2019年山西省高考数学一模试卷(理科)含答案解析.pdf

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1、2017 年山西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1设复数 z 满足 iz=1+2i，则 z 的共轭复数的虚部为（） Ai Bi C1 D1 2已知实数集 R，集合，则 M（?RN） =（） A 1，8）B（0，5C 1，5）D（0，8） 3已知函数，a为实数，若 f（2x）f（x），则 x 的取值范围是（） A（， 1B（， 1 C 1，+）D 1，+） 4若双曲线的中心在坐标原点O，过 C 的右顶点和右焦点分别作垂直于x 轴的直线，交 C 的渐近线于 A，B 和 M，N，若

2、OAB 与OMN 的面积之比为 1：4，则 C 的渐近线方程为（） Ay=x BCy=2x Dy=3x 5甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“ 三局两胜 ” 制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（） ABCD 6 已知 P是圆 x 2+y2=R2 上的一个动点，过点 P 作曲线 C 的两条互相垂直的切线，切点分别为 M，N，MN 的中点为 E若曲线 C： +=1（ab0），且 R2=a 2+b2，则点 E的轨迹方程为若曲线，且 R2=a2b2，则点 E 的轨迹方程是（） A B C D 7（+1） 7 的展开

3、式中 x3的系数为（） A1 B1 C7 D7 8已知椭圆与直线 y=x+3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆 C 的方程为（） A B C D 9已知函数的部分图象如图所示，将函数 y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数 y=g（x）在区间上的最大值为（） A3 B C D 10如图，在 ABC 中，AB=BC=，ABC=90 ，点 D 为 AC 的中点，将 ABD 沿 BD 折起到 PBD 的位置，使 PC=PD，连接 PC，得到三棱锥 PBCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（） AB3C5D7 11运行如图所示的程序

4、框图，输出的数称为“ 水仙花数 ” （算术符号 MOD 表示取余数，如 11MOD2=1）下列数中的 “ 水仙花数 ” 是（） “ 水仙花数 ” 是三位数； 152是“ 水仙花数 ” ； 407是“ 水仙花数 ” A0 B1 C2 D3 12已知函数（其中 k 为正整数， aR，a0），则 f（x）的零点个数为（） A2k2 B2k C2k1 D与 a 有关二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13命题 “ ? xN，x 21” 的否定为 14在ABC 中，已知 AB=2，AC=1，A=60 ，D 为 AB 的中点，则向量在上的投影为 15在 ABC 中，内角

5、 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且，则 AC 边上的高的最大值为 16某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为三、解答题：本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 17已知数列 an 满足，nN * ，等差数列 bn 满足 a1=2b1， a2=b2 （1）求 bn；（2）记 cn=a2n1b2n1+a2nb2n，求 cn；（3）求数列 anbn 前 2n 项的和 S2n 18某种多面体玩具共有12 个面，在其十二个面上分别标有数字 1，2，3， 12若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等抛掷该玩

6、具一次，记事件A=“ 向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如 9=32，9是完全平方数）” （1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：甲抛掷一次，若事件 A 发生，则向上一面的点数的6 倍为甲的得分；若事件 A 不发生，则甲得 0 分；乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“ 向上一面的点数不超过k（1k12）” ，若事件 A 与 B 相互独立，试求出所有的整数 k 19在三棱柱 ABCA1B1C1中，

7、AC=BC=2，ACB=120 ，D 为 A1B1的中点（1）证明： A1C平面 BC1D；（2）若 A1A=A1C，点 A1在平面 ABC 的射影在 AC 上，且 BC 与平面 BC1D 所成角的正弦值为，求三棱柱 ABCA1B1C1的高 20已知抛物线 C：y 2=4x，直线 l：x=1 （1）若曲线 C 上存在一点 Q，它到 l 的距离与到坐标原点的距离相等，求Q 的坐标；（2）过直线 l 上任一点 P 作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线 AB 过定点 21已知函数（1）若函数为减函数，求 a的取值范围；（2）若 f（x）0 恒成立，证明： a1b 请考生在第

8、22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑选修 4-4：参数方程与极坐标系 22已知曲线 C1的参数方程为（ab0，为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 =r （r 0）（1）求曲线 C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；（2）若 bra，求由两曲线 C1与 C2交点围成的四边形面积的最大值选修 4-5：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式 x| xm| 2m （1）当 m=0 时，求该不等式的解集；（2）当 x 2，

9、3 时，该不等式恒成立，求m 的取值范围 2017 年山西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1设复数 z 满足 iz=1+2i，则 z 的共轭复数的虚部为（） Ai Bi C1 D1 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出【解答】解：iz=1+2i， iiz=i（1+2i），z=i+2 则 z 的共轭复数=2+i 的虚部为 1 故选： D 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考

10、查了推理能力与计算能力，属于基础题 2已知实数集 R，集合，则 M（?RN） =（） A 1，8）B（0，5C 1，5）D（0，8）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】集合 M 与 N 中不等式变形后，分别求出解集确定出M 与 N，求出 M 与 N 补集的并集即可【解答】解：M= x| 0x27 ，N= x| x1 或 x5 ，?RN= x| 1x5 ， M（?RN）=x| 0x5 ，故选 B 【点评】此题考查了交集及其运算，交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 3已知函数，a为实数，若 f（2x）f（x），则 x 的取值范围是（） A（， 1B（，

11、 1 C 1，+）D 1，+）【考点】分段函数的应用【分析】根据分段函数的单调性即可判断【解答】解：由题意可得函数f（x）在 R 上为单调递增函数， f（2x）f（x）， 2xx，解得 x1，故选： A 【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，属于基础题 4若双曲线的中心在坐标原点O，过 C 的右顶点和右焦点分别作垂直于x 轴的直线，交 C 的渐近线于 A，B 和 M，N，若 OAB 与OMN 的面积之比为 1：4，则 C 的渐近线方程为（） Ay=x BCy=2x Dy=3x 【考点】双曲线的简单性质【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得=，即可求出渐

12、近线方程【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则=， =4， =， C 的渐近线方程为 y= x，故选： B 【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题 5甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“ 三局两胜 ” 制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（） A B C D 【考点】条件概率与独立事件【分析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3 局的概率，即可得出结论【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为+ +=，其中比赛进行了 3 局的概率为+=，所求概率为=，故选 B 【点评】本题考

13、查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题 6 已知 P是圆 x 2+y2=R2 上的一个动点，过点 P 作曲线 C 的两条互相垂直的切线，切点分别为 M，N，MN 的中点为 E若曲线 C： +=1（ab0），且 R 2=a2 +b 2，则点 E 的轨迹方程为若曲线，且 R 2=a2b2，则点 E 的轨迹方程是（） A B C D 【考点】类比推理【分析】由椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算，即可得出结论【解答】解：由于椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算，即加法与减法互为逆运算，猜想双曲线对应的点E 的轨迹方程为，故选 A 【点评】本题考查类比推理，考查学生分

14、析解决问题的能力，正确类比是关键 7（+1） 7 的展开式中 x 3 的系数为（） A1 B1 C7 D7 【考点】二项式系数的性质【分析】化（+1） 7= 1+ （） 7，利用展开式通项公式 Tr+1，求出（） r 展开式中 x 3 项的系数即可【解答】解：（+1）7= 1+（） 7 的展开式通项公式为： Tr+1=（） r，对于（） r，通项公式为： Tm+1=（2） m ，令=3，得 r=6+3m；根据 0mr7，r、m 为自然数，求得 m=0，r=6；（+1） 7 展开式中 x3项的系数为（2） 0 =7 故选： D 【点评】本题考查了二项式展开式中通项公式的灵

15、活应用问题，是基础题 8已知椭圆与直线 y=x+3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆 C 的方程为（） A B C D 【考点】椭圆的简单性质【分析】将直线方程代入椭圆方程，由=0，求得 a 2 +b 2=9，由题意的离心率公式，求得=，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆的方程【解答】解：由题意可知：，整理得：（a 2+b2）x2+6a2 x+9a 2a2b2=0，则=0，则 36a 24（a2 +b 2）（9a2 a 2b2）=0，整理得： a2 +b 2=9，由题意的离心率 e=，则=，由，解得： a 2=5，b2=4，椭圆 C 的方程：，故选 B 【

16、点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题 9已知函数的部分图象如图所示，将函数 y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数 y=g（x）在区间上的最大值为（） A3 BCD 【考点】函数 y=Asin（x + ）的图象变换【分析】利用函数的图象求出T，利用周期公式求出，利用函数的图象经过的特殊点，集合的范围，求出得到函数的解析式，进而可求g（x）解析式，利用正弦函数的性质即可得解【解答】解：由图象可知 T=4 ，从而 =，将（，0），（ 0，）在函数图象上，| | ，可得： =，A=3，

17、f（x）=3sin（），可得： g（x）=3sin（x+） =3cos 由 x，可得：，，可得： 3cos 3，故选： C 【点评】本题考查由 y=Asin（x + ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （x + ）的图象变换，考查计算能力，属于基础题 10如图，在 ABC 中，AB=BC=，ABC=90 ，点 D 为 AC 的中点，将 ABD 沿 BD 折起到 PBD 的位置，使 PC=PD，连接 PC，得到三棱锥 PBCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（） AB3C5D7 【考点】球的体积和表面积【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正

18、三角形，且 BD平面 PCD，求出三棱锥 PBDC 外接球半径 R=，由此能示出该球的表面积【解答】解：由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形，且 BD平面 PCD，设三棱锥 PBDC 外接球的球心为 O， PCD外接圆的圆心为O1，则 OO1面 PCD，四边形 OO1DB 为直角梯形，由 BD=，O1D=1，及 OB=OD，得 OB=，外接球半径为 R=，该球的表面积 S=4 R 2=4 =7 故选： D 【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱锥的外接球的性质的合理运用 11运行如图所示的程序框图，输出的数称为“ 水仙花数 ” （算

19、术符号 MOD 表示取余数，如 11MOD2=1）下列数中的 “ 水仙花数 ” 是（） “ 水仙花数 ” 是三位数； 152是“ 水仙花数 ” ； 407是“ 水仙花数 ” A0 B1 C2 D3 【考点】程序框图【分析】根据本程序框图的含义是：a表示一个数的个位数， b 表示其十位数， c 表示其百位数；验证题目中的命题是否正确即可【解答】解：本程序框图的含义是：a表示一个数的个位数， b 表示其十位数， c 表示其百位数；对于， “ 水仙花数 ” 是三位数，即 100m=i999，正确；对于， 152是“ 水仙花数 ” ，由 1 3+53+23152，不正确；对于， 4

20、07是“ 水仙花数 ” ，即 407=4 3+03+73，正确；综上，正确的命题有2 个故选： C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是分析出程序的含义，是基础题 12已知函数（其中 k 为正整数， aR，a0），则 f（x）的零点个数为（） A2k2 B2k C2k1 D与 a 有关【考点】正弦函数的图象【分析】函数 f（x）零点的个数等于方程xcosxsinx=sinx，x（ k ，0）（0，k ）解的个数；设 y1=xcosxsinx，y2=sinx，利用导数研究两个函数的单调性与交点个数，即可求出答案【解答】解：函数 f（x）=xcosxsin

21、xsinx，x（ k ，0）（ 0，k ）的零点的个数等于方程 xcosxsinx=sinx，x（ k ，0）（ 0，k ）解的个数；设 y1=xcosxsinx，y2= sinx， y 1= xsinx，y1=xcosxsinx 在，（5 ，4 ），（3 ，2 ），（，0），（0，），（2 ，3 ），（4，5），上单调递减；在，（4 ，3 ），（ 2 ，），（，2 ），（3 ，4 ），上单调递增；如图中实线所示； y2=a，由 y1=xcosxsinx 的图象可得： a0 时，y2=sinx 的图象，如图中虚线所示；则函数 f（x）共有2k1个零点；由函数图象的对称

22、性可得，当 a0 时，函数 f（x）零点个数仍为 2k1 个故选： C 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点与方程根的应用问题，是难题二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13命题 “ ? xN，x 21” 的否定为 ? x 0N，x0 2 1 【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ ? xN，x 21” 的否定为 ? x0N，x021 故答案为： ? x0N，x0 21 【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是

23、基础题 14在ABC 中，已知 AB=2，AC=1，A=60 ，D 为 AB 的中点，则向量在上的投影为【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用余弦定理可得 BC，运用勾股定理逆定理，可得ACB=90 ， ABC=30 ，再由共线向量和向量的投影可得向量在上的投影为 | cos ，计算可得【解答】解：在 ABC 中，已知 AB=2，AC=1，A=60 ，由余弦定理可得 BC 2=AB2+AC22ABACcosA =4+1221=3，即有 BC=，由 AB 2=AC2+BC2，可得 ACB=90 ， ABC=30 ， D 为 AB 的中点，可得=，即有向量在上的投影为 | c

24、os，=1（）= 故答案为：【点评】本题考查解三角形的余弦定理和勾股定理的运用，考查向量的投影的概念和求法，考查运算能力，属于中档题 15在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且，则 AC 边上的高的最大值为3 【考点】余弦定理【分析】由已知及三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得： sinAcosB=sinAsinB，由 sinA0，可得 tanB=，结合 B（0，）可求 B，利用余弦定理，基本不等式可求12ac，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：由sin（A+B）=sinC，及 sinC=（sinA+cosA）sinB，可得：s

25、inAcosB=sinAsinB，由于 sinA0，可得： tanB=，结合 B（0，），可得： B=，由 b2=a 2+c22accosB ，可得： 12=a2+c2acac，可得： SABC=acsinB=ac3，又由 SABC=bh=h3，可得：h3，即AC边上的高的最大值为 3 故答案为： 3 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题 16某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体

26、是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体，分别计算体积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体，其直观图如图所示：四棱柱的底面面积为2，高为 2，故体积为 4；四棱锥的底面面积为2，高为，故体积为：，故组合体的体积 V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，棱柱的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档三、解答题：本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 17已知数列 an 满足，nN * ，等差数列 bn 满足 a1=2b1， a2=b2 （1）求 bn；（2）

27、记 cn=a2n1b2n1+a2nb2n，求 cn；（3）求数列 anbn 前 2n 项的和 S2n 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用二倍角公式化简an，可得 an=求出数列 bn的首项和公差，则通项公式可求；（2）直接把 an 、 bn 的通项公式代入求解；（3）由（ 2）知，数列 cn 是以 36 为公差的等差数列，再由等差数列的前n 项和公式得答案【解答】解：（ 1）由=2+1+cosn=3 +cosn= 于是，，b 2=a2=4，等差数列 bn的公差为 3，则 bn=1+3（n1）=3n2；（2）cn=a2n1b2n1 +a 2nb2n=2 3

28、（2n1）2+4 32n2 =36n18；（3）由（ 2）知，数列 cn 是以 36 为公差的等差数列，则 S2n=a1b1+a2b2+a2n1b2n1+a 2nb2n = 【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题 18某种多面体玩具共有12 个面，在其十二个面上分别标有数字 1，2，3， 12若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等抛掷该玩具一次，记事件A=“ 向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=3 2，9 是完全平方数） ” （1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定

29、：甲抛掷一次，若事件 A 发生，则向上一面的点数的6 倍为甲的得分；若事件 A 不发生，则甲得 0 分；乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“ 向上一面的点数不超过k（1k12）” ，若事件 A 与 B 相互独立，试求出所有的整数k 【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式【分析】（1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，X 的可能取值为 6，24，54，0，分别求出相应的概率，从而能求出

30、甲得分的期望；Y 的可能取值为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且 P（Y=i）=，i=1，2，3，12由此能求出乙得分的期望（ii）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：P=P（X=6， 1Y6）+P（X=24）+P（X=54），由此能求出结果（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12 个，则事件 A 包含 3 个基本事件，推导出 B 事件包含的基本事件数必为4 的倍数，即 k4，8，12 ，由此进行分类讨论经，能求出k 的所有值【解答】解：（ 1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，则 X 的可能取值为 6，24，54，0

31、，当 X=6 时，向上的点数为 1，P（X=6）=，当 X=24 时，向上的点数为4，P（X=24）=，当 X=54 时，向上的点数为9，P（X=54）=，当 X=0 时，向上的点数为 42，52，12 2，有种情况， P（X=0）= ， X 的分布列为： X624540 P 甲得分的期望为E（X）=7 Y 的可能取值为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且 P（Y=i）=，i=1，2，3，12 Y 的分布列为： Y12 3456789101112 P 乙得分的期望为E（Y）=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）= （ii）甲、乙二人各抛掷该玩

32、具一次，甲的得分不低于乙的概率为： P=P（X=6，1Y6）+P（X=24）+P（X=54）= （2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12 个，记事件 A=“ 向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如 9=32，9 是完全平方数） ” 记事件 B=“ 向上一面的点数不超过k（1k12）” ，则事件 A 包含 3 个基本事件，（ 1 点，4 点，9 点），记 n（AB），n（B）分别表示事件AB，B 包含的基本事件个数，由 P（AB）=P（A）P（B）及古典概率模型，得： =，n（B）=4n（AB）， B 事件包含的基本事件数必为4 的倍数，即 k4，8，12，当

33、 k=4 时，n（B）=4，AB= 1，4，n（AB）=2，不符合，当 k=8 时，n（B）=8，AB= 1，4，n（AB）=2，符合，当 k=12 时，n（B）=12，AB=1，4，9 ，n（AB）=3，符合，故 k 的所有值为 8 或 12 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查概率的求法，考查满足条件的整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意古典概率模型的合理运用 19在三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC=2，ACB=120 ，D 为 A1B1的中点（1）证明： A1C平面 BC1D；（2）若 A1A=A1C，点 A1在平面 ABC 的射影在

34、 AC 上，且 BC 与平面 BC1D 所成角的正弦值为，求三棱柱 ABCA1B1C1的高【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（）连结 B1C 交 BC1于点 E，连结 DEDEA1C，得 A1C平面 BC1 D；（）取 AC 的中点 O，连结 A1O，点 A1在面 ABC 上的射影在 AC 上，且 A1A=A1C则 A1O面 ABC，则可建立如图的空间直角坐标系Oxyz，设 A1O=a求出面 BC1D 的法向量，由 BC 与平面 BC1D 所成角的正弦值为，即| cos| =| =，可得 a= 【解答】解：（）证明：连结 B1C 交 BC1于点 E，连结

35、 DE 则 E 是 B1C 的中点，又 D 为 A1B1，所以 DEA1C1，且 DE? 面 BC1D， A1C?BC1D， A1C平面 BC1 D；（）取 AC 的中点 O，连结 A1O，点 A1在面 ABC 上的射影在 AC 上，且 A1A=A1C A1O面 ABC，则可建立如图的空间直角坐标系Oxyz，设 A1O=a AC=BC=2，ACB=120 ，则 B（2，0），C（1，0，0），C1（2， 0，a），D（，a），设为面 BC1D 的法向量，取 y=a，则，由 BC 与平面 BC1D 所成角的正弦值为，即 | cos | =| | = ，可得 a= 三棱柱 ABC

36、A1B1C1的高【点评】本题考查了空间线面平行，向量法求空间角，空间想象能力、计算能力，属于中档题 20已知抛物线 C：y 2=4x，直线 l：x=1 （1）若曲线 C 上存在一点 Q，它到 l 的距离与到坐标原点的距离相等，求Q 的坐标；（2）过直线 l 上任一点 P 作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线 AB 过定点【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）设 Q（x，y），则（ x+1） 2=x2+y2，即 y2=2x+1，与抛物线方程联立，得 Q 的坐标；（2）先通过特例求出定点，再证明一般性结论【解答】（1）解：设 Q（x，y），则（ x+1） 2

37、=x2 +y 2，即 y2=2x+1，与抛物线方程联立，得Q（，）；（2）证明：设直线方程为yt=k（x+1）（k0），代入抛物线方程整理得ky 2 4y+4t+4k=0， =0，可得 k 2+kt1=0 特别地， t=0，k=1，这时切点为 A（1，2），B（1，2），AB 过定点 F（1， 0）一般地， k1 +k 2=t，k1k2=1，切点为 A（，），B（，）， =（ 1，）， =（ 1，），（1）=1）=0，， AB 过点 F（1，0），综上所述，直线 AB 过点 F（1，0）【点评】本题考查轨迹方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 21已知

38、函数（1）若函数为减函数，求 a的取值范围；（2）若 f（x）0 恒成立，证明： a1b 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数 g（x）的导数，根据g（x）0，分离参数 a，求出 a 的范围即可；（2）求出函数 f （x）的导数，令 y=ax2+x+1，通过讨论 a的范围，令 x0=，根据函数的单调性得到 b ax0lnx0，a= ，从而证出结论即可【解答】解：（ 1）g（x）=f（x）+=lnx+ax+b，x0， g（x）=+a，x0， g（x）为减函数， g （x）0，即 a=， a；（2）证明： f （x）=+a=

39、，（x0），令 y=ax2+x+1， a0 时，f （x）0，函数 f（x）在（ 0，+）递增，不满足 f（x）0 恒成立，当 a0 时， =14a0，由 ax2+x+1=0，得 x= 0 或 x= 0，设 x0=，函数 f（x）在（ 0，x0）上递增，在（ x0，+）递减，又 f（x）0 恒成立，故 f（x0）0，即 lnx0+ax0+b0，由上式得 b ax0lnx0，由 a+x0+1=0 得 a=， a+bax0lnx0=lnx0+1，令 t=，t0，h（t）=lnt+tt2+1， h（t）=， 0t1 时，h（t）0，函数 h（t）在（ 0，1）递增， t1 时，

40、h （t）0，函数 h（t）在（ 1，+）递减， h（t）h（1）=1，故 a+b1，即 a1b 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题请考生在第 22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑选修 4-4：参数方程与极坐标系 22已知曲线 C1的参数方程为（ab0，为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 =r （r 0）（1）求曲线 C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；

41、（2）若 bra，求由两曲线 C1与 C2交点围成的四边形面积的最大值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）方程化为普通方程，即可讨论两曲线公共点的个数；（2）若 bra，两曲线均关于 x，y 轴、原点对称，四边形也关于x，y 轴、原点对称，即可求由两曲线C1与 C2交点围成的四边形面积的最大值【解答】解：（1）曲线 C1的参数方程为（ab0，为参数），普通方程为+=1，曲线 C2的极坐标方程为 =r （r0），直角坐标方程为x2+y2=r2， r=a或 b 时，两曲线有两个公共点； bra 时，两曲线有四个公共点； 0rb 或 ra 时，两曲

42、线无公共点；（2）两曲线均关于 x，y 轴、原点对称，四边形也关于 x，y 轴、原点对称，设四边形位于第一象限的点为（acos ，bsin ），则四边形的面积为S=4acosbsin =2absin22ab，当且仅当 sin2 =1，即 =45时，等号成立【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，考查三角函数知识的运用，属于中档题选修 4-5：不等式选讲 23（2017山西一模）已知关于x 的不等式 x| xm| 2m （1）当 m=0 时，求该不等式的解集；（2）当 x 2，3 时，该不等式恒成立，求m 的取值范围【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解

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