2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)含答案解析.pdf

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1、第 1 页（共 18 页） 2019 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题 ( 本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1设 i 为虚数单位，则复数的虚部是（） A3i B 3i C3 D 3 2记集合A= x| x a0，B=y| y=sinx，x R，若 0A B，则 a 的取值范围是（ ） A （ ，0）B （ ，0 C 0，+）D （0，+） 3某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（） A圆柱 B圆锥 C棱锥 D 棱柱 4二项式（ x2） 5 展开式中x 的系数为（） A5 B16 C80 D 8

2、0 5已知数列的前4 项为 2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） Aan=（ 1） n1 +1 Ban= Can=2sinDan=cos（n1） +1 6考生甲填报某高校专业意向，打算从5 个专业中挑选3 个，分别作为第一、第二、第三 志愿，则不同的填法有（） A10 种B60 种 C125 种D243 种 7某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表 使用智能手机不使用智能手机合计 学习成绩优秀4 8 12 学习成绩不优秀16 2 18 合计20 10 30 附表： p （K 2k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0

3、05 0.001 k02.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算 K 2=10，则下列选项正确的是： （） A有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 8函数 y=sin（ x） ， x 2 ，2 的单调递增区间是（） A ，B2 ， C，2 D 2 ， 和，2 9非负实数x、 y 满足 ln（x+y1） 0，则关于 xy 的最大值和最小值分别为（） A2 和 1 B2 和 1 C1

4、 和 1 D2 和 2 第 2 页（共 18 页） 10如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（） A0.7 B0.75 C0.8 D0.9 11已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于 f（ x） ，g（ x）的语句为假命题的是（） A? xR，f（x） g（x） B? x1 ，x 2R， f（x1） g（x2） C? x0R，f（x0）=g（ x0） D? x0 R，使得 ? x R， f（x0） g（x0） f（x） g（ x） 12已知双曲线C1： =1（a0，b0）经过抛物线C2 ：y 2=2px （p0）的焦点， 且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角

5、形，则双曲线C1的离心率是（） A2 B C D 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13=_ 14 ABC 的周长等于2（sinA+sinB+sinC） ，则其外接圆半径等于_ 15M，N 分别为双曲线=1 左、右支上的点， 设是平行于x 轴的单位向量， 则 | ?| 的最小值为 _ 16已知 f（x）是定义在R 上的偶函数，令 F（x）=（xb）f（xb）+2019，若 b 是 a、 c 的等差中项，则F（a）+F（c）=_ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17已知数列 an满足 a1+ + =2n+1 （1）求 an的

6、通项公式； （2）求 an的前 n 项和 第 3 页（共 18 页） 18空气质量指数（Air Quality Index ，简称 AQI ）是定量描述空气质量状况的质量状况的 指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050 为优； 51100 为良 101150 为轻度污染； 151200 为中度污染；201300 为重度污染；300 为严重污染 一环保人士记录去年某地某月10 天的 AQI 的茎叶图如图 （）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI 100）的天数；（按这个月总共30 天） （）将频率视为概率，从本月中随机抽取3 天，记空气质量优良的天数为 ，求 的概率 分布列和数学期望

7、 19如图，矩形 BDEF 垂直于正方形ABCD ， GC 垂直于平面ABCD ， 且 AB=DE ， CG=DE （1）证明：面GEF面 AEF； （2）求二面角BEG C 的余弦值 20已知椭圆C1： +=1（a b0）的离心率为，P（ 2，1）是 C1上一点 （1）求椭圆C1的方程； （2）设 A， B，Q 是 P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线 l 交 C1 于异于 P、Q 的两点 C， D，点 C 关于原点的对称点为E证明：直线PD、PE 与 y 轴围成 的三角形是等腰三角形 21已知函数f（x）=alnx+x 2ax（a 为常数）有两个极值点 （1）求实数a

8、 的取值范围； （2）设 f（x）的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2） （x1+x2）恒成立， 求 的最小值 请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时， 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。 选修 4-1：几何证明选讲 22如图， C，D 是以 AB 为直径的半圆上两点，且= （1）若 CDAB ，证明：直线AC 平分 DAB ； （2）作 DEAB 交 AC 于 E，证明： CD 2=AE ?AC 第 4 页（共 18 页） 选修 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，

9、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 24 cos +3=0， 0，2 （1）求 C1的直角坐标方程； （2）曲线 C2的参数方程为（t 为参数），求 C1与 C2的公共点的极坐标 选修 4-5：不等式选讲 24设 、 、 均为实数 （1）证明： | cos（ + ）| | cos |+| sin | ；| sin（ + ）| | cos |+| cos | （2）若 + + =0证明： | cos |+| cos |+| cos | 1 第 5 页（共 18 页） 2019 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 ( 本大题共12 小题，每

10、小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1设 i 为虚数单位，则复数的虚部是（） A3i B 3i C3 D 3 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】 解：复数=3i+2 的虚部是 3 故选： D 2记集合A= x| x a0，B=y| y=sinx，x R，若 0A B，则 a 的取值范围是（ ） A （ ，0）B （ ，0C 0，+）D （0，+） 【考点】 交集及其运算 【分析】 表示出 A 中不等式的解集确定出A，根据 0 属于 A 与 B 的交集，确定出a 的范围 即可 【解答】 解：由 A 中不等式

11、解得：xa，即 A= （a，+） ， 由 B 中 y=sinx，得到 1 y1，即 B= 1，1， 由 0A B，得到 a0， 则 a 的范围是（ ， 0） ， 故选： A 3某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（） A圆柱 B圆锥 C棱锥 D 棱柱 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形，即可得出结论 【解答】 解：圆锥的三视图中一定不会出现正方形， 该空间几何体不可能是圆锥 故选： B 4二项式（ x2） 5 展开式中x 的系数为（） A5 B16 C80 D 80 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 二项式（ x2） 5

12、 展开式中 x 的项为，即可得出 【解答】 解：二项式（ x 2）5展开式中x 的项为=80x ， 因此系数为80 故选： C 第 6 页（共 18 页） 5已知数列的前4 项为 2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） Aan=（ 1） n1+1 Ban= Can=2sinDan=cos（n1） +1 【考点】 数列的概念及简单表示法 【分析】 令 n=1，2，3，4 分别代入验证：即可得出答案 【解答】 解：令 n=1， 2，3，4 分别代入验证：可知C：a3=2，因此不成立 故选： C 6考生甲填报某高校专业意向，打算从5 个专业中挑选3 个，分别作为第一、第二、第三 志愿，

13、则不同的填法有（） A10 种B60 种 C125 种D243 种 【考点】 计数原理的应用 【分析】 从中选 3 个并分配到3个志愿中，问题得以解决 【解答】 解：从中选3 个并分配到3 个志愿中，故有A53=60 种， 故选： B 7某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表 使用智能手机不使用智能手机合计 学习成绩优秀4 8 12 学习成绩不优秀16 2 18 合计 20 10 30 附表： p （K 2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k02.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87

14、9 10.828 经计算 K 2=10，则下列选项正确的是： （） A有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 根据观测值K 2，对照数表，即可得出正确的结论 【解答】 解：因为7.879 K2=1010.828， 对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 故选： A 8函数 y=sin（ x） ， x 2 ，2 的单调递增区间是（） A ， B2 ， 第 7 页（共 18 页

15、） C，2 D 2 ， 和，2 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论 【解答】 解：函数 y=sin（x）=sin （ x ） ，令 2k + x 2k +， 求得 4k +x4k +，故函数y 的增区间为 4k +，4k + ，k Z 再结合 x 2 ，2 ，可得函数的单调递增区间是： 2 ， 、，2 ， 故选： D 9非负实数x、 y 满足 ln（x+y1） 0，则关于 xy 的最大值和最小值分别为（） A2 和 1 B2 和 1 C1 和 1 D2 和 2 【考点】 简单线性规划；对数函数的图象与性质 【分析】 作出不等式

16、组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可 【解答】 解：由题意得， 作出不等式组对应的平面区域如图： 设 z=x y，由 z=xy，得 y=xz 表示，斜率为1 纵截距为 z 的一组平行直线， 平移直线y=xz，当直线y=xz 经过点 C（2，0）时，直线y=x z 的截距最小，此时z 最大， 最大为 zmax=20=2 当直线经过点A（0，2）时，此时直线y=xz 截距最大， z 最小 此时 zmin=02= 2 故选： D 10如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（） 第 8 页（共 18 页） A0.7 B0.75 C0.8 D0.9 【考点】 程序框图 【分析】

17、模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S= +的值，结合选项，只有当S 的值为 0.7 时， n 不是正整数，由此得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数 n， 求+的值 S，并输出S， 由于 S= +=1+ +=1=， 令 S=0.7，解得 n=，不是正整数，而n 分别输入 2，3，8 时，可分别输出0.75，0.8，0.9 故选： A 11已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于 f（ x） ，g（ x）的语句为假命题的是（） A? xR，f（x） g（x） B? x1 ，x 2R， f（x1） g（x2） C? x0R，f（x0）=g（ x

18、0） D? x0 R，使得 ? x R， f（x0） g（x0） f（x） g（ x） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可 【解答】 解：设 h（x）=f（x） g（x） ，则 h（x）=exx1， 则 h （x）=ex1， 当 x0 时， h （x） 0，h（x）单调递减， 当 x0 时， h （x） 0，则 h（x）单调递增， 即当 x=0 时，函数h（ x）取得极小值同时也是最小值h（0）=0， 即 h（x） 0，即 ? xR，f（x） g（x）不一定成立，故A 是假命题， 故选： A 第 9 页（共 18 页） 12已知双曲线C1： =1

19、（a0，b0）经过抛物线C2 ：y 2=2px （p0）的焦点， 且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（） A2 B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点坐标和准线方程，可得p=2a，求得双曲线的渐近线方程，联立 准线方程，可得等边三角形的边长和高，可得a=b，由 a，b，c 的关系和离心率公式， 计算即可得到所求值 【解答】 解：抛物线C2 ：y 2=2px （p0）的焦点为（ ，0） ， 由题意可得a=， 双曲线 C1：=1 的渐近线方程为y=x， 抛物线的准线方程为x=， 代入渐近线方程可得交点为（a，b） ， （ a， b）

20、 ， 由双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形， 可得边长为2b，高为 a， 即有 a=b，c= = a， 即有 e= 故选： D 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13 =e1 【考点】 定积分 【分析】 由于=，即可得出答案 【解答】 解：（ ex） =ex， =e1 故答案为e1 14 ABC 的周长等于2（sinA+sinB+sinC） ，则其外接圆半径等于 1 【考点】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理得出a，b，c 和外接圆半径R 的关系，根据周长列出方程解出 R 【解答】 解：设 ABC 的三边分别为a，b，c，外接圆半径

21、为 R， 由正弦定理得， 第 10 页（共 18 页） a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC， a+b+c=2（ sinA+sinB+sinC） ， 2RsinA +2RsinB +2RsinC=2（sinA +sinB+sinnC） ， R=1 故答案为： 1 15M，N 分别为双曲线=1 左、右支上的点， 设是平行于x 轴的单位向量， 则 | ?| 的最小值为4 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可 【解答】 解：由向量数量积的定义知?即向量在向量上的投影 | 模长的乘积，故 求|?| 的最小值， 即求在 x 轴上的投影

22、的绝对值的最小值， 由双曲线的图象可知|?| 的最小值为4， 故答案为： 4 16已知 f（x）是定义在R 上的偶函数，令F（x）=（xb）f（xb）+2019，若 b 是 a、 c 的等差中项，则F（a）+F（c）= 4028 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 令 g（x）=xf （x） ，则 g（x）是奇函数，由等差数列得ab=（ cb） ，故而 F （a）+F（c）=g（ ab）+g（cb） +4028=4028 【解答】 解： F（a）+F（c）=（ab）f（ab）+2019+（cb） f（cb） +2019 b 是 a、c 的等差中项，ab=（ cb） ， 令 g（x）=xf （

23、x） ，则 g（ x）=xf（ x）=xf（x） =g（x） g（x）=xf （x）是奇函数， （ ab）f（ ab）+（ cb）f（ cb）=0， F（a）+F（b）=2019+2019=4028 故答案为： 4028 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17已知数列 an满足 a1+ + =2n+1 （1）求 an的通项公式； 第 11 页（共 18 页） （2）求 an的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】（1）当 n=1，a1=4，当 n2，2a1+ +=2n+1，a1+ +=2 n，两式相 减得到（n2） ，写出通项公式an， （2）是由等比数列

24、和等差组成的数列，采用乘以公比错位相减法，求得前n 项和 【解答】 当 n=1 时，由题意可知a1=4， 当 n2，2a1+ +=2n+1， a1+ + +=2n， 两式相减：=2 n+1 2 n， （n 2） ， 故 an 的通项公式为 a n = ， （2） an的前 n 项和为 Sn， ， ， 两式相减得： Snn2n+1（ 22+23+ +2n） ， =n 2 n+14（2n11） ， =（n1） ?2n+1+4， an的前 n 项和 Sn（ n 1）?2n+1+4 18空气质量指数（Air Quality Index ，简称 AQI ）是定量描述空气质量状况的质量状况的 指数，空气质

25、量按照AQI 大小分为六级，050 为优； 51100 为良 101150 为轻度污染； 151200 为中度污染；201300 为重度污染； 300 为严重污染 一环保人士记录去年某地某月10 天的 AQI 的茎叶图如图 （）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI 100）的天数；（按这个月总共30 天） （）将频率视为概率，从本月中随机抽取3 天，记空气质量优良的天数为 ，求 的概率 分布列和数学期望 第 12 页（共 18 页） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （1）从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为

26、4， 由此能求出该样本中空气质量优良的频率，从而能估计该月空气质量优良的天数 （2）估计某天空气质量优良的概率为， 的所有可能取值为0，1，2，3，且 B（3，） ， 由此能求出 的概率分布列和数学期望 【解答】 解： （1）从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为 2， 空气质量良的天数为4， 该样本中空气质量优良的频率为， 从而估计该月空气质量优良的天数为 30 =18 （2）由（ 1）估计某天空气质量优良的概率为， 的所有可能取值为0，1，2，3， 且 B（3，） ， P（ =0）=（） 3= ， P（ =1）=， P（=2）= ， P（ =3）=（） 3= ， 的分布列为： 0 1

27、 2 3 P E =3=1.8 19如图，矩形 BDEF 垂直于正方形ABCD ， GC 垂直于平面 ABCD ， 且 AB=DE ， CG=DE （1）证明：面GEF面 AEF； （2）求二面角BEG C 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 第 13 页（共 18 页） 【分析】 （1） 设 EF 中点为 M， 连结 AM ， GM， AG ， AC ， 设 CG=1，求出 AG=3 ， FG=EG=， AF=AE=2，AM=，GM=，从而 AM GM ，再求出 AM EF，由此能证明平面GEF 平面 AEF （2）如图，延长EG、DC，设交点为H，作 CN GH

28、，作 CNGH，垂足为N，连结 BN ， 推导出 BNC 是二面角 BEGC 的平面角，由此能求出二面角BEGC 的余弦值 【解答】 证明： （1）如图，设EF 中点为 M，连结 AM ，GM，AG，AC ，设 CG=1， CG面 ABCD ， CGAG， 在 RtACG 中， AG= =3， 在直角梯形FBCG 和 EDCG 中， FG=EG=， 在 RtABF 和 RtGEF 中， AF=AE=2， 在等腰 AEF 中， AM=， 在等腰 GEF 中， GM=， 在 AMG 中， AM 2+GM2=AG2， AM GM， M 是等腰 AEF 底边中点，AM EF， GM EF=M ， AM

29、 平面 GEF， AM ? 平面 GEF，平面GEF平面 AEF 解： （2）如图，延长EG、 DC，设交点为 H， 作 CNGH，作 CNGH，垂足为N，连结 BN， BCCG，BCDC，CG DC=C， BC面 EDH ， BCEH，又 CNGH，即 CNEH， BC CN=C ， EH平面 BCN ， BCDH ，BCEH，DH EH=H ， BC平面 EDH ， BCEH，又 EGGH， EG平面 BCN， EGBN ， BNC 是二面角BEGC 的平面角， CG=1， CN= ， 在 RtBCN 中， BN=， cosCNB= ， 二面角 BEGC 的余弦值为 第 14 页（共 18

30、 页） 20已知椭圆C1： +=1（a b0）的离心率为，P（ 2，1）是 C1上一点 （1）求椭圆C1的方程； （2）设 A， B，Q 是 P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线 l 交 C1 于异于 P、Q 的两点 C， D，点 C 关于原点的对称点为E证明：直线PD、PE 与 y 轴围成 的三角形是等腰三角形 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P 满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程； （2）设 A（ 2， 1） ，B（2，1） ，Q（2， 1） ，设直线l 的方程为y=x+t，代入椭圆方 程，设 C（x1，y1） ，D（ x2，y2

31、） ，E（ x1， y1） ，运用韦达定理，设直线 PD，PE的斜率 为 k1，k2，要证直线PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整 理，代入韦达定理，即可得证 【解答】 解： （1）由题意可得e=，且 a2b2=c2， 将 P（ 2，1）代入椭圆方程可得+=1， 解得 a=2，b=，c=， 即有椭圆方程为+=1； （2）证明： A，B， Q 是 P（ 2，1）分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点， 可设 A（ 2， 1） ，B（2，1） ，Q（2， 1） ， 直线 l 的斜率为k=，设直线l 的方程为y=x+t， 代入椭圆x2 +4y 2=8，可得 x2+

32、2tx+2t24=0， 设 C（x1，y1） ， D（ x2，y2） ，E（ x1， y1） ， 即有 =4t24（2t 24） 0，解得 2t2， x1+x2=2t，x1x2=2t24， 设直线 PD， PE的斜率为k1 ，k 2， 则 k1+k2= +=， 要证直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证 k1 +k 2=0，即（ 2x1） （y21）（ 2+x2） （y1+1）=0， 第 15 页（共 18 页） 由 y 1= x1+t， y2=x2+t， 可得（ 2x1） （y21）（ 2+x2） （y1+1）=2（y2y1）（ x1y2 +x 2y1）+x1 x 2

33、 4 =x2 x 1（ x1x2 +tx 1 +tx 2）+x1 x 24= x1x2t（x1 +x 2） 4 =（ 2t24）+2t2 4=0， 则直线 PD、 PE与 y 轴围成的三角形是等腰三角形 21已知函数f（x）=alnx+ x 2ax（a 为常数）有两个极值点 （1）求实数a 的取值范围； （2）设 f（x）的两个极值点分别为x1 ，x 2，若不等式 f（x1）+f（x2） （x1 +x 2）恒成立， 求 的最小值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数 的最值 【分析】（1）f（x） =且 f（x）=0 有两个不同的正根，即x 2ax

34、+a=0 两个不同 的正根，即可求实数a 的取值范围； （2）利用韦达定理，可得=lnaa1，构造函数，确定函数的单调性， 求出其范围，即可求的最小值 【解答】 解： （1）由题设知，函数f（x）的定义域为（0，+） ， f（x）=且 f（x）=0 有两个不同的正根，即 x 2ax+a=0 两个不同的正根 x1，x2， （x1 x2） 则， a4， （0，x1） ，f （x） 0， （x1，x2） ，f （ x） 0， （x2，+） ，f （x） 0， x 1 ， x 2是 f（x）的两个极值点，符合题意， a4； （2）f（x1）+f（x2）=alnx 1+ x12ax1+alnx2+x22

35、ax2=a（lna a1） ， =lnaa1， 令 y=lnaa1，则 y =， a4， y 0， 第 16 页（共 18 页） y=lnaa1 在（ 4，+）上单调递减， yln43， 不等式f（x1）+f（x2） （x1 +x 2）恒成立， x1 +x 20， 是 的最小值ln43 请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时， 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。 选修 4-1：几何证明选讲 22如图， C，D 是以 AB 为直径的半圆上两点，且= （1）若 CDAB ，证明：直线AC 平分 DAB ； （2）作 DEAB 交 A

36、C 于 E，证明： CD 2=AE ?AC 【考点】 与圆有关的比例线段；弦切角 【分析】（1）证明：直线AC 平分 DAB ，只要证明 DAC= BAC ，利用平行线的性质及 等弧对等角即可； （2）作 DEAB 交 AC 于 E，证明： ADE ACD ，即可证明CD 2=AE ?AC 【解答】 证明： （1） CD AB， DCA= BAC ， =， DAC= DCA ， DAC= BAC ， 直线 AC 平分 DAB ； （2） DEAB， ADE + DAB=90 ， AB 为直径， DBA +DAB=90 ， ADE= ABD ， ABD= DCA ， ADE= ACD ， ADE

37、 ACD ， AD 2=AE ?AC ， AD=DC ， CD 2=AE ?AC 选修 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 24 cos +3=0， 0，2 （1）求 C1的直角坐标方程； 第 17 页（共 18 页） （2）曲线 C2的参数方程为（t 为参数），求 C1与 C2的公共点的极坐标 【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【分析】（1）把 2=x2 +y 2，x= cos ，代入曲线 C1的极坐标方程可得直角坐标方程 （2）由曲线 C2的参数方程为 （t 为参数），可知

38、：此条直线经过原点，倾斜角 为因此 C1的极坐标方程为：，或（ 0） 分别代入C1的极坐标方 程即可得出 【解答】 解： （1）把 2=x2 +y 2，x= cos ，代入曲线 C1的极坐标方程 24 cos +3=0， 0， 2 ， 可得： x2 +y 24x+3=0，配方为：（x2）2 +y 2=1 （2）由曲线 C2的参数方程为 （t 为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角 为因此 C1的极坐标方程为： ，或（ 0） 将代入 C1可得： 2 2 +3=0，解得 = 将代入 C1可得： 2 +2 +3=0，解得 =，舍去 故 C1与 C2的公共点的极坐标为 选修 4-5：不等式选讲 24

39、设 、 、 均为实数 （1）证明： | cos（ + ）| | cos |+| sin | ；| sin（ + ）| | cos |+| cos | （2）若 + + =0证明： | cos |+| cos |+| cos | 1 【考点】 绝对值三角不等式 【分析】（1）利用和的余弦、正弦公式，结合三角不等式，即可证明结论； （2）由（ 1）可得 | cos +（ + =| cos |+| sin（ + ）| | cos |+| cos |+| cos | ，即可证明 结论 【解答】 证明： （1）| cos（ + ）| =| cos cos sin sin | | cos cos |+| sin sin | | cos |+| sin | ； | sin（ + ）| =| sin cos cos sin | | sin cos |+| cos sin | | cos |+| cos | （2）由（ 1）可得 | cos +（ + ） | cos |+| sin（ + ）| | cos |+| cos |+| cos | ， + + =0， | cos + + =1 | cos |+| cos |+| cos | 1 第 18 页（共 18 页） 2019 年 9 月 12 日