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1、10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 a b c d ac bd ； a b c d a b d c ad bc 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 （1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： 取各分母系数的最小公倍数； 凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则 a c b c ab c （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则 () a
2、b a b n n n （ n 为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有 重要应用。学习时应注意以下几个问题： （1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关； （2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算 【分类解析】 例 1：计算 xx xx xx xx 2 2 2 2 2 6 6 2 的结果是（） A. x x 1 3 B. x x 1 9 C. x x 2 2 1 9 D. x x 2 2
3、1 3 分析： 原式 ()() ()() ()() ()() xx xx xx xx 21 32 32 21 ()() ()() ()() ()() ()() ()() xx xx xx xx xx xx x x 21 32 21 32 11 33 1 9 2 2 故选 C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。 例 2：已知abc1，求 a aba b bcb c acc111 的值。 分析： 若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc替换待求式中的“1” ，将三个分式化 成同分母，运算就简单了。 解： 原式 a aba ab abcaba abc abcabcab1 a aba ab aba
4、 abc aab aab aba 111 1 1 1 例 3：已知：250mn，求下式的值： ()()11 n m m mn n m m mn 分析： 本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分 子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一 个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解：()()11 n m m mn n m m mn m mnn mnm m mn m mnn mnm m mn n m mn m mn n mn mn ()() () ()() () () () 250 5 2 mnmn 故原式
5、 5 2 5 2 nn nn 7 2 3 2 7 3 nn 例 4：已知 a、b、c 为实数，且 ab ab bc bc ca ca 1 3 1 4 1 5 ，那么 abc abbcca 的值是多少？ 分析： 已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。 解： 由已知条件得： 11 3 11 4 11 5 abbcca ， 所以2 111 12() abc 即 111 6 abc 又因为 abbcca abccba 111 6 所以 abc abbcca 1 6 例 5：化简：() x x x x x x 322 1 2 1 2 4 1 解一： 原式 ()()()()
6、()() ()()xxxx xx xx x 32 1212 22 22 1 xxx x xxxx x xxxxxxxx x xxxxxx x xxx 432 4232 22 322 32 324 1 311 1 1131111 1 13331 1 244 ()()() ()()()()()() ()() 解二： 原式 ()()()()()()()()xxx x xx x xx x xx x 11 2 22 1 11 2 22 1 2 ()()()()xxxxx xxxxxxx xxx 2 3222 32 1212 22232 244 说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中
7、分子是一个四次多 项式， 而它的分解需要拆、添项，比较麻烦； 解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。 因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。 例 1、计算： 1 244 22 22 nm mn mn mmnn 解： 原式1 2 2 2 mn mn mn mnmn () ()() 1 2 2 3 mn mn mnmn mn n mn 说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。 例 2、 已知： M xy xyy xy xy xy 22 2 22 2 ，则M_。 解： 2 2 22 xyy xy xy xy 22 222 22 2 2222 xyyxxy
8、y xy x xy M xy Mx 2 说明：分式加减运算后， 等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。 中考点拨： 例 1：计算： ()() () 1111 22 abababab 解一： 原式 ()() () ()()() abab abab abab abab 22 22 4 2 2 2 22 22 ab abab ab ab b a ab ab a ab () () ()() ()() 解二： 原式()()() 111111 abababababab 11 2 22 abab abab abab a ab()() 说明： 在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简
9、化解题过程。此题两种方 法的繁简程度一目了然。 例 2：若abab 22 3，则()()1 2 1 2 3 33 b ab b ab 的值等于（） A. 1 2 B. 0 C. 1D. 2 3 解： 原式 abb ab abb ab 333 33 22 ab ab ab ab abaabb abaabb ab ab aabb aabb abab abab ab ab 33 33 22 22 22 22 3 3 2 4 1 2 ()() ()() 故选 A 【实战模拟】 1. 已知：abab25，则 a b b a 的值等于（） A. 2 5 B. 14 5 C. 19 5 D. 24 5 2.
10、 已知xx 2 1610，求x x 3 3 1 的值。 3. 计算： 1 32 1 56 1 712 1 920 2222 xxxxxxxx 4. 若AB 99991 99991 99991 99991 1111 2222 2222 3333 ，试比较A 与 B 的大小。 5. 已知：abcabc08，求证： 111 0 abc 。 【试题答案】 1. 解： a b b a ab ab 22 abab ababab a b b a 25 214 14 5 14 5 222 ， () 故选 B 2. 解：xx 2 1610 xxxxxx 222 161116161， 1 11111616 3 3
11、 6 3 242 3 422 3 x x x x xxx x x xxxx x ()()() 16216 162 16 16 1612 16 16 3 1616 42 2 2 2 () () ()() xxx x x x x x x x 16 3 161 16 3 1616 16259 4144 2 () x x x x 说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。 3. 解： 原式 1 12 1 23 1 34 1 45()()()()()()()()xxxxxxxx 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 1 1 5 4 65 2 xxxxxxx
12、x xx xx 说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。 4. 解： 设a9999 1111 ，则A a a B a a 1 1 1 1 2 2 3 ， AB a a a a aaaaa aa 1 1 1 1 121 11 2 2 3 4342 23 ()() a a aa () ()() 1 11 0 2 23 AB 5. 证明：abc0 ()abc 2 0，即abcabbcac 222 2220 abbcacabc 1 2 222 () 又 1111 16 222 abc bcacab abc abc() abc8 abc、 、均不为零 abc abc 222 0 111 0