内蒙古赤峰市宁城县2020届高三数学一模试卷(理科)版含解析.pdf

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1、一、选择题（每小题5 分，共 12 小题，满分 60 分） 1已知集合 A= x| x3 或 x1 ，B=x| x26x+80 ，则（ ?RA）B=（） A （1，3） B （1，4） C （2，3） D （2，4） 2圆 O1：x 2+y22x=0和圆 O 2：x 2+y24y=0的位置关系是（ ） A相离B相交C外切D内切 3函数 f（x）的定义域为 R ，“f（x）是奇函数 ” 是“ 存在 xR，f（x）+f（x） =0” 的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 4已知 z1与 z2是共轭虚数，有4 个命题 z12| z2| 2； z 1z2=

2、| z1z2| ；z1+z2 R ；R，一定正确的是（） ABCD 5某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红 灯的概率为 0.5，两次闭合后都出现红灯的概率为0.2，则在第一次闭合后出现红 灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（） A0.1 B0.2 C 0.4 D0.5 6在 的展开式中，含 x7的项的系数是（） A60 B160 C 180 D240 7秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的 数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法， 如 图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 x

3、 的 值为 2，则输出 v的值为（） A2101 B210C3101 D310 8若两个非零向量， 满足|+ | =| | =2| ，则向量+ 与 的夹角是 （） ABC D 9设函数 f（x）=sin（x + ） （ 0）的图象关于直线x=1 和 x=2对称，则 f （0）的取值集合是（） A 1，1， B1， C 1，1， D 1， 1， 2，2 10设 F1、F2是双曲线 C的两个焦点，若曲线C上存在一点 P 与 F1关于曲线 C 的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率是（） ABC 2 D 11如图，正方体 ABCD A1B1C1D1绕其体对角线 BD1旋转 之后与其自身重合， 则 的值

4、可以是（） A B C D 12已知 f（x）=，若函数 f（x）有 5 个零点，则实数a 的取值 范围是（） A （，）B （， e） C （e，+）D （，+） 二、填空题（每小题5 分，共 4 小题，满分 20分） 13某地区举行高中数学竞赛，全体参赛学生的比赛成绩 近似服从正态分布N （80， 2） ， （ 0） ，参赛学生共 500 名若 在（70，90）内的取值概率为 0.80， 那么 90 分以上（含 90 分）的学生人数为 14已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为 15已知实数 x，y 满足，且 z=的最大值为 16已知 a，b，c 分别是 ABC的内角

5、 A，B，C的对边， BC边上的高为，则 的最大值为 三、解答题（共5 小题，满分 60 分） 17已知数列 an是首项为 1 的单调递增的等比数列，且满足a3，a4，a5成等 差数列 （）求 an 的通项公式； （）设数列 的前 n 项和 Sn，求证： Sn3 18已知长方体 AC1中，AD=AB=2 ，AA1=1，E为 D1C1的中点，如图所示 （1）在所给图中画出平面ABD1与平面 B1EC的交线（不必说明理由） ； （2）证明： BD1平面 B1EC ； （3）求平面 ABD1与平面 B1EC所成锐二面角的余弦值 19微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国， 甚至涌现

6、 出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调查每天微信用户 使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩微信超过6 小时的用户为 “A组” ，否则为 “B组” ，调查结果如下： A 组B组合计 男性262450 女性302050 合计5644100 （）根据以上数据，能否有60%的把握认为 “A组” 用户与 “ 性别” 有关？ （）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1 份，求 所抽取 5 人中“A组” 和“B组” 的人数； （）从（）中抽取的5 人中再随机抽取 3 人赠送 200 元的护肤品套装，记这3 人中在 “A组

7、” 的人数为 X，试求 X 的分布 列与数学期望 参考公式：K 2= ，其中n=a+b+c+d为样本容量 参考数据： P（K 2k 0） 0.500.400.250.050.0250.010 k00.4550.7081.3233.8415.0246.635 20已知椭圆 E的方程是+=1，左、右焦点分别是 F1、F2，在椭圆 E上有一 动点 A，过 A、F1作一个平行四边形，使顶点A、B、C 、D 都在椭圆 E上，如图 所示 （） 判断四边形 ABCD能否为菱形，并说明理由 （） 当四边形 ABCD的面积取到最大值时， 判断四边形 ABCD的形状，并求出 其最大值 21已知函数 f （x）=a

8、lnx+x 2ax （a 为常数） （）试讨论 f （x）的单调性； （）若 f （x）有两个极值点分别为x1，x2不等式 f （x1）+f （x2） （x1+x2） 恒成立，求 的最小值 四、选做题请考生在22，23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分 .作答时用 2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.选修 4-4：坐标系与参 数方程 22已知曲线 C1的参数方程为：（为参数） ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为： =4sin （ +） ， 直线 l 的极坐标方程为 = （1）求曲线 C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程； （2

9、）若曲线 C1和曲线 C2与直线 l 分别交于非坐标原点的A，B 两点，求 | AB| 的 值 选修 4-5：不等式选讲 23已知实数 a，b，c均大于 0 （1）求证： +a+b+c； （2）若 a+b+c=1，求证：1 2017 年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题5 分，共 12 小题，满分 60 分） 1已知集合 A= x| x3 或 x1 ，B=x| x 26x+80 ，则（ ? RA）B=（） A （1，3） B （1，4） C （2，3） D （2，4） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 解不等式求出集合 B，根据补集与交

10、集的定义写出（?RA）B 【解答】 解：集合 A=x| x3 或 x1 ， B=x| x26x+80 =x| 2x4 ， 则?RA= x| 1x3， 所以（ ?RA）B= x| 2x3 =（2，3） 故选： C 2圆 O1：x2+y22x=0和圆 O2：x2+y24y=0的位置关系是（） A相离B相交C外切D内切 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可 【解答】 解：圆 O1：x2 +y 22x=0，即（ x1）2 +y 2=1，圆心是 O 1（1，0） ，半径 是 r 1=1 圆 O2：x2+y24y=0，即 x2+（y2）2=4，

11、圆心是 O2（0，2） ，半径是 r2=2 | O1O2| =，故| r1r2| | O1O2| | r1+r2| 两圆的位置关系是相交 故选 B 3函数 f（x）的定义域为 R ，“f（x）是奇函数 ” 是“ 存在 xR，f（x）+f（x） =0” 的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】由“f（x）是奇函数 ” ? “ 存在 xR，f（x）+f（x）=0” ，反之不成立即 可判断出结论 【解答】 解：由 “f（x）是奇函数 ” ? “ 存在 xR，f（x）+f（x）=0” ，反之不成 立 “f

12、（x）是奇函数 ” 是“ 存在 xR，f（x）+f（x）=0” 的充分不必要条件 故选： A 4已知 z1与 z2是共轭虚数，有4 个命题 z12| z2| 2； z 1z2=| z1z2| ；z1+z2 R ；R，一定正确的是（） ABCD 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 z1与 z2是共轭虚数，设 z1=a+bi（a，bR） ，z2=abi利用复数的运算 性质及其有关概念即可得出 【解答】 解：z1与 z2是共轭虚数，设 z1=a+bi，z2=abi（a，bR） 命题 z12| z2| 2； =a 2 b 2+2abi，复数不能比较大小，因此不正确； z 1z2=| z1z2

13、| =a 2 +b 2，正确； z 1 +z 2=2aR，正确； =+i 不一定是实数，因此不一定正确 故选： B 5某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红 灯的概率为 0.5，两次闭合后都出现红灯的概率为0.2，则在第一次闭合后出现红 灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（） A0.1 B0.2 C 0.4 D0.5 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 设 A 表示“ 开关第一次闭合后出现红灯” ，B 表示“ 开关第二次闭合后出 现红灯 ” ，则 P （A）=0.5，P（AB）=0.2，由此利用条件概率计算公式能求出在第 一次闭合后出现红灯的条件下第二

14、次闭合后出现红灯的概率 【解答】 解：设 A 表示“ 开关第一次闭合后出现红灯” ，B 表示“ 开关第二次闭合 后出现红灯 ” ， 开关第一次闭合后出现红灯的概率为0.5，两次闭合后都出现红灯的概率为 0.2， P（A）=0.5，P（AB）=0.2， 在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率： P（B| A）=0.4 故选： C 6在 的展开式中，含 x7的项的系数是（） A60 B160 C 180 D240 【考点】 二项式系数的性质 【分析】利用展开式的通项公式，令展开式中x 的指数为 7，求出 r 的值，即可计算对应项的系数 【解答】 解：在的展开式中， 通项公式为 T

15、r+1=?（2x2）6 r? =?26 r?（1）r? ， 令 12=7，解得 r=2， 所以含 x7项的系数是?24?（1）2=240 故选： D 7秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的 数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法， 如 图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 x 的 值为 2，则输出 v的值为（） A2101 B210C3101 D310 【考点】 程序框图 【分析】根据已知的程序框图可得， 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】 解：输入的

16、 x=2，v=1，k=1，满足进行循环的条件， v=2+C101， k=2，满足进行循环的条件，v=2 2+2C 10 1+C 10 2， v=2 10 +2 9C 10 1+ +C 10 10=310， 故输出的 v 值为： 310， 故选 D 8若两个非零向量， 满足|+ | =| | =2| ，则向量+ 与 的夹角是 （） ABC D 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数 量积公式求出两向量的夹角 【解答】 解：依题意， |+ | =| | =2| = ，=3， cos ， = = ， 所以向量与的夹角是， 故选 C

17、9设函数 f（x）=sin（x + ） （ 0）的图象关于直线x=1 和 x=2对称，则 f （0）的取值集合是（） A 1，1， B1， C 1，1， D 1， 1， 2，2 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由题意图象关于直线x=1 和 x=2对称，可得周期T=6或 T=3对其讨 论可得答案 【解答】 解：函数 f（x）=sin（ x+ ） （ 0）的图象关于直线x=1 和 x=2对 称， x +=， （kZ） 当 x=0时，=， 那么： f（0）=sin = 1 当直线 x=1 和 x=2是相邻对称轴，那么：周期T=6函数 f（x）=sin（x+ ） 若 x=1 过图象最低点时，则x=

18、2过图象最高点，那么= 若 x=1 过图象最高点时，则x=2过图象最低点，那么= f（0）=sin = 或 则 f（0）的取值集合为 1， 故选： C 10设 F1 、F 2是双曲线 C的两个焦点，若曲线 C上存在一点 P 与 F1关于曲线 C 的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率是（） ABC 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 F（c，0） ，渐近线方程为y=x，对称点为 F（m，n） ，运用中点 坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1，求出对称点的坐标，代入双曲 线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：设 F（c，0） ，渐近线方程为y= x， 对称点为

19、F（m，n） ， 即有=， 且?n=?， 解得： m=，n= ， 将 F（，） ，即（，） ， 代入双曲线的方程可得=1， 化简可得4=1，即有 e2=5， 解得 e= 故选 D 11如图，正方体 ABCD A1B1C1D1绕其体对角线 BD1旋转 之后与其自身重合， 则 的值可以是（） A B C D 【考点】 棱柱的结构特征 【分析】 由正方体的特点，对角线BD1垂直于平面 AB1C，且三角形 AB1C为等边 三角形得答案 【解答】 解：如图， 正方体 ABCD A1B1C1D1中，对角线 BD1垂直于平面 AB1C，且三角形 AB1C为等边 三角形， 正方体绕对角线旋转120 能与原正方

20、体重合 故选： C 12已知 f（x）=，若函数 f（x）有 5 个零点，则实数a 的取值 范围是（） A （，）B （， e）C （e，+）D （，+） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 先判断函数为偶函数，则要求函数f（x）有 5 个零点，只要求出当x 0 时，f（x）有 2 个零点即可，分别 y=e x 与 y=ax 的图象，利用导数的几何意义 即可求出 【解答】 解： f（x）=f（x） ， 函数 f（x）为偶函数， 当 x=0，f（x）=0 时， 要求函数 f（x）有 5 个零点， 只要求出当 x0 时，f（x）有 2 个零点即可， 分别 y=e x 与 y=ax的图象，如图所示，

21、 设直线 y=ax 与 y=e x 相切， 切点为（ x0，y0） ， y=e x， k=， x0=1 a=e， 当 x0 时，f（x）有 2 个零点即可 ae， ae， 故选： B 二、填空题（每小题5 分，共 4 小题，满分 20分） 13某地区举行高中数学竞赛，全体参赛学生的比赛成绩 近似服从正态分布N （80， 2） ， （ 0） ，参赛学生共 500 名若 在（70，90）内的取值概率为 0.80， 那么 90 分以上（含 90 分）的学生人数为50 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据比赛成绩近似服从正态分布N（80， 2） ， （ 0） ，得到成绩 关于

22、 =80 对称，根据 在（70，90）内的取值概率为0.80，得到 90分以上（含 90 分）的概率为 0.1，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数 【解答】 解：比赛成绩 近似服从正态分布N（80， 2） ， （ 0） ， 比赛成绩 关于 =80 对称， 在（70，90）内的取值概率为0.80， 90分以上（含 90 分）的概率为 0.1， 90分以上（含 90 分）的人数为 0.1500=50 故答案为： 50 14已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等边三角形， 一条侧棱垂直底

23、面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，然后求其体积 【解答】解：由已知中的三视图可得： 该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 底面为等边三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点， 故底面外接圆半径r=2， 球心到底面的距离d=2， 故球半径 R=2， 故球的体积 V=， 故答案为： 15已知实数 x，y 满足，且 z=的最大值为 【考点】 简单线性规划 【分析】由约束条件作出可行域， 再由 z=的几何意义， 即向量与向量 夹角的余弦值的倍求解 【解答】 解：由约束条件作出可行域如图， 设 A（2，1） ，可行域内的动点P（x，y） ， 则 cos = z= 其几何意义为向量与向量夹角的余弦值的倍

24、， 当 P与 A 重合时， z=有最大值为 故答案为： 16已知 a，b，c 分别是 ABC的内角 A，B，C的对边， BC边上的高为，则 的最大值为 【考点】 正弦定理 【分析】由已知及余弦定理可求：（） 2= （ ） 2+1 ，进而可求当 cosC=0 时，取最大值，求得C为直角，利用勾股定理即可计算得解 【解答】 解：由题意知 c2=a 2 +b 22abcosC ， 两边同时除以 b2，可得： （ ）2 =（ ） 2+1 ， 由于 a，b，c 都为正数， 可得：当 cosC=0时，取最大值 由于 C（0， ） ，可得： C=， 即当 BC边上的高与 b 重合时取得最大值， 此时三角形为

25、直角三角形， c2=a 2+ （ ） 2， 解得：= 故答案为： 三、解答题（共5 小题，满分 60 分） 17已知数列 an是首项为 1 的单调递增的等比数列，且满足a3，a4 ，a 5成等 差数列 （）求 an 的通项公式； （）设数列 的前 n 项和 Sn，求证： Sn3 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和 【分析】 （1）由已知列关于公比 q 的方程组，求解得到q 值，则等比数列的通项 公式可求； （2）把an的通项公式代入数列 ，利用错位相减法求其和，可得Sn3 【解答】 （1）解：由，得， 而 q0，得 3q210q+3=0，解得 q=或 q=3 数列

26、an 是首项为 1 的单调递增的等比数列， q=3，则； （2）证明：由， ， ， 得：=， 得3 S n3 18已知长方体 AC1中，AD=AB=2 ，AA1=1，E为 D1C1的中点，如图所示 （1）在所给图中画出平面ABD1与平面 B1EC的交线（不必说明理由） ； （2）证明： BD1平面 B1 EC ； （3）求平面 ABD1与平面 B1EC所成锐二面角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （1）连结 BC1，交 B1C于 M，直线 ME 即为平面 ABD1与平面 B1EC的交 线 （2）推导出 EMBD1，由此能证明 BD1平面 B1EC （3）

27、平面 B1EC上点 B1作 BC1的垂线，交 BC1于 F，过点 F 作直线 EM 的垂线， 交 EM 于 N，连结 B1N，由三垂线定理知B1NEM，B1NF就是平面 ABD 1与平 面 B1EC所成锐二面角的平面角，由此能求出平面ABD1与平面 B1EC所成锐二面 角的余弦值 【解答】 解： （1）连结 BC1，交 B1C于 M 则直线 ME 即为平面 ABD1与平面 B1EC的交线， 如图所示 证明： （2）由（ 1）在长方体 AC1中，M 为 BC1的中点， 又 E为 D1C1的中点， 在 D1C1B 中 EM 是中位线， EMBD1， 又 EM? 平面 B1EC ，BD1?平面 B1

28、EC ， BD1平面 B1EC 解： （3）在长方体 AC1中，AD1BC1， 平面 ABD1即是平面 ABC1D1， 过平面 B1EC上点 B1作 BC1的垂线，交 BC1于 F，如图， 在长方体 AC1中，AB平面 B1BCC 1，B1FAB， BC1AB=B ，B1F平面 ABD 1于 F， 过点 F作直线 EM 的垂线，交 EM 于 N，如图， 连结 B1N，由三垂线定理知 B1NEM， 由二面角的平面角定义知，在RtB1FN 中， B1NF 就是平面 ABD1与平面 B1EC 所成锐二面角的平面角， 长方体 AC1中，AD=AB=2 ，AA1=1， 在平面图中， B1F=， FM=，

29、C1M=，C1E=1， 在平面图中， 由EMC1FMN1，得 FN=， tan=2， cos 平面 ABD 1与平面 B1EC所成锐二面角的余弦值为 19微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国， 甚至涌现 出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调查每天微信用户 使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩微信超过6 小时的用户为 “A组” ，否则为 “B组” ，调查结果如下： A 组 B组 合计 男性262450 女性302050 合计5644100 （）根据以上数据，能否有60%的把握认为 “A组” 用户与 “ 性别”

30、 有关？ （）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1 份，求 所抽取 5人中“A组” 和“B组”的人数； （）从（）中抽取的 5人中再随机抽取 3 人赠送 200 元的护肤品套装，记这3 人中在 “A组” 的人数为 X，试求 X 的分布 列与数学期望 参考公式： K 2= ，其中 n=a+b+c+d 为样本容量 参考数据： P（K 2k 0） 0.500.400.250.050.0250.010 k00.4550.7081.3233.8415.0246.635 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （1）由 22 列联表，计算 K2，对照临界值表得出结论； （2）根据分层抽

31、样比例求出所抽取的5 位女性中， A 组、B组应抽取的人数； （3）X的所有可能取值为 1，2，3，计算对应的概率，写出分布列和数学期望 【解答】 解： （1）由 22 列联表可得 K 2= =0.6490.708； 没有 60%的把握认为 “A组” 用户与 “ 性别” 有关； （2）由题意得，所抽取的5 位女性中， “A组” 有 5=3 人， “B组” 有 5=2 人； （3）X的所有可能取值为 1，2，3， 则 P（X=1）= ， P（X=2）=， P（X=3）=， 所有 X的分布列为： X123 P 其数学期望为 EX=1 +2+3= 20已知椭圆 E的方程是+=1，左、右焦点分别是 F

32、1、F2，在椭圆 E上有一 动点 A，过 A、F1作一个平行四边形，使顶点A、B、C 、D 都在椭圆 E上，如图 所示 （） 判断四边形 ABCD能否为菱形，并说明理由 （） 当四边形 ABCD的面积取到最大值时， 判断四边形 ABCD的形状，并求出 其最大值 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （）设直线方程，代入椭圆方程，若四边形ABCD 能否为菱形，则 OAOB，由向量数量积的坐标运算，整理可知=0，方程无实数解，故 四边形 ABCD不能是菱形； （）由三角形的面积公式SABCD=2丨 OF1丨丨 y1y2丨=2， 利用韦达定理，及向量数量积的坐标运算，函数的单调性即可求得ABCD

33、的面积 取到最大值及 m 的值 【解答】 解： （）由椭圆方程： +=1，F1（1，0） ， 如图，直线 AB的斜率存在且不为0， 设直线 AB的方程为 x=my1，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立方程， 得（3m2+4）y26my9=0， y 1 +y 2 = ，y 1y2 = 若四边形 ABCD能否为菱形，则OAOB， 即?=0， x 1x2 +y 1y2=0， 又 x1x2=（my11） （my21）=m2y1y2m（y1+y2）+1， （m2+1）y1y2m（y1 +y 2）+1=0，得到 =0，显然这个方程没有实数解， 故四边形 ABCD不能是菱形 （）由题 SAB

34、CD=4SAOB，而 SAOB=丨 OF1丨丨 y1y2丨，又丨 OF1丨=1， 即 SABCD=2丨 OF1丨丨 y1y2丨=2， 由（）知 y1+y2=，y1y2= SABCD=2=24， 函数，t 1，+） ，在 t=1 时，f（t）min=10， SABCD的最大值为 6，此时 m2+1=1，即 m=0时， 此时直线 ABx 轴，即 ABCD是矩形 21已知函数 f （x）=alnx+x2ax （a 为常数） （）试讨论 f （x）的单调性； （）若 f （x）有两个极值点分别为x1，x2不等式 f （x1）+f （x2） （x1+x2） 恒成立，求 的最小值 【考点】 利用导数研究函

35、数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （）求出函数 f（x）的导数，通过讨论a 的范围，解关于导函数的不 等式，求出函数的单调区间即可； （）根据 f（x1）+f（x2）=a（lnaa1） ，得到=lnaa1， a（4，+） ，令 （a）=lnaa1，根据函数的单调性求出 的最小值即可 【解答】 解： （）f （x）=+xa=（x0） ， 当 a0 时，解 f （x）=0 得，x= ， f（x）的单调减区间为（ 0，） ，单调增区间为（，+） ； 当 0a4 时，x 2ax+a=0的=a24a0， 所以 f （x）0，f（x）的增区间为（ 0，+） ，无减区间； 当 a4 时， =a

36、24a0，解 f （x）=0得，x1，2=， f（x）的单调增区间为（ 0，） ， （，+） ， 单调减区间为（，） （）由（）可知f（x）有两个极值点时，设为x1 ，x 2， 则 a4，x1 +x 2=a，x1x2=a 故 f（x1）+f（x2）=alnx1+a x1+alnx2+ax2=aln （x1x2）+ （+） a（x1 +x 2） =aln（x1x2）+（x1+x2）2x1x2a（x1+x2）=a（lnaa1） 于是=lnaa1，a（4，+） 令 （a）=lnaa1，则 （a）= 因为 a4，所以 （a）0于是 （a）=lnaa1 在（4，+）上单调递 减， 因此= （a） （4）

37、=ln43且可无限接近ln4 3 又因为 x1 +x 20，故不等式 f （x1）+f （x2） （x1 +x 2）等价于 ， 所以 的最小值为 ln43 四、选做题请考生在22，23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分 .作答时用 2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.选修 4-4：坐标系与参 数方程 22已知曲线 C1的参数方程为：（为参数） ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为： =4 sin（ + ） ， 直线 l 的极坐标方程为 = （1）求曲线 C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程； （2）若曲线 C1和曲线 C 2与直

38、线 l 分别交于非坐标原点的 A，B 两点，求 | AB| 的 值 【考点】 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 【分析】 （1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角 坐标方程； （2）利用极径的意义，求 | AB| 的值 【解答】 解： （1）曲线 C1的参数方程为：（为参数） ， 普通方程为 x2+（y1）2=1， 曲线 C2的极坐标方程为： =4sin （ +） ，即 =2sin +2cos ， 直角坐标方程为 x2+y2=2y+2x； （2）曲线 C1的极坐标方程为： =2sin 将 =代入 C1的极坐标方程得 1=2， 将 =代入 C 2的极坐标方程得 2=4， | AB| = 21=3 选修 4-5：不等式选讲 23已知实数 a，b，c均大于 0 （1）求证： +a+b+c； （2）若 a+b+c=1，求证：1 【考点】 不等式的证明 【分析】 直接利用基本不等式，即可证明 【解答】 证明： （1）实数 a，b，c 均大于 0， a+b2，b+c2，c+a2， 三式相加，可得： +a+b+c； （2）a+b2，b+c2 ，c+a2， +a+b+c=1 2017 年 3 月 30 日