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1、2011年上海市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、填空题（共14 小题，每小题4 分，满分56 分） 1 （ 4 分） （2011?上海）若全集U=R，集合 A=x|x 1，则 ?UA=x|x 1 【考点】 补集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 由补集的含义即可写出答案 【解答】 解：全集U=R，集合 A=x|x 1， CUA=x|x 1 故答案为： x|x 1 【点评】 本题考查补集的含义 2 （ 4 分） （2011?上海）计算= 2 【考点】 极限及其运算 【专题】 计算题 【分析】 根据题意，对于，变形可得，分析可得，当n时，有的极限为3； 进而可得答案 【解答】 解：
2、对于，变形可得，当 n时，有3； 则原式 = 2； 故答案为： 2 【点评】 本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法 3 （ 4 分） （2011?上海）若函数f（x）=2x+1 的反函数为f 1（x） ，则 f1 （ 2）= 【考点】 反函数 【专题】 计算题 【分析】 问题可转化为已知f（x0）=2，求 x0的值，解方程即可 【解答】 解：设 f（x0）=2，即 2x0+1=2，解得 故答案为 【点评】 本题考查反函数的定义，利用对应法则互逆可以避免求解析式，简化运算 4 （ 4 分） （2011?上海）函数y=2sinx cosx 的最大值为 【考点】 三角函数的最值 【专题】
3、 计算题 【分析】 利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值 【解答】 解： y=2sinx cosx=sin（x+ ） 故答案为： 【点评】 本题主要考查了三角函数的最值要求能对辅角公式能熟练应用 5 （ 4 分） （2011?上海）若直线l 过点（ 3，4） ，且（ 1，2）是它的一个法向量，则直线l 的 方程为x+2y11=0 【考点】 直线的点斜式方程；向量在几何中的应用 【专题】 直线与圆 【分析】 根据直线的法向量求出方向向量，求出直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线 方程 【解答】 解：直线的法向量是（1，2） ，直线的方向向量为： （ 2，1） ，所以
4、直线的斜率为： ，所以直线的方程为：y4=（x 3） ， 所以直线方程为：x+2y11=0 故答案为： x+2y11=0 【点评】 本题是基础题， 考查直线的法向量，方向向量以及直线的斜率的求法，考查计算能 力 6 （ 4 分） （2011?上海）不等式的解为x|x 1 或 x0 【考点】 其他不等式的解法 【专题】 计算题 【分析】 通过移项、通分；利用两个数的商小于0 等价于它们的积小于0；转化为二次不等 式，通过解二次不等式求出解集 【解答】 解： 即 即 x（x1） 0 解得 x 1或 x 0 故答案为 x|x 1 或 x0 【点评】 本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式
5、、考查二次不等式的解 法注意不等式的解以解集形式写出 7 （ 4 分） （2011?上海）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2 的三角形，则 该圆锥的侧面积为3 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 计算题 【分析】 根据圆锥的主视图是边长为3，3，2 的三角形，得到圆锥的母线长是3，底面直径 是 2，代入圆锥的侧面积公式，得到结果 【解答】 解：圆锥的主视图是边长为3，3， 2 的三角形， 圆锥的母线长是3，底面直径是2， 圆锥的侧面积是 rl= 1 3=3 ， 故答案为： 3 【点评】 本题考查由三视图求表面积和体积，考查圆锥的三视图， 这是比较特殊的一个图形， 它的主视图
6、与侧视图相同，本题是一个基础题 8（4 分）（2011?上海）在相距 2 千米的 A、 B 两点处测量目标点C， 若 CAB=75 ， CBA=60 ， 则 A、C 两点之间的距离为千米 【考点】 解三角形的实际应用 【专题】 解三角形 【分析】 先由 A 点向 BC 作垂线，垂足为D，设 AC=x ，利用三角形内角和求得ACB ，进 而表示出 AD ，进而在RtABD 中，表示出AB 和 AD 的关系求得x 【解答】 解：由 A 点向 BC 作垂线，垂足为D，设 AC=x ， CAB=75 ， CBA=60 ， ACB=180 75 60 =45 AD=x 在 RtABD 中， AB ?si
7、n60 =x x=（千米） 答： A、C 两点之间的距离为千米 故答案为： 下由正弦定理求解： CAB=75 ， CBA=60 ， ACB=180 75 60 =45 又相距 2 千米的 A、 B 两点 ，解得 AC= 答： A、C 两点之间的距离为千米 故答案为： 【点评】 本题主要考查了解三角形的实际应用主要是利用了三角形中45 和 60 这两个特 殊角，建立方程求得AC 9 （4 分） （2011?上海） 若变量 x，y 满足条件，则 z=x+y 得最大值为 【考点】 简单线性规划 【专题】 计算题 【分析】 先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数z=x+y 取最大 值时对应的最
8、优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案 【解答】 解：满足约束条件的平面区域如下图所示： 由图分析，当x=，y=时， z=x+y 取最大值， 故答案为 【点评】 本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标 函数的最优解点的坐标是解答本题的关键 10 （4 分） （2011?上海）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24 个城市分成甲、乙、 丙三组，对应的城市数分别为4，12， 8，若用分层抽样抽取6 个城市，则丙组中应抽取的 城市数为2 【考点】 分层抽样方法 【专题】 计算题 【分析】 根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6 个城市
9、作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果 【解答】 解：某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8 本市共有城市数24， 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6 的样本 每个个体被抽到的概率是， 丙组中对应的城市数8， 则丙组中应抽取的城市数为 8=2， 故答案为2 【点评】 本题考查分层抽样，是一个基础题， 解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽 到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决 11 （4 分） （2011?上海）行列式（a，b，c，d 1，1，2 ）所有可能的值中，最大 的是6 【考点】 二阶行列式的定义 【专题】 计算题 【分析】 先
10、按照行列式的运算法则，直接展开化简得adbc，再根据条件a，b，c，d 1， 1，2 进行分析计算，比较可得其最大值 【解答】 解：， a，b，c，d 1，1，2 ad 的最大值是：2 2=4，bc 的最小值是：1 2=2， adbc 的最大值是： 6 故答案为： 6 【点评】 本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题 12 （4 分） （2011?上海）在正三角形ABC 中，D 是 BC 上的点若 AB=3 ，BD=1， 则= 【考点】 向量在几何中的应用 【专题】 计算题；数形结合；转化思想 【分析】 根据 AB=3 ，BD=1 ，确定点 D 在正三角形ABC 中的位置，根据向量
11、加法满足三角 形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得 的值 【解答】 解： AB=3 ，BD=1 ， D 是 BC 上的三等分点， ， = =9=， 故答案为 【点评】 此题是个中档题考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和 转化的思想 13 （4 分） （2011?上海）随机抽取的9 位同学中，至少有2 位同学在同一月份出生的概率 为0.985（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001） 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【专题】 概率与统计 【分析】 本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有 2 位同学在同一个月出 生的对立事件是
12、没有人生日在同一个月，共有A129种结果，根据对立事件和古典概型的概 率公式得到结果 【解答】 解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数129， 至少有 2 位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果， 要求的事件的概率是1=1 0.985， 故答案为： 0.985 【点评】 本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题， 也是 一个易错题，注意本题的运算不要出错 14 （4 分） （2011?上海）设g（x）是定义在R 上，以 1 为周期的函数，若函数f（ x）=x+g （x）在区间 0，1上的值域为 2，5，则 f（x）在区
13、间 0，3上的值域为2，7 【考点】 函数的值域；函数的周期性 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 先根据 g（x） 是定义在R 上，以 1为周期的函数，令x+1=t 进而可求函数在1， 2时的值域，再令x+2=t 可求函数在 2，3时的值域，最后求出它们的并集即得（x） 在区 间0，3上的值域 【解答】 解： g（x）为 R 上周期为1 的函数，则g（ x）=g（x+1） 函数 f（x）=x+g（x）在区间 0，1（正好是一个周期区间长度）的值域是2，5 （ 1） 令 x+1=t， 当 x 0，1时， t=x+1 1，2 此时， f（t）=t+g（t） =（x+1）+g（x+1） =（x+1
14、）+g（x）=x+g （x）+1 所以，在t 1，2时， f（t） 1， 6 （2） 同理，令x+2=t， 在当 x 0，1时， t=x+2 2，3 此时， f（t）=t+g（t） =（x+2）+g（x+2） =（x+2）+g（x）=x+g （x）+2 所以，当t 2，3时， f（t） 0，7 （3） 由已知条件及（1） （2） （3）得到， f（ x）在区间 0，3上的值域为 2，7 故答案为： 2，7 【点评】 本题主要考查了函数的值域、函数的周期性考查函数的性质和应用，解题时要认 真审题，仔细解答 二、选择题（共4 小题，每小题5 分，满分 20 分） 15 （5 分） （2011?上海
15、）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+） 上单调递减的函 数是（） Ay=x 2 By=x 1 Cy=x 2 D 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【专题】 计算题 【分析】 根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的 性质，即可得到答案 【解答】 解：函数y=x 2，既是偶函数，在区间（ 0，+） 上单调递减，故A 正确； 函数 y=x 1，是奇函数，在区间（ 0，+） 上单调递减，故B 错误； 函数 y=x 2，是偶函数，但在区间（ 0，+） 上单调递增，故C 错误； 函数，是奇函数，在区间（0，+） 上单调递增，故D 错误； 故选 A
16、【点评】 本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部 分也幂函数性质的关系是解答本题的关键 16 （5 分） （2011?上海）若a，b R，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是（） Aa 2+b22ab BCD 【考点】 基本不等式 【专题】 综合题 【分析】 利用基本不等式需注意：各数必须是正数 不等式 a2+b2 2ab 的使用条件是 a，b R 【解答】 解：对于 A；a 2+b2 2ab 所以 A 错 对于 B，C，虽然 ab 0，只能说明a，b 同号，若a，b 都小于 0 时，所以 B，C 错 ab0 故选： D 【点评】 本题考查利用基本不等式求函
17、数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三 相等 17 （5 分） （2011?上海）若三角方程sinx=0 与 sin2x=0 的解集分别为E，F，则（） AE? F B E?F CE=F DEF=? 【考点】 正弦函数的定义域和值域；集合的包含关系判断及应用 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 利用正弦函数的零点进行转化求解是解决本题的关键，注意整体思想的运用，结合 集合的包含关系进行判断验证 【解答】 解：由题意 E=x|x=k ， k Z ， 由 2x=k ， 得出 x=， k Z 故 F=x|x=， k Z ， ?x E，可以得出x F，反之不成立，故E 是 F 的真子集， A
18、符合 故选 A 【点评】 本题考查正弦函数零点的确定，考查集合包含关系的判定，考查学生的整体思想和 转化与化归思想，考查学生的推理能力，属于三角方程的基本题型 18 （5 分） （2011?上海）设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4 个不同点，则使 成立的点M 的个数为（） A0 B1 C2 D4 【考点】 向量的加法及其几何意义 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向 量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点 【解答】 解：根据所给的四个向量的和是一个零向量 ， 则， 即， 所以 当 A1，A2， A3，A4 是平面上
19、给定的4 个不同点确定以后，则也是确定的， 所以满足条件的M 只有一个， 故选 B 【点评】 本题考查向量的加法及其几何意义，考查向量的和的意义，本题是一个基础题，没 有具体的运算，是一个概念题目 三、解答题（共5 小题，满分74 分） 19 （12 分） （2011?上海）已知复数z1满足（ z12） （1+i）=1 i（i 为虚数单位） ，复数 z2 的虚部为2，且 z1?z2是实数，求z2 【考点】 复数代数形式的混合运算 【专题】 计算题 【分析】利用复数的除法运算法则求出z1， 设出复数z2； 利用复数的乘法运算法则求出z1?z2； 利用当虚部为0 时复数为实数，求出z2 【解答】
20、解： z1=2i 设 z2=a+2i（ a R） z1?z2=（2i） （ a+2i）=（2a+2）+（4a）i z1?z2是实数 4a=0 解得 a=4 所以 z2=4+2i 【点评】 本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0 20 （14 分） （2011?上海） 已知 ABCD A1B1C1D1是底面边长为1 的正四棱柱， 高 AA1=2， 求 （1）异面直线BD 与 AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）四面体AB1D1C 的体积 【考点】 异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】 计算题；数形结合；分类讨论 【分析】（1）根据
21、题意知DC1AB1 BDC1就是异面直线BD 与 AB1 所成角，解三角 形即可求得结果 （2）VAB1D1C=VABCDA1B1C1D1VB1ABCVD1ACDVDA1C1D1VBA1B1C1， 而 VABCDA1B1C1D1VB1ABCVD1ACDVDA1C1D1VBA1B1C1易求，即可求得四面体 AB1D1C 的体积 【解答】 解： （1）连接 DC1，BC1， 易知 DC1AB1， BDC1就是异面直线BD 与 AB1 所成角， 在 BDC1中， DC1=BC1= ，BD=， cosBDC1= ， BDC1=arccos （2）VAB1D1C=VABCDA1B1C1D1VB1ABCV
22、D1ACDVDA1C1D1VBA1B1C1而 VABCD A1B1C1D1=SABCD?AA1=1 2=2， VB1ABC=VD1ACD=VDA1C1D1=VBA1B1C1= VAB1D1C=2 4 = 【点评】 此题是个基础题 考查异面直线所成角和棱锥的体积问题，求解方法一般是平移法， 转化为平面角问题来解决，和利用割补法求棱锥的体积问题，体现了数形结合和转化的思想 21 （14 分） （2011?上海）已知函数f（x）=a?2 x+b?3x，其中常数 a，b 满足 a?b 0 （1）若 a?b0，判断函数f（ x）的单调性； （2）若 a?b0，求 f（x+1） f（x）时的 x 的取值范
23、围 【考点】 指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特殊点 【专题】 计算题 【分析】（1）先把 a?b 0 分为 a 0，b0 与 a0，b 0两种情况；然后根据指数函数的 单调性即可作出判断 （2）把 a?b0 分为 a0，b0 与 a0，b0 两种情况；然后由f（x+1） f（x）化简得 a?2 x 2b?3x，再根据 a 的正负性得 或；最后由指数函数 的单调性求出x 的取值范围 【解答】 解： （1） 若 a0，b 0，则 y=a?2x与 y=b?3x均为增函数， 所以 f（ x）=a?2x+b?3x 在 R 上为增函数； 若 a0， b0，则 y=a?2 x 与 y=b?3x均为
24、减函数，所以f（x）=a?2x+b?3x在 R 上为减函 数 （2） 若 a0， b0， 由 f（x+1） f（x）得 a?2x+1+b?3x+1a?2x+b?3x， 化简得 a?2x 2b?3x，即， 解得 x； 若 a0， b0， 由 f（x+1） f（x）可得， 解得 x 【点评】 本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法 22 （16 分） （2011?上海）已知椭圆C：=1 （常数 m1） ，P 是曲线 C 上的动点， M 是曲线 C 上的右顶点，定点A 的坐标为（ 2，0） （1）若 M 与 A 重合，求曲线C 的焦点坐标； （2）若 m=3，求 |PA|的最大值与最小值； （
25、3）若 |PA|的最小值为 |MA|，求实数m 的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【专题】 综合题；压轴题；转化思想 【分析】（1）根据题意，若M 与 A 重合，即椭圆的右顶点的坐标，可得参数a 的值，已知 b=1，进而可得答案； （2）根据题意，可得椭圆的方程，变形可得y2=1 ；而 |PA| 2=（x2）2+y2，将 y2=1 代入可得， |PA| 2= 4x+5，根据二次函数的性质，又由x 的范围，分析可得，|PA| 2 的最大与最小值；进而可得答案； （3） 设动点 P （x， y） ， 类似与（2） 的方法，化简可得 |PA| 2= （x） 2+ +5， 且 m x m；根据题意
26、， |PA|的最小值为 |MA| ，即当 x=m 时， |PA|取得最小值，根据二次函数 的性质，分析可得， m，且 m1；解可得答案 【解答】 解： （1）根据题意，若M 与 A 重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0） ； 则 m=2；椭圆的焦点在x 轴上； 则 c=； 则椭圆焦点的坐标为（，0） ， （，0） ； （2）若 m=3，则椭圆的方程为+y 2=1； 变形可得y2=1 ， |PA| 2=（x2）2+y2=x24x+4+y2= 4x+5； 又由 3 x 3， 根据二次函数的性质，分析可得， x= 3 时， |PA| 2= 4x+5 取得最大值，且最大值为25； x=时， |PA|
27、2= 4x+5 取得最小值，且最小值为； 则|PA|的最大值为5，|PA| 的 最小值为； （3）设动点P（x，y） ， 则|PA|2=（x2） 2+y2=x24x+4+y2 =（x） 2 +5，且 m x m； 当 x=m 时， |PA|取得最小值，且0， 则 m，且 m1； 解得 1 m 1+ 【点评】 本题考查椭圆的基本性质，解题时要结合二次函数的性质进行分析，注意换元法的 运用即可 23 （18 分） （2011?上海）已知数列an 和bn 的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7 （n N *） 将集合 x|x=a n，n N * x|x=bn，n N * 中的元素从小到大依次
28、排列，构成数列 c1，c2，c3， ， cn， （1）求三个最小的数，使它们既是数列an 中的项，又是数列 bn中的项； （2）数列 c1，c2，c3， ，c40 中有多少项不是数列bn中的项？请说明理由； （3）求数列 cn的前 4n 项和 S4n（n N * ） 【考点】 等差数列的性质 【专题】 计算题；压轴题 【分析】（1）分别由数列an 和bn 的通项公式分别为 an和 bn列举出各项，即可找出既 是数列 an 中的项，又是数列 bn 中的项的三个最小的数； （2）根据题意列举出数列cn 的 40 项，找出不是数列 bn中的项即可； （3）表示出数列bn中的第 3k2，3k1 及 3
29、k 项，表示出数列 an 中的第 2k1，及 2k 项，把各项按从小到大的顺序排列，即可得到数列cn的通项公式，并求出数列 cn 的第 4k 3，4k2，4k 1及 4k 项的和，把数列cn的前 4n 项和每四项结合，利用等差数列的前 n 项和的公式即可求出数列cn 的前 4n 项和 S4n 【解答】 解： （1）因为数列 an 和bn 的通项公式分别为 an=3n+6，bn=2n+7， 所以数列 an 的项为： 9，12，15，18，21，24， ；数列 bn 的项为： 9，11，13，15，17， 19， 21，23， ， 则既是数列 an 中的项，又是数列 bn中的项的三个最小的数为：9
30、，15，21； （2）数列 c1，c2，c3， ，c40的项分别为： 9，11，12， 13，15，17，18，19，21，23， 24，25，27， 29，30，31，33，35，36，37， 39， 41，42，43， 45，47，48，49，51，53，54，55，57，59，60，61，63，65， 66，67， 则不是数列 bn中的项有 12，18，24，30，36，42，48，54，60，66 共 10 项； （3）b3k2=2（3k2）+7=6k+3=a2k1，b3k1=6k+5 ，a2k=6k+6 ，b3k=6k+7 ， 6k+3 6k+56k+66k+7， cn= ，k N +，c 4k3+c4k2+c4k1+ck=24k+21， 则 S4n=（c1+c2+c3+c4）+ +（c4n3+c4n2+c4n1+c4n）=24+21n=12n 2+33n 【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的前n 项和的公式化简求值， 是一道中档题