二元一次方程组复习学案(经典全面).pdf

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1、1 / 12 二元一次方程组复习学案 一、等式、方程 1等式性质 等式两边加 (或减 )同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 等式两边乘 (或除以 )同一个数 (除数不能是0)，所得结果仍是等式 2方程 (1)含有未知数的等式叫做方程 (2)方程的解 ：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解 (3)解方程：求方程解的过程叫做解方程 二、一元一次方程 1只含有 _未知数，并且未知数的最高次数都是_，系数不等于零的_方程叫 做一元一次方程，其标准形式为_，其解为x_. 2解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母； (2)_； (3)移项； (4)_；(5) 未知数的系数化为1. 三、二元

2、一次方程组的有关概念 1二元一次方程 (1)概念：含有 _未知数，并且未知数的项的次数都是_，这样的整式方程叫做二元 一次方程 (2)一般形式： axbyc(a 0，b 0) (3)使二元一次方程两边的值_的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 (4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解由这些解组成的集合，叫做这个二元一 次方程的解集 2二元一次方程组 (1)概念：具有相同未知数的_二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 (2)一般形式： 222 111 cybxa cybxa (a1，a2，b1，b2均不为零) (3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的_，叫

3、做二元一次 方程组的解 四、二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的基本思想是_，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方 法有 _消元法和 _消元法 1用代入消元法-不要漏掉括号 (1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或 y)的代数式表示出y(或 x)，即变成yaxb(或 xayb)的形式； (2)将 y axb(或 xayb)代入另一个方程， 消去 y(或 x)， 得到关于x(或y)的一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值； (4)把x(或y)的值代入yaxb(或 xayb)中，求 y(或 x)的值 2用加减消元法-不要漏乘 (1)在二元一次方

4、程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或 相加 )，消去一个未知数； (2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其 中一个未知数的系数相同(或互为相反数 )，再把方程两边分别相减(或相加 )，消去一个未 知数； (3)解这个一元一次方程； (4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数 2 / 12 考点一 ：二元一次方程概念与解法 例 1已知 1 2 y x 是二元一次方程组 1 8 mynx nymx 的解，则2mn= . 例 2小明和小佳同时解方程组 132 5 nyx ymx ，

5、小明看错了m，解得 2 2 7 y x ，小华看错 了 n，解得 7 3 y x ，你能知道原方程组正确的解吗？ 总结分析：灵活学会“方程解”概念解题. 【巩固】 已知方程组 4 652 byax yx 和方程组 8 1653 aybx yx 的解相同， 求 2017 )2(ba的值 . 【变式】 已知关于x，y 的二元一次方程组 fbyex cbyax 的解为 1 3 y x ，你能求得关于x，y 的二元一次方程组 fyxbyxe cyxbyxa )()( )()( 的解吗？ 剖析总结：灵活学会“方程解”概念解题，利用解相同，可以将方程重新组合， 换位联立；在解题过程中，常常运用类比的思想【

6、巩固2】. 3 / 12 考点二：解决实际问题 列方程 (组)解应用题的一般步骤 1、审：有什么，求什么，干什么； 2、设：设未知数，并注意单位 ； 3、找：等量关系； 4、列：用数学语言表达出来； 5、解：解方程 (组 )； 6、验：检验方程 (组)的解是否符合 实际 题意 7、答：完整写出答案(包括 单位 ) 列方程组思想： 找出相等关系“未知”转化为“已知”. 有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足： (1) 方程两边表示的是同类量；(2) 同类量的单位要统一；(3) 方程两边的数值要相等. 列二元一次方程 -解决实际问题 类型： （1）行程问题：（2）工程问题 ;（3）销售中的盈

7、亏问题;（ 4）储蓄问题 ;（5）产品配 套问题 ;（6）增长率问题 ;（7）和差倍分问题;（8）数字问题 ; （9）浓度问题 ; （10）几何 问题 ; （ 11）年龄问题 ;（12）优化方案问题. 一、 行程问题 （1）三个基本量的关系： 路程 s=速度 v时间 t 时间 t路程 s速度 V 速度 V路程 s时间 t （2）三大类型： 相遇问题： 快行距慢行距原距 追及问题： 快行距慢行距原距， 航行问题： 顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 顺速逆速= 2 水速；顺速+ 逆速= 2 船速 顺水的路程= 逆水的路程 4 / 12 甲、乙两

8、地相距160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小 时 20 分相遇 . 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返回， 在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 总结升华： 根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程 问题的常用的解决策略。 【变式 】两地相距280 千米，一艘船在其间航行，顺流用14 小时，逆流用20 小时，求船在 静水中的速度和水流速度. 【变式 】 学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以 60km/h 的速度走平路， 后又以 30km/h 的速度爬坡，共用了6.5

9、h ；原路返回时，汽车以40km/h 的速度下坡，又以50km/h 的速度 走平路，共用了6h，则平路和坡路分别多远？ 二、 工程问题 三个基本量的关系： 工作总量工作时间工作效率； 工作时间工作总量工作效率； 工作效率工作总量工作时间 甲的工作量乙的工作量甲乙合作的工作总量， 注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1 ”. 5 / 12 一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费 用共 3520 元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可完成， 需付两组费用共3480 元，问： (1) 甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2) 已知甲

10、组单独做需12 天完成， 乙组单独做需24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 总结升华： 工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地， 将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图 或列表法进行分析。 【变式】 小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱5.2 万元； 若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需9 周完成，需工钱4.8 万元 . 若只选一 个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 三：商品销售利润问题 利润问题：利润=售价 进价 = 进价利润

11、率， 利润率 =（售价 进价）进价100%= 利润进价 100% 有甲、 乙两件商品， 甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46 元. 价格调整后，甲商品的利润率为4% ，乙商品的利润率为5% ，共可获利44 元，则两件商品的 进价分别是多少元？ 6 / 12 【变式 】某商场用36 万元购进A 、B两种商品，销售完后共获利6 万元， 其进价和售价如下 表： AB 进价（元 / 件）12001000 售价（元 / 件）13801200 求该商场购进A、B两种商品各多少件； 四、银行储蓄问题 银行利率问题：免税利息=本金利率时间， 税后利息 =本金利率时间本金利率时间税率 4 小

12、明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000 元钱，一种是年利率为2.25 的教育储蓄，另一种是年利率为2.25 的一年定期存款，一 年后可取出2042.75 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20% ，教 育储蓄没有利息所得税） 总结升华 :我们在解一些涉及到行程、收入、支出、 增长率等的实际问题时，有时候不容易 找出其等量关系， 这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相 等关系随之浮现出来. 【变式 】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000 元钱 . 第一种，一年期整存整取，共反复存了3

13、次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息 2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元(不计利息税 )，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？ 7 / 12 五、生产中的配套问题 产品配套问题：加工总量成比例 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣 袖 5 只. 现计划用132 米这种布料生产这批秋装( 不考虑布料的损耗) ， 应分别用多少布料才 能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 总结升华： 生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿 的配套、衣身与衣袖的配套等.

14、各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们 之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决， 确定等量关系是解题的关键. 【变式 】一张方桌由1 个桌面、 4 条桌腿组成，如果1 立方米木料可以做桌面50 个，或做 桌腿 300 条. 现有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌 腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？ 六、增长率问题 增长率问题：原量（1 增长率） = 增长后的量 原量（ 1 减少率） = 减少后的量 某工厂去年的利润（总产值 总支出）为200 万元，今年总产值比去年增加了20%， 总支出比去年减少了10%，今年的利

15、润为780 万元， 去年的总产值、 总支出各是多少万元？ （1）若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？ 8 / 12 思考：本问题还有没有其它的设法？ 【变式 2】某城市现有人口42 万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这 样全市人口增加1% ，求这个城市的城镇人口与农村人口. 七、和差倍分问题 和差倍总分问题：较大量=较小量 +多余量，总量=倍数倍量 “爱心”帐篷厂和“温暖” 帐篷厂原计划每周生产帐篷共9 千顶，现某地震灾区急需帐 篷 14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“ 爱心 ” 帐篷厂 和“ 温暖 ” 帐篷厂一周内制作的帐篷

16、数分别达到了原来的1.6 倍、 1.5 倍，恰好按时完成了这 项任务求在赶制帐篷的一周内，“ 爱心 ” 帐篷厂和 “ 温暖 ” 帐篷厂各生产帐篷多少千顶？ 【变式 】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽. 如果每位男孩看 到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1 倍，你知道男孩 与女孩各有多少人吗？ 八：数字问题 首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位 数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后 一个四位数大2178

17、，求这两个两位数. 9 / 12 【变式 】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的 数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？ 【变式 】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个 位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数. 九：浓度问题 溶液浓度 = 溶质 现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是37，乙种酒精溶液的酒精与水 的比是 41，今要得到酒精与水的比为32 的酒精溶液50kg，问甲、 乙两种酒精溶液应各 取多少？ 总结升华 ： 解这类问题常用的相等关系

18、是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。 有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。 【变式】 一种 35%的新农药， 如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农 药加水多少千克，才能配成1.75%的农药 800 千克？ 10 / 12 十、几何问题 必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式 如图，用8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多 少？ 总结升华： 几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认 真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解. 【变式 】用长 48 厘米的铁丝弯成一

19、个矩形，若将此矩形的长边剪掉3 厘米，补到较短边上 去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？ 总结升华 ：解题的关键找两个等量关系，最关键的是本题设的未知数不是该题要求的，本题 要是设正方形的面积比矩形面积大多少，问题就复杂了.设长方形的长和宽，本题就简单多 了，所以列方程解应用题设未知数是关键. 十一、年龄问题 人与人的岁数是同时增长的 今年父亲的年龄是儿子的5 倍， 6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍，求现在父亲和儿子 的年龄各是多少？ 11 / 12 总结升华： 解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一 样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相

20、同的（相同的时间内）. 【变式 1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现， 12 年之后，他的年龄变成爷 爷的三分之一 .试求出今年小李的年龄. 【变式2】 一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才1 岁；你到我这么大时，我已经37 岁了 . ”请问老师、学生今年分别多大了？ 十二、优化方案问题： 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000 元；经粗加工后销售， 每吨利润可达4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500 元. 当地一家农工商公司收获 这种蔬菜140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16 吨

21、；如果进行细加工， 每天可加工6 吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制， 公司必须在15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天完成 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 总结升华： 优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的 12 / 12 具体结果，再进行比较从中选择最优方案. 【变式 】某商场计划拨款9 万元从厂家购进50 台电视机，已知厂家生产三种

22、不同型号的电 视机，出厂价分别为：甲种每台1500 元，乙种每台2100 元，丙种每台2500 元. (1) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进 货方案； (2) 若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150 元、200 元、250 元，在以上的方案中， 为使获利最多，你选择哪种进货方案？ 【变式 】某同学在A、 B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随 身听和书包的单价之和是452 元，且随身听的单价比书包单价的4 倍少 8 元. (1) 该同学看中的随身听和书包的单价各是多少？ (2) 某一天该同学上街，恰好赶上商家促销. 超市 A所有商品打八折销售，超市 B全场购物每 满 100 元就返购物卷30 元（不足100 元不返卷，购物卷全场通用），但他只带了400 元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说出他可以选择哪一家购买吗？ 若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？