2019年云南省高考数学一模试卷(理科)含答案解析.pdf

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1、2017 年云南省高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5 分，满分 60 分） 1已知集合 S= 1，2 ，设 S的真子集有 m 个，则 m=（） A4 B3 C 2 D1 2已知 i 为虚数单位，则的共轭复数为（） A+ i B +i Ci D i 3已知、 是平面向量，如果 | | =3，| =4，|+ | =2，那么| | =（） A B7 C 5 D 4在（ x）10的二项展开式中， x 4 的系数等于（） A120 B60 C60 D120 5已知 a，b，c，d 都是常数， ab，cd，若 f（x）=2017（xa） （xb） 的零点为 c，d，则下列不等式正确

2、的是（） Aacbd Babcd C cdab Dcabd 6公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的 面积求圆周率 ，他从圆内接正六边形算起， 令边数一倍一倍地增加， 即 12， 24， 48， ，192， ，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形， ，正一百 九十二边形， 的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二 边形，这时候的近似值是 3.141024，刘徽称这个方法为 “ 割圆术 ” ，并且把 “ 割 圆术” 的特点概括为 “ 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周 合体而无所失矣 ” 刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的

3、、可求的来逼近未知 的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响， 如图是利用刘徽的 “ 割圆术 ” 思想设计的一个程序框图， 若运行改程序（参考数据： 1.732，sin15 0.2588，sin7.5 0.1305） ，则输出 n 的值为（） A48 B36 C 30 D24 7在平面区域内随机取一点（ a，b） ，则函数 f（x）=ax 24bx+1 在 区间 1，+）上是增函数的概率为（） ABC D 8已知 ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c若 a=bcosC +csinB，且 ABC的面积为 1+则 b 的最小值为（） A2 B3 C D 9如

4、图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则 此几何体的体积为（） A12 B18 C 24 D30 10已知常数 0，f（x）=1+2sin xcosx+2cos 2x 图象的对称中心得到 对称轴的距离的最小值为，若 f（x0）=，x0，则 cos2x0=（） ABCD 11已知三棱锥 PABC的所有顶点都在表面积为16的球 O 的球面上， AC为 球 O的直径，当三棱锥 PABC的体积最大时，设二面角PABC的大小为 ， 则 sin = （） ABC D 12抛物线 M 的顶点是坐标原点 O，抛物线 M 的焦点 F在 x 轴正半轴上，抛物 线 M 的准线与曲线x 2+y

5、26x+4y3=0 只有一个公共点，设 A 是抛物线 M 上的 一点，若?=4，则点 A 的坐标是（） A （1，2）或（ 1，2）B （1，2）或（ 1，2）C （1，2） D （1， 2） 二、填空题（共4 小题，每小题 5 分，满分 20分） 13某校 1000 名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态 分布 N（90， 2） ，若分数在（ 70，110 内的概率为 0.7，估计这次考试分数不超 过 70 分的人数为人 14过双曲线=1（a0，b0）的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线 交于 A，B 两点，与双曲线的渐近线交于C，D 两点，若 | AB| | CD| ，

6、则双曲 线离心率的取值范围为 15计算=（用数字作答） 16已知 f（x）=，若 f（x1）f（2x+1） ，则 x 的 取值范围为 三、解答题（共5 小题，满分 60 分） 17设数列 an的前 n 项和为 Sn ，a 1=1，当 n2 时，an=2anSn2Sn 2 （1）求数列 an 的通项公式； （2）是否存在正数k，使（ 1+S1） （1+S2） （1+Sn）k对一切正整数n 都成立？若存在，求k 的取值范围，若不存在，请说明理由 18云南省 2016 年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使 用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A 等，分数在 70，85）内

7、， 记为 B等，分数在 60，70）内，记为 C等，60 分以下，记为 D 等，同时认定等 级分别为 A，B，C都为合格，等级为D 为不合格 已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在 50，100 内，为了比较两校学生 的成绩，分别抽取 50 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照 50， 60） ， 60， 70） ， 70，80） ， 80，90） ， 90，100 分别作出甲校如图1 所示样本频率分布直 方图，乙校如图 2 所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图 （1）求图中 x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率； （2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3 名学

8、生进行调 研，用 X表示所抽取的 3 名学生中甲校的学生人数， 求随机变量 X的分布列和数 学期望 19如图，在四棱锥SABCD中，底面 ABCD是矩形，平面 ABCD 平面 SBC ， SB=SC ，M 是 BC的中点， AB=1，BC=2 （1）求证： AMSD ； （2）若二面角 BSAM 的正弦值为，求四棱锥 S ABCD的体积 20已知椭圆 E的中心在原点，焦点F1、F2在 y 轴上，离心率等于，P是椭 圆 E上的点，以线段 PF1为直径的圆经过 F2，且 9?=1 （1）求椭圆 E的方程； （2）做直线 l 与椭圆 E交于两个不同的点M、N，如果线段 MN 被直线 2x+1=0 平

9、分，求 l 的倾斜角的取值范围 21已知 e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数 f（x）=e xax1 的定义域 为（0，+） （1）设 a=e，求函数 f（x）在切点（ 1，f（1） ）处的切线方程； （2）判断函数 f（x）的单调性； （3）设 g（x）=ln（ex+x31）lnx，若? x0，f（g（x） ）f（x） ，求 a 的 取值范围 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22已知直线 L的参数方程为（t 为参数） ，以原点 O为极点，以 x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为= （）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程； （）过曲线 C 上任意一点

10、P 作与 L夹角为的直线 l，设直线 l 与直线 L 的交 点为 A，求| PA| 的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| x+a|+| x2| 的定义域为实数集R （）当 a=5时，解关于 x 的不等式 f（x）9； （）设关于 x 的不等式 f（x）| x4| 的解集为 A，B=xR| 2x1| 3 ，如 果 AB=A，求实数 a 的取值范围 2017 年云南省高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5 分，满分 60 分） 1已知集合 S= 1，2 ，设 S的真子集有 m 个，则 m=（） A4 B3 C 2 D1 【考点】 子

11、集与真子集 【分析】 若集合 A 有 n 个元素，则集合 A 有 2n1 个真子集 【解答】 解：集合 S=1，2 ， S的真子集的个数为： 221=3 故选： B 2已知 i 为虚数单位，则的共轭复数为（） A+ i B +i Ci D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：=， 的共轭复数为 故选： C 3已知、 是平面向量，如果 | | =3，| =4，|+ | =2，那么| | =（） A B7 C 5 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据条件对两边平方，从而可求出，这样即可求出 的值，进而求出的值 【解答

12、】 解：根据条件： = =4； ； =9（ 21）+16 =46； 故选： A 4在（ x）10的二项展开式中， x4的系数等于（） A120 B60 C60 D120 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用通项公式即可得出 【解答】 解：通项公式 Tr+1=（1） r x10 2r， 令 102r=4，解得 r=3 x 4 的系数等于=120 故选： A 5已知 a，b，c，d 都是常数， ab，cd，若 f（x）=2017（xa） （xb） 的零点为 c，d，则下列不等式正确的是（） Aacbd Babcd C cdab Dcabd 【考点】 函数的零点 【分析】 由题意设 g（x）=

13、（xa） （xb） ，则 f（x）=2017g（x） ，由函数零 点的定义求出对应方程的根，画出g（x）和直线 y=2017的大致图象，由条件和 图象判断出大小关系 【解答】 解：由题意设 g（x）=（xa） （xb） ，则 f（x）=2017g（x） ， 所以 g（x）=0 的两个根是 a、b， 由题意知： f（x）=0 的两根 c，d， 也就是 g（x）=2017 的两根， 画出 g（x） （开口向上）以及直线y=2017的大致图象， 则与 f（x）交点横坐标就是c，d， f（x）与 x 轴交点就是 a，b， 又 ab，cd，则 c，d 在 a，b 外， 由图得， cabd， 故选 D 6

14、公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的 面积求圆周率 ，他从圆内接正六边形算起， 令边数一倍一倍地增加， 即 12， 24， 48， ，192， ，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形， ，正一百 九十二边形， 的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二 边形，这时候的近似值是 3.141024，刘徽称这个方法为 “ 割圆术 ” ，并且把 “ 割 圆术” 的特点概括为 “ 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周 合体而无所失矣 ” 刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知 的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其

15、重要，对后世产生了巨大影响， 如图是利用刘徽的 “ 割圆术 ” 思想设计的一个程序框图， 若运行改程序（参考数据： 1.732，sin15 0.2588，sin7.5 0.1305） ，则输出 n 的值为（） A48 B36 C 30 D24 【考点】 程序框图 【分析】 列出循环过程中 S与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环 【解答】 解：模拟执行程序，可得： n=6，S=3sin60 =， 不满足条件 S3.10，n=12，S=6sin30 =3， 不满足条件 S3.10，n=24，S=12 sin15 =120.2588=3.1056 ， 满足条件 S 3.10，退出循环，输出n

16、 的值为 24 故选： D 7在平面区域内随机取一点（ a，b） ，则函数f（x）=ax 24bx+1 在 区间 1，+）上是增函数的概率为（） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】作出不等式组对应的平面区域， 根据概率的几何概型的概率公式进行计 算即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 对应的图形为 OAB ，其中对应面积为S= 44=8， 若 f（x）=ax 24bx+1 在区间 1，+）上是增函数， 则满足 a0且对称轴 x=1， 即，对应的平面区域为 OBC ， 由， 解得， 对应的面积为 S1=4=， 根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=， 故选：

17、B 8已知 ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c若 a=bcosC +csinB，且 ABC的面积为 1+则 b 的最小值为（） A2 B3 C D 【考点】 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用 【分析】已知等式利用正弦定理化简， 再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数 公式化简，求出 tanB的值，确定出 B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值， 利用余弦定理，基本不等式可求b 的最小值 【解答】 解：由正弦定理得到： sinA=sinCsinB +sinBcosC ， 在 ABC中，sinA=sin （B+C） =sin（B+C） ， sin（B+C ）=sinBcosC +c

18、osBsinC=sinCsinB+sinBcosC ， cosBsinC=sinCsinB， C （0， ） ，sinC 0， cosB=sinB ，即 tanB=1， B（0， ） ， B=， SABC=acsinB=ac=1+， ac=4+2， 由余弦定理得到： b2=a 2+c22accosB ，即 b2=a2+c2 ac2acac=4，当且 仅当 a=c时取“=”， b 的最小值为 2 故选： A 9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则 此几何体的体积为（） A12 B18 C 24 D30 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】由已知中的三视图可得该

19、几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去 一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 切去一个三棱锥所得的组合体， 其底面面积 S= 34=6， 棱柱的高为： 5，棱锥的高为 3， 故组合体的体积 V=6563=24， 故选： C 10已知常数 0，f（x）=1+2sin xcosx+2cos 2x 图象的对称中心得到 对称轴的距离的最小值为，若 f（x0）=，x0，则 cos2x0=（） A B C D 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】将函数 f（x）化简成只有一个函数名，对称中心得到对称轴的距离

20、的最 小值为，可得 T= 根据 f（x0）= ， x 0，求出 x0，可得 cos2x0的 值 【解答】 解：由 f（x）=1+2sin xcosx+2cos 2x ， 化简可得： f（x）=sin2 x+cos2x=2sin （2x + ） 对称中心得到对称轴的距离的最小值为， T= 由， 可得： =1 f（x0）=，即 2sin（2x0+）= x0， 2x0+ sin（2x0+）= 0 cos （2x0+）= 那么：cos2x0=cos （2x0+） =cos （2x0+） cos+sin （2x0+） sin= 故选 D 11已知三棱锥 PABC的所有顶点都在表面积为16的球 O 的球面

21、上， AC为 球 O的直径，当三棱锥 PABC的体积最大时，设二面角PABC的大小为 ， 则 sin = （） ABC D 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】AC为球 O 的直径，当三棱锥 PABC的体积最大时， ABC为等腰直角 三角形， P在面 ABC上的射影为圆心O，过圆心 O 作 ODAB 于 D，连结 PD， 则PDO为二面角 PABC的平面角 【解答】 解：如图所示：由已知得球的半径为 2， AC为球 O 的直径，当三棱锥PABC的体积最大时， ABC为等腰直角三角形， P在面 ABC上的射影为圆心 O， 过圆心 O作 ODAB于 D，连结 PD ，则 PDO为二面角 PAB

22、C的平面角， 在ABC 中， PO=2，OD= BC=，sin = 故选： C 12抛物线 M 的顶点是坐标原点 O，抛物线 M 的焦点 F在 x 轴正半轴上，抛物 线 M 的准线与曲线x 2+y26x+4y3=0 只有一个公共点，设 A 是抛物线 M 上的 一点，若?=4，则点 A 的坐标是（） A （1，2）或（ 1，2）B （1，2）或（ 1，2） C （1，2） D （1， 2） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先求出抛物线的焦点F（1，0） ，根据抛物线的方程设 A（ ，y 0） ， 则=（，y0） ，=（1，y0） ，再由?=4，可求得 y0的值，最 后可得答案 【解答】解：

23、x2 +y 26x+4y3=0，可化为（x3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3， 2） ，半径为 4， 抛物线 M 的准线与曲线 x 2 +y 26x+4y3=0只有一个公共点， 3+=4，p=2 F（1，0） ， 设 A（，y0） 则 =（ ，y 0） ， =（1 ，y0） ， 由?=4，y0=2，A（1，2） 故选 B 二、填空题（共4 小题，每小题 5 分，满分 20分） 13某校 1000 名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态 分布 N（90， 2） ，若分数在（ 70，110 内的概率为 0.7，估计这次考试分数不超 过 70 分的人数为325人 【考点】

24、正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 利用正态分布曲线的对称性结合已知求得P（X70） ，乘以 1000 得答 案 【解答】解：由 X服从正态分布 N（90， 2） （ 0） ，且 P（70X110）=0.35， 得 P（X70）= （10.35）= 估计这次考试分数不超过70 分的人数为 1000=325 故答案为： 325 14过双曲线=1（a0，b0）的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线 交于 A，B 两点，与双曲线的渐近线交于C，D 两点，若 | AB| | CD| ，则双曲 线离心率的取值范围为，+） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设出双曲线的右焦点和渐近线方程，

25、令x=c，联立方程求出A，B，C ， D的坐标，结合距离关系和条件，运用离心率公式和a，b，c 的关系，进行求解 即可 【解答】 解：设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为（ c，0） ， 当 x=c时代入双曲线=1得 y=，则 A（c，） ，B（c，） ， 则 AB=， 将 x=c代入 y=x得 y=，则 C（c，） ，D（c，） ， 则| CD | =， | AB| | CD| ， ?，即 bc， 则 b 2=c2 a 2 c2， 即c2a 2， 则 e2=， 则 e 故答案为： ，+） 15计算=（用数字作答） 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用诱导公式化简cos（100 ）=s

26、in10 ，同角三角函数关系式1 sin10 =sin 25 +cos25 2sin5 cos5代入化简根据两角和与差的公式可得答案 【解答】解：由 = = 故答案为： 16已知 f（x）=，若 f（x1）f（2x+1） ，则 x 的 取值范围为 x| x0，或 x2 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 由题意可得f（x）为偶函数， f（x）在 0，+）上单调递增由不等 式 f（x1）f（2x+1） ，可得 | x1| | 2x+1| ，由此求得 x的范围 【解答】 解：已知 f（x）= ， 满足 f（x）=f（x） ，且 f（0）=0，故 f（x）为偶函数， f（x）在 0，+）上单调

27、递增 若 f（x1）f（2x+1） ，则| x1| | 2x+1| ， （x1） 2（2x+1）2，即 x2+2x0，x0，或 x2， 故答案为： x| x0，或 x2 三、解答题（共5 小题，满分 60 分） 17设数列 an的前 n 项和为 Sn，a1=1，当 n2 时，an=2anSn2Sn 2 （1）求数列 an 的通项公式； （2）是否存在正数k，使（ 1+S1） （1+S2） （1+Sn）k对一切正整数n 都成立？若存在，求k 的取值范围，若不存在，请说明理由 【考点】 数列与不等式的综合；数列递推式 【分析】 （1）由数列的性质对其经行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式 即可

28、，求出 Sn，再根据 an=SnSn1，即可求出数列的通项公式， （2）先构造函数 f（n）并判断其单调性，然后再由函数的单调性解决函数恒成 立的，求出参数 k 的取值范围 【解答】 解： （1）当 n2 时，an=2anSn2Sn 2， an=，n2， （SnS n1） （2Sn1）=2Sn 2， SnSn1=2SnSn1， 2，n2， 数列 是以=1为首项，以 2 为公差的等差数列， =1+2（n1）=2n1， Sn=， n2 时，an=SnSn1=， a1=S1=1， a n=， （2）设 f（n）= ， 则=1， f（n）在 nN*上递增， 要使 f（n）k 恒成立，只需要 f（n）m

29、ink， f（n）min=f（1）=， 0k 18云南省 2016 年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使 用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A 等，分数在 70，85）内， 记为 B等，分数在 60，70）内，记为 C等，60 分以下，记为 D 等，同时认定等 级分别为 A，B，C都为合格，等级为D 为不合格 已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在 50，100 内，为了比较两校学生 的成绩，分别抽取 50 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照 50， 60） ， 60， 70） ， 70，80） ， 80，90） ， 90，100 分别作出甲校如图1 所示样

30、本频率分布直 方图，乙校如图 2 所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图 （1）求图中 x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率； （2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3 名学生进行调 研，用 X表示所抽取的 3 名学生中甲校的学生人数， 求随机变量 X的分布列和数 学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （1）利用频率分布直方图的性质可得x，进而定点甲校的合格率由茎 叶图可得乙校的合格率 （2）甲乙两校的 C等级的学生数分别为： 0.0121050=6，4 人X=0，1，2， 3利用 P（X=k）=，即可得出 【解答】

31、解： （1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）10=1， 解得 x=0.004 甲校的合格率 P1=（10.004）10=0.96=96% ， 乙校的合格率 P2= =96% 可得：甲乙两校的合格率相同，都为96% （2）甲乙两校的 C等级的学生数分别为： 0.0121050=6，4 人 X=0，1，2，3 则 P （X=k）=，P （X=0）= =，P （X=1）=，P （X=2）=， P（X=3）= X的分布列为： X0123 P E（X）=0+1+2+3= 19如图，在四棱锥SABCD中，底面 ABCD是矩形，平面 ABCD 平面 SBC ， S

32、B=SC ，M 是 BC的中点， AB=1，BC=2 （1）求证： AMSD ； （2）若二面角 BSAM 的正弦值为，求四棱锥 S ABCD的体积 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与 平面垂直的性质 【分析】 （1）推导出 SMBC ，SMAM，由勾股定理得AMDM，从而 AM 平面 DMS，由此能证明 AMSD （2）以 M 为原点， MC 为 x 轴，MS为 y 轴，过 M 作平面 BCS的垂线为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱锥SABCD的体积 【解答】 证明： （1）SB=SC ，M 是 BC的中点， SMBC ， 平面 ABC

33、D 平面 SBC ，平面 ABCD 平面 SBC=BC ， SM平面 ABCD ， AM? 平面 ABCD ，SMAM， 底面 ABCD是矩形， M 是 BC的中点， AB=1，BC=2 ， AM2=BM 2= =，AD=2， AM2+BM2=AD 2，AMDM， SMDM=M，AM平面 DMS， SD ? 平面 DMS，AMSD 解： （2）SM平面 ABCD ，以 M 为原点， MC 为 x轴， MS为 y 轴，过 M 作平面 BCS的垂线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 设 SM=t，则 M（0，0，0） ，B（1，0，0） ，S（0，t，0） ， A（1，0，1） ， =（0，0，1

34、） ，=（1，t，0） ， =（1，0，1） ， =（0，t，0） ， 设平面 ABS的法向量=（x，y，z） ， 则，取 x=1，得=（1，0） ， 设平面 MAS的法向量=（a，b，c） ， 则，取 a=1，得=（1，0，1） ， 设二面角 BSA M 的平面角为 ， 二面角 BSA M 的正弦值为， sin =，cos= =， cos=，解得 t=， SM平面 ABCD ，SM=， 四棱锥 S ABCD的体积： VSABCD= 20已知椭圆 E的中心在原点，焦点F1 、F 2在 y 轴上，离心率等于，P是椭 圆 E上的点，以线段 PF1为直径的圆经过 F2，且 9?=1 （1）求椭圆 E

35、的方程； （2）做直线 l 与椭圆 E交于两个不同的点M、N，如果线段 MN 被直线 2x+1=0 平分，求 l 的倾斜角的取值范围 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】（1）由题意可知：设椭圆的标准方程，c=a，则利用椭圆的定义 m+n=2a，勾股定理 n2+（2c）2=m2，及向量数量积，即可求得a 和 b 的值，求得 椭圆方程； （2）假设存在直线 l，设出方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合根的判别 式，即可得到结论 【解答】 解： （1）由题意可知：设题意的方程：（ab0） ， e=，则 c=a，设丨 PF1丨=m，丨 PF2丨=n， 则 m+n=2a， 线段 PF1为直径的圆

36、经过 F2，则 PF2F1F2， 则 n2+（2c） 2=m2， 9m?ncosF1PF2=1，由 9n2=1，n=，解得： a=3，c=， 则 b= =1， 椭圆标准方程：； （2）假设存在直线 l，依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x=平分， 直线 l 的斜率存在 设直线 l：y=kx+m，则 由消去 y，整理得（ k2+9）x2+2kmx+m29=0 l 与椭圆交于不同的两点M，N， =4k 2m24（k2+9） （m29）0，即 m2 k 290 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 x1 +x 2= = = ，m= 把代入式中得（） 2（k2+9）0 k或 k， 直线 l

37、 倾斜角 （，）（，） 21已知 e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数 f（x）=e xax1 的定义域 为（0，+） （1）设 a=e，求函数 f（x）在切点（ 1，f（1） ）处的切线方程； （2）判断函数 f（x）的单调性； （3）设 g（x）=ln（ex+x31）lnx，若? x0，f（g（x） ）f（x） ，求 a 的 取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （1）求出函数的导数，计算f（1） ，f （1） ，求出切线方程即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可； （3）设 F（x）=e xx1，求出

38、函数的导数，问题转化为 x0 时，ex+x31 x，设 h（x）=xe x e x x3+1，根据函数的单调性确定a 的范围即可 【解答】 解： （1）a=e时，f（x）=exex1，f（1）=1， f （x）=e xe，可得 f （1）=0， 故 a=e时，函数 f（x）在切点（ 1，f（1） ）处的切线方程是 y=1； （2）f（x）=e xax1，f （x）=e xa， 当 a0 时，f （x）0，则 f（x）在 R上单调递增； 当 a0 时，令 f （x）=e xa=0，得 x=lna， 则 f（x）在（， lna 上单调递减，在（ lna，+）上单调递增 （3）设 F（x）=e xx

39、1，则 F （x）=e x1， x=0时，F （x）=0，x0 时，F （x）0， F（x）在 0，+）递增， x0 时，F（x）F（0） ，化简得： ex1x， x0 时，ex+x 31x， 设 h（x）=xe x e x x 3+1， 则 h （x）=x（exex） ， 设 H（x）=e xex，H （x）=exe， 由 H （x）=0，得 x=1时，H （x）0， x1 时，H （x）0， x0 时，H（x）的最小值是 H（1） ， x0 时，H（x）H（1） ，即 H（x）0， h （x）0，可知函数 h（x）在（ 0，+）递增， h（x）h（0）=0，化简得 ex+x31xe x，

40、x0 时，xex+x 31xex， x0 时，lnxln（ex+x31）lnx+x， 即 0ln（ex+x31）lnxx， 即 x0 时，0g（x）x， 当 a1 时，由（ 2）得 f（x）在（ 0，+）递增， 得 f（g（x） ）f（x）满足条件， 当 a1 时，由（ 2）得 f（x）在（ 0，lna）递减， 0xlna 时，f（g（x） ）f（x） ，与已知 ? x0，f（g（x） ）f（x）矛盾， 综上， a 的范围是（， 1 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22已知直线 L的参数方程为（t 为参数） ，以原点 O为极点，以 x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=

41、 （）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程； （）过曲线 C 上任意一点 P 作与 L夹角为的直线 l，设直线 l 与直线 L 的交 点为 A，求| PA| 的最大值 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 （）利用三种方程的转化方法，即可写出直线L 的极坐标方程和曲线 C的普通方程； （） 曲线 C上任意一点 P （cos ， 2sin ） 到 l 的距离为 d=| 2cos +2sin 6| 则 | PA | = | 2 sin（ +45 ）6| ，利用正弦函数的单调性即可得出最 值 【解答】 解： （）直线 L 的参数方程为（t 为参数） ，普通方程为 2x+y 6=0，极坐标

42、方程为 2cos+sin 6=0， 曲线 C的极坐标方程为=，即 2+32cos2=4 ，曲线 C的普通方程 为=1； （）曲线 C上任意一点 P （cos ，2sin ）到 l 的距离为 d=| 2cos +2sin 6| 则| PA | = | 2 sin（ +45 ）6| ， 当 sin（ +45 ）=1 时，| PA| 取得最大值，最大值为 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| x+a|+| x2| 的定义域为实数集R （）当 a=5时，解关于 x 的不等式 f（x）9； （）设关于 x 的不等式 f（x）| x4| 的解集为 A，B=xR| 2x1| 3 ，如 果 A

43、B=A，求实数 a 的取值范围 【考点】 绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法 【分析】 （）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组， 求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求 （）由题意可得B? A，区间 B的端点在集合 A 中，由此求得 a 的范围 【解答】 解： （）当 a=5时，关于 x 的不等式 f（x）9，即| x+5|+| x2| 9， 故有；或；或 解求得 x6；解求得 x?，解求得x3 综上可得，原不等式的解集为 x| x6，或 x3 （）设关于 x 的不等式 f（x）=| x+a|+| x2| | x4| 的解集为 A， B=xR| 2x1| 3 =x| 1x2 ，如果 AB=A，则 B? A， ，即，求得 1a0， 故实数 a的范围为 1，0 2017 年 3 月 30 日