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1、实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和 未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所 列方程必须满足： (1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一； (3)方程两边的数 值要相等 . 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1.行程问题： (1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行.这类问题比较 直观，画线段 ,用图便于理解与分析 .其等量关系式是 :两者的行程差开始时两者相距的路 程； (2)相遇问题 :
2、相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行 .这类问题也 比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和 总路程 . (3)航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度； 船在静水中的速度水速船的逆水速度； 顺水速度逆水速度2水速. 注意： 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水 航行问题类似 . 2工程问题： 工作效率工作时间 =工作量 . 3商品销售利润问题： (1)利润售价成本 (进价)；(2)；(3)利润成本（进价） 利润率； (4)标价成本 (进价 ) (1 利润率)；(5)实际售价标价打折率； (5) 注意：
3、 “商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损 .打 几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.（例如八折就是按标价的十分之八即五分之 四或者百分之八十） (6) 4储蓄问题： (7) (1)基本概念 (8) 本金：顾客存入银行的钱叫做本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫做利息. (9) 本息和：本金与利息的和叫做本息和. 期数：存入银行的时间叫做期数. (10) 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率. 利息税：利息的税款叫做利 息税. (11) (2)基本关系式 (12) 利息本金利率期数 (13) 本息和本金利息本金本金利率期数本金 (1 利率期数) (14) 利息税利息
4、利息税率本金利率期数利息税率. (15) 税后利息利息 (1 利息税率) 年利率月利率12 月利率 =年利率 1 12 . 注意： 免税利息 =利息 5配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例. 6增长率问题： 解这类问题的基本等量关系式是：原量(1 增长率)增长后的量； 原量 (1 减少率 )减少后的量 . 7和差倍分问题： 解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数倍量. 8数字问题： 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当 n 为整数时，奇数可表示为2n+1(或 2n-1)，偶数可表示为2n
5、等，有关两位数的基本等量关 系式为：两位数 =十位数字10+个位数字 9浓度问题： 溶液质量浓度 =溶质质量 . 10几何问题： 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算 公式 11年龄问题： 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差 是永远不会变的 12优化方案问题： 在解决问题时，常常需合理安排.需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、 到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案. 注意： 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案 得出最佳方案 . 知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元
6、一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤： 1审题:弄清题意及题目中的数量关系；2设未知数 :可直接设元，也可间接设元； 3找出题目中的等量关系；4列出方程组 :根据题目中能表示全部含义的等量关系列 出方程，并组成方程组；5解所列的方程组，并检验解的正确性；6写出答案 . 要点诠释： (1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求 得 的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； (2) “设”、“答”两步，都要写清单位名称； (3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. (4)列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系；审
7、题时，注意从文字，图表中获得有关信息； 注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组 与解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；在寻找等量 关系时，应注意挖掘隐含的条件；列方程组解应用题一定要注意检验. 类型一：列二元一次方程组解决行程问题 1甲、乙两地相距 160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行， 1 小时 20 分相遇 . 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返 回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨： 画直线型示意图理解题意： (1)这里
8、有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程. (2)有两个等量关系： 相向而行：汽车行驶 1 1 3 小时的路程拖拉机行驶 1 1 3 小时的路程 160千米; 同向而行：汽车行驶 1 2 小时的路程拖拉机行驶 1 1 2 小时的路程 . 解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米. 根据题意，列方程组 4 160, 3 11 1 22 xy xy 解这个方程组，得 : 90, 30 x y 1111 901165,301185 3232 . 答：汽车行驶了 165千米，拖拉机行驶了85千米. 总结升华： 根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系， 是行程问题的常
9、用的解决策略. 【变式 1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2 小时，那么他们在 乙出发 2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2 小时，那么他们在甲出发3 小时后相遇，甲、乙 两人每小时各走多少千米？ 【变式 2】两地相距 280千米，一艘船在其间航行，顺流用14 小时，逆流用 20 小时， 求船在静水中的速度和水流速度. 类型二：列二元一次方程组解决工程问题 2一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付 两组费用共 3520元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可完成，需付两组费 用共 3480 元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店应各
10、付多少元？(2)已知甲组单独做需12 天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 思路点拨： 本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修 组同时施工， 8 天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可完成，需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付x 元，乙组单独做一天商店应付y 元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义 可得方程 6x+12y=3480. 解：(1)设甲组单独做一天商店应付x 元，乙组单独做一天商店应付y 元，依题意得： 解得 答：甲组单独做一天商店应付
11、300元，乙组单独做一天商店应付140元. (2)单独请甲组做， 需付款 300 12 3600元，单独请乙组做， 需付款 24 140 3360 元， 故请乙组单独做费用最少 . 答：请乙组单独做费用最少. 总结升华： 工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一 般地，将工作总量设为1，也可设为 a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用 线段图或列表法进行分析. 【变式】 小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需9 周完成，需工钱4.8万元.若 只选一个公司单独完成，从节约
12、开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说 明理由 . 类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题 3有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利 46 元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利 44 元，则两件 商品的进价分别是多少元？ 思路点拨 ：做此题的关键要知道 ：利润进价利润率 解：甲商品的进价为x 元，乙商品的进价为y 元，由题意得： ，解得： 答：两件商品的进价分别为600元和 400元. 【变式 1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000
13、元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙 两种蔬菜各种植了多少亩？ 【变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品，销售完后共获利6 万元，其进价和售 价如下表： AB 进价（元 / 件）12001000 售价（元 / 件）13801200 （注：获利= 售价 进价）求该商场购进A、B 两种商品各多少件； 类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题 4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了 2000元钱，一种是年利率为2.25的教育储蓄，另一种是年利率为2.25的一年定期存款， 一年后可取出 2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利
14、息金额20%， 教育储蓄没有利息所得税） 思路点拨： 设教育储蓄存了 x 元，一年定期存了 y 元，我们可以根据题意可列出表格： 教育储蓄一年定期合计 现在 一年后2042.75 解：设存一年教育储蓄的钱为x 元，存一年定期存款的钱为y 元，则列方程： ，解得： 答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元. 总结升华 : 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有 时候不容易找出其等量关系， 这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系， 题目中的相等关系随之浮现出来. 【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和 1000元，一年后全部取出，扣除利
15、息 所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%， 问这两种储蓄的年利率各是百 分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额20%） 【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000 元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率 为年息 2.25% ；第二种，三年期整存整取， 这种存款银行年利率为2.70%. 三年后同时取出共 得利息 303.75元(不计利息税 )，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？ 类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题 5某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 米的某种布料可
16、做上衣的衣身3 个或衣袖 5 只. 现计划用 132米这种布料生产这批秋装 (不考虑布料的损耗 )，应分别用多少 布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 思路点拨： 本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米； 第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量 的 2 倍(注意：别把 2 倍的关系写反了 ). 解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意， 得： 答：用 60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套. 总结升华： 生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面 与桌
17、腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数 可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是 解题的关键 . 【变式 1】现有 190张铁皮做盒子，每张铁皮做8 个盒身或 22个盒底，一个盒身与两个 盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批 完整的盒子？ 【变式 2】某工厂有工人 60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天 生产螺栓 14个或螺母 20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的 螺栓和螺母刚好配套 . 【变式 3】一张方桌由 1 个桌面、 4条桌腿组
18、成，如果1 立方米木料可以做桌面50个， 或做桌腿 300条.现有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料 做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？ 类型六：列二元一次方程组解决增长率问题 6. 某工厂去年的利润（总产值总支出）为200万元，今年总产值比去年增 加了 20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为 780万元，去年的总产值、总支出各 是多少万元？ 思路点拨 ：设去年的总产值为x 万元，总支出为 y 万元，则有 总产值 （万元）总支出（万元）利润（万元） 去年xy200 今年120%x90%y780 根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利
19、润 =总产值总支出和表格里的已知量和未知 量，可以列出两个等式 . 解：设去年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，根据题意得： ，解之得： 答：去年的总产值为2000万元，总支出为 1800万元 总结升华： 当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析. 【变式 1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？ 【变式 2】 某城市现有人口 42 万， 估计一年后城镇人口增加0.8%， 农村人口增加 1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口. 类型七：列二元一次方程组解决和差倍分问题 7.（2011 年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂 和“温暖”帐篷厂原计划每
20、周生产帐篷共9 千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决 定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷 厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务求在 赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？ 思路点拨： 找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个， 所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方 程组成的方程组 . 解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x 千顶 , “温暖”帐篷 厂生产帐篷 y 千顶，由题意得： 9, 1.61.514 xy xy ， 解得： 5,
21、4 x y 所以： 1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6 答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8 千顶 , “温暖”帐篷厂生产帐 篷 6 千顶. 【变式 1】 (2011年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小 时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年3 月最后一个星期六20时 30分21时 30分熄灯一小时， 旨在通过一个人人可为的活动，让 全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活中国内地去年和今年共有119 个城市参 加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3 倍少 13个，问中国内地去年、今年 分别有多少个城市参加了此项活动 【变式 2】
22、游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩 戴红色游泳帽 .如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳 帽比红色的多 1 倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？ 类型八：列二元一次方程组解决数字问题 8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个 四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位 数比后一个四位数大2178，求这两个两位数 . 思路点拨 ：设较大的两位数为x，较小的两位数为y. 问题 1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100xy 问题 2：在较大数的左边写上较小的数，所写
23、的数可表示为：100yx 解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.依题意可得： ，解得： 答：这两个两位数分别为45，23. 【变式 1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3 倍，结果是 23；这个两位数除以 它的各位数字之和，商是5，余数是 1，这个两位数是多少？ 【变式 2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字 与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两 位数？ 【变式 3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数 字减 1，个位数字加 1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数 .
24、类型九：列二元一次方程组解决浓度问题 9现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3 7，乙种酒精溶 液的酒精与水的比是4 1，今要得到酒精与水的比为32的酒精溶液 50kg，问甲、乙两 种酒精溶液应各取多少？ 思路点拨： 本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方 程组解决， 题中有以下几个相等关系： （1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和50； （2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合 前两种溶液所含水的质量之和混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒 精之和与水之和的比混合后溶液所含纯酒精与水的比. 解：法一：设
25、甲、乙两种酒精溶液分别取x kg , ykg.依题意得： ， 答：甲取 20kg，乙取 30kg 法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10x kg和 5y kg， 则甲种酒精溶液含水7x kg，乙种酒精溶液含水y kg，根据题意得： ， 所以 10x=20,5y=30. 答：甲取 20kg，乙取 30kg 总结升华 ：此题的第（ 1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关 系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等.用它 们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了.列方程组解应用题，首先要设未知 数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什
26、么就设什么.有时候需要设间 接未知数，有时候需要设辅助未知数. 举一反三： 【变式 1】要配浓度是 45%的盐水 12千克，现有 10%的盐水与 85%的盐水，这两 种盐水各需多少？ 【变式 2】一种 35%的新农药，如稀释到1.75% 时，治虫最有效 .用多少千克浓度为 35%的农药加水多少千克，才能配成1.75% 的农药 800千克？ 类型十：列二元一次方程组解决几何问题 10如图，用 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长 和宽分别是多少？ 思路点拨 ：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着 矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，
27、宽为 y，就可以列出关于 x、 y 的二元一次方程组 . 解：设长方形地砖的长xcm,宽 ycm，由题意得： ， 答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为 15cm. 总结升华： 几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题 时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解. 举一反三： 【变式 1】用长 48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3 厘米，补 到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？ 【变式 2】一块矩形草坪的长比宽的2 倍多 10m，它的周长是 132m，则长和宽分别为 多少？ 类型十一：列二元一次方程组解决
28、年龄问题 11今年父亲的年龄是儿子的5 倍，6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍，求现 在父亲和儿子的年龄各是多少？ 思路点拨：解本题的关键是理解“6 年后”这几个字的含义， 即 6年后父子俩都长 了 6 岁.今年父亲的年龄是儿子的5 倍，6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍，根据这两个相等 关系列方程 . 解：设现在父亲 x 岁，儿子 y岁，根据题意得： ， 答：父亲现在 30岁，儿子 6 岁. 总结升华： 解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了， 其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）. 【变式 1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现
29、， 12年之后，他的年 龄变成爷爷的三分之一 .试求出今年小李的年龄 . 类型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题： 12某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加 工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工 商公司收获这种蔬菜140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天 可以加工 16 吨；如果进行细加工，每天可加工6 吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季 节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三 种加工方案 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可
30、能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 思路点拨： 如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 本题正 是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相 交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣. 解：方案一获利为：4500 140=630000(元). 方案二获利为：7500 (6 15)+1000 (140 6 15)=675000+50000=725000(元). 方案三获利如
31、下： 设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得： ，解得： 所以方案三获利为：7500 60+4500 80=810000(元). 因为 630000 725000 810000 ，所以选择方案三获利最多 答：方案三获利最多，最多为810000元. 总结升华： 优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出 每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案. 举一反三： 【变式】某商场计划拨款 9 万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同 型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台 2100元，丙种每台 2500元. (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去 9 万元，请你研究一下 商场的进货方案； (2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上 的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？