三天返还4 元即后 一天返还数是前一天
14、的2 倍。 ”八戒听了，心里打 起了小算盘：“第一天：支出1 元，收入 100 万； 第二天：支出2 元，收入 100 万; 第三天：支出4 元，收入 100 万哇，发财了！ ”他越想越美。再 看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺 负我，会不会又在耍我。 ” 拓展延伸： 微商： 1 人发朋友圈， 3 人转发， 3 人之后又 9 人转 发，那么依次转发到8 次，问共有多少人发了朋友 圈，第 8 次有多少人同时在转发？ 例题 : 若 1 a=15， 4 a=96，求 q 及 4 S， 若 2 1 4, 2 1 1 33 Sa，求 1 a及 q 学生自主完成， 教师 反馈。 极性团队合作，
15、同时更 能直观的体现问题出 处。 本题的设计是初步 对公式的应用。 “知三求一” 的解题思 路。 采用变式教学设计 题组，深化学生对公式 的认识和理解， 通过直 接套用公式、 变式运用 公式、研究公式特点这 三个层次的问题解决， 促进学生新的数学认 知结构的形成 通过以 上形式，让全体学生都 参与教学，以此培养学 生自主学习的意识 解 题时，以学生分析为 主，教师适时给予点 拨。 拓展延伸是对问题的 升华，同时是“知三求 二”的解题演练。 五、 总 结 归 纳 加 深 理 解 3min 引导学生从知识、方法、思想三个方面进行总 结 本环节由学生自主归纳、总结，教师加以补充、 强调 (多媒体演示
16、 ) 学生 ： （1）回顾从特殊到 一般，一般到 特殊的探究方 法 （2）体会等比数列 前n项和公式 的基本元表示 方法、错位相 减的算法。 （3）掌握等比数列 剖析公式中的基本 量及结构特征， 识记公 式， 同时也培养学生分 类讨论的数学思想 精品文档 精品文档 的求和公式及 简单应用 八、 分 层 作 业 强 化 知 识 1min 课后作业 : 1、 “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请 问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？ 2、观看讨论群中有几何画板绘制的等比数列公式 和的图像，和函数有着怎么样的关联。 自主完成作业作业进一步巩固了本节 课知识，拓展了学生数 学视野
17、，而 1 和 2 设计 体现了不同的人在数学 上得到不同的发展的新 课标教学理念 . 板书设计： 六、教学反思 根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下几点反思： （1） 在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1) 公式的探究活动； (2) 公式的应用； (3) 方法的拓展；（ 4）学生课后 的拓展学习根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好. （2） 本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，在富有启 发性的问题下，学生通过积极的思维，完成了对公式的自主探究， 同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法，让学生在错误 中感悟，在争论中抓住问题的本质；在公式的应
18、用后，学生的思维 又得到了进一步的发展和提高 等比数列的前n项和 一、公式的推导 错位相减法 1 1 2 111 n n qaqaqaaS n n qaqaqaqaqS 1 3 1 2 11 )1( 11 )1( ) 1( 1 1 1 q q qaa q qa qna S n n n （主板书） 学生小组评分： 学生板演 生活实例 精品文档 精品文档 （3） 本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课程的理念 （4） 本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学 生学习、解决问题的强有力工具，使学生乐意投入其中. （5） 在推导等比数列前n项公式过程中，大多数学生忽略了对q=1的讨 论，这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强. 本 节课实例的讲解是数学建模的引入。