江苏省南通市高三数学第一次模拟考试试题.pdf

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1、1 2019届高三年级第一次模拟考试 数学 (满分 160 分，考试时间120 分钟 ) 参考公式： 柱体的体积公式：V柱体Sh，其中S为柱体的底面积，h为高 . 一、填空题：本大题共14 小题 ， 每小题 5 分，共计 70 分 . 1. 已知集合A1 ，3 ，B 0，1 ，则集合AB. 2. 已知复数z 2i 1i 3i(i为虚数单位 ) ，则复数 z 的模为. 3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二 (1) 班 50 名学生参加活动的次数统计如下： 次数2 3 4 5 人数20 15 10 5 则平均每人参加活动的次数为. 4. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为. 5. 有数

2、学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参 加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为. 6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm，侧面的对角线长是35cm，则这个正四棱柱的体 积为cm 3. 7. 若实数 x，y 满足 xy2x3，则 xy 的最小值为. 8. 在平面直角坐标系xOy 中， 已知抛物线y 22px(p0) 的准线为 l ， 直线 l 与双曲线 x2 4 y 21 的两条渐近线分别交于 A，B两点， AB 6，则 p 的值为. 9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y3xt 与曲线 y asinxbcosx(a ， b，t R) 相切于点 (0，1) ，则 (ab)

3、t的值为。 10. 已知数列 an是等比数列，有下列四个命题： 2 数列 |a n| 是等比数列； 数列 anan1是等比数列； 数列 1 an 是等比数列； 数列 lg a2 n是等比数列 . 其中正确的命题有个. 11. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x). 当 0b0) 的左焦点为 F，右顶点为A，上 顶点为 B. (1) 已知椭圆的离心率为 1 2，线段 AF中点的横坐标为 2 2 ，求椭圆的标准方程； (2) 已知 ABF的外接圆的圆心在直线y x 上，求椭圆的离心率e 的值 . 18. (本小题满分16 分) 如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形AB

4、CD ，AB，AD的长分别为23 m和 4 m， 上部是圆心为O的劣弧 CD ， COD 2 3 . (1) 求图 1 中拱门最高点到地面的距离； (2) 现欲以点B为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直， 如图 2、图 3、图 4 所示 .设 BC与地面水平线l 所成的角为. 记拱门上的点到地面的最大距 离为 h，试用 的函数表示h，并求出h 的最大值 . 5 6 19. ( 本小题满分16 分 ) 已知函数f(x) a xln x(a R). (1) 讨论函数f(x) 的单调性； (2) 设函数f(x) 的导函数为f(x) ，若函数f(x) 有两个不相同的零点x

5、1，x2. 求实数a的取值范围； 证明：x1f(x1) x2f(x2)2ln a2. 20. (本小题满分16 分) 已知等差数列an满足 a44，前 8 项和 S836. (1) 求数列 an的通项公式； (2) 若数列 bn满足 k1 n(b ka2n12k) 2an 3(2 n1)(n N*). 证明： bn 为等比数列； 求集合（m ，p）| am bm 3ap bp ，m ，pN*. 7 2019 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题 ( 本部分满分40 分，考试时间30 分钟 ) 21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按 作答的前两小题评分

6、.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4-2 ：矩阵与变换( 本小题满分10 分 ) 已知矩阵M ab cd ，N 10 0 1 2 ，且 (MN) 1 1 4 0 02 ，求矩阵M. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程( 本小题满分10 分) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 xt ， yt2 (t为参数 ). 以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin 4 2. 求： (1) 直线l的直角坐标方程； (2) 直线l被曲线C截得的线段长. C. 选修 4-5 ：不等式选讲( 本小题满分10 分 ) 8 已知实数a，b，c满足a 2

7、 b 2 c 21，求证： 1 a21 1 b21 1 c21 . 9 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 22. ( 本小题满分10 分) “回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553 等. 显然 2 位“回文数”共9 个： 11，22，33， 99. 现从 9个不同的2 位“回文数”中任取1 个乘以 4，其结果记为X；从 9 个不同的2 位“回文数”中任取2 个相加，其结果记为Y. (1) 求 X为“回文数”的概率； (2) 设随机变量 表示 X，Y 两数中“回文数”的个数，

8、求 的概率分布和数学期望 E(). 23. (本小题满分10 分) 设集合 B是集合 An1 ，2，3， 3n2，3n1，3n ，nN *的子集 . 记集合 B中所有 元素的和为S(规定：集合B为空集时，S0). 若S为 3 的整数倍， 则称B为An的 “和谐子集” . 求： (1) 集合A1的“和谐子集”的个数； (2) 集合An的“和谐子集”的个数. 10 2019 届高三年级第一次模拟考试( 南通 ) 数学参考答案 1. 0，1， 3 2.5 3. 3 4. 7 5. 2 3 6. 54 7. 6 8. 26 9. 4 10. 3 11. 2 12. 25 13.4， 4 3 14. 3

9、37 15. (1) 在四棱锥PABCD 中， M ，N分别为棱PA ，PD的中点， 所以 MN AD.(2 分 ) 又底面 ABCD 是矩形， 所以 BC AD. 所以 MN BC.(4 分 ) 又 BC ? 平面 PBC ， MN ?平面 PBC ， 所以 MN 平面 PBC.(6 分) (2) 因为底面ABCD 是矩形， 11 所以 AB AD. 又侧面 PAD 底面 ABCD ，侧面 PAD 底面 ABCD AD ，AB ? 底面 ABCD ， 所以 AB 侧面 PAD.(8 分) 又 MD ? 侧面 PAD ， 所以 AB MD.(10 分) 因为 DA DP ，又 M为 AP的中点

10、， 从而 MD PA.(12 分) 又 PA ，AB在平面 PAB内， PA AB A， 所以 MD 平面 PAB.(14 分) 16. (1) 在 ABC中，因为cosA 3 3 ，0b0) 的离心率为 1 2， 所以 c a 1 2，则 a2c. 因为线段AF中点的横坐标为 2 2 ， 所以 ac 2 2 2 . 所以 c2，则 a 28，b2a2c26. 所以椭圆的标准方程为 x2 8 y2 6 1.(4分) (2) 因为点 A(a，0)，点 F(c，0) ， 所以线段AF的中垂线方程为x ac 2 . 又因为 ABF的外接圆的圆心C在直线 y x 上， 所以点 C ac 2 ， ac

11、2 .(6分) 因为点 A(a，0) ，点 B(0， b)， 所以线段AB的中垂线方程为：y b 2 a b x a 2 . 由点 C在线段 AB的中垂线上，得 ac 2 b 2 a b ac 2 a 2 ， 整理得， b(a c) b 2ac，(10 分 ) 即(b c)(a b) 0. 13 因为 a b0，所以 bc.(12分) 所以椭圆的离心率e c a c b2c2 2 2 .(14分) 18. (1) 如图 1，过点 O作与地面垂直的直线交AB ，CD于点 O1，O2，交劣弧CD于点 P， O1P的长即为拱门最高点到地面的距离. 在RtO2OC中， O2OC 3 ，CO23， 所以

12、 OO2 1，圆的半径ROC 2. 所以 O1P R OO1R O1O2OO25. 故拱门最高点到地面的距离为5m.(4分) (2) 在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P. 当点 P在劣弧 CD上时， 拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆 O的半径长与圆心O到地 面距离之和； 当点 P在线段 AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点 D到地面的距离 . 由(1) 知，在RtOO1B中， OB OO21O1B 22 3. 以 B为坐标原点，地面所在的直线为x 轴，建立如图2 所示的坐标系 . 当点 P在劣弧 CD上时， 6 4cos 6 23sin 6 3

13、0. 所以 h 4sin23cos 在 0， 6 上递增 . 所以当 6 时， h 取得最大值5. 因为 2 235，所以 h 的最大值为223. 故 h 4sin 23cos，0 6 ， 223sin 6 ， 6 0 成立， 所以函数f(x)在(0， ) 为增函数； (2 分) 当 a0 时， ( ) 当 xa 时， f (x)0 ，所以函数f(x)在(a， )上为增函数； ( ) 当 00 时， f(x)的最小值为f(a) ， 依题意知f(a) 1lnaa，f(1) a0，函数 f(x)在(a ， ) 为增函数，且函数f(x) 的图象在 (a ，1)上不间断 . 所以函数f(x)在(a，

14、) 上有唯一的一个零点. 16 另一方面，因为0g 1 e e20. 又 f(a)a 2. 不妨设 x1a 2，即证 x 1a2 x2. 因为 x1， a2 x2(0 ， a) ，函数 f(x) 在(0 ，a) 上为减函数， 所以只要证f a2 x2 f(x 1). 又 f(x1) f(x2) 0，即证 f a2 x2 f(x2).(14分) 设函数 F(x) f a2 x f(x)x a a x2ln x2lna(xa). 所以 F (x) （xa）2 ax2 0， 所以函数F(x) 在(a， ) 上为增函数 . 17 所以 F(x2)F(a) 0， 所以 f a2 x2 f(x2) 成立

15、. 从而 x1x2a 2 成立 . 所以 p 2ln(x1x2)2lna2，即 x1f (x1) x2f (x2)2lna2 成立 .(16分) 20. (1) 设等差数列 an的公差为d. 因为等差数列an满足 a44，前 8 项和 S836， 所以 a13d4， 8a187 2 d36， 解得 a1 1， d1. 所以数列 an 的通项公式为ann.(3分) (2) 设数列 bn的前 n 项和为 Bn. 由得 3(2 n1) 3(2n11) (b 1a2n1b2a2n3 bn1a3bna12n) (b1a2n3b2a2n5 bn 1a12n2) b1(a2n32) b2(a2n52) bn

16、 1(a12) bna12n (b1a2n3b2a2n5 bn 1a12n 2) 2(b1b2 bn 1) bn2 2(Bnbn) bn2. 所以 32 n1 2B nbn2(n 2，nN *) ， 又 3(2 11) b1a12，所以b11，满足上式 . 所以 2Bnbn232 n1( nN *) ， (6 分) 当n2 时， 2Bn1bn1232 n2， 由得，bnbn132 n2.(8 分) bn2 n 1 ( bn12 n2) ( 1)n1 (b12 0) 0， 18 所以bn2 n1，bn1 bn 2， 所以数列 bn 是首项为1，公比为2 的等比数列 .(10 分 ) 由 am b

17、m 3ap bp ，得 m 2m 1 3p 2p1，即 2 pm 3p m. 记cn an bn，由得， cnan bn n 2n1， 所以 cn1 cn n1 2n 1，所以cncn 1( 当且仅当n1 时等号成立 ). 由 am bm 3ap bp ，得cm3cpcp， 所以m0， 所以函数f(x) 在4 ， ) 上是单调增函数， 所以f(x)f(4) 10， 所以当t4，tN *时， m 3t 2t31，不合题意 . 综上，所求集合(m，p)| am bm 3ap bp ，m，p N * (6 ，8).(16 分) 19 21.A. 由题意知 (MN) 1 1 4 0 02 ， 则MN

18、40 0 1 2 .(4分 ) 因为N 10 0 1 2 ，则N 1 10 02 .(6分) 所以矩阵M 40 0 1 2 10 02 40 01 .(10分) B. (1) 直线l的极坐标方程可化为(sin cos 4 cossin 4 ) 2，即 sin cos2. 又x cos ，y sin ， 所以直线l的直角坐标方程为xy20.(4分) (2) 曲线C xt ， yt2 (t为参数 ) 的普通方程为x 2y. 由 x2y， xy20 得x 2 x20， 所以直线l与曲线C的交点A( 1，1) ，B(2 ， 4).(8分) 所以直线l被曲线C截得的线段长为AB（12）2（14）232.

19、(10分) C. 由柯西不等式，得 (a 2 1) (b 2 1) (c 2 1)( 1 a21 1 b21 1 c21) ( a21 1 a21 b21 1 b21 c21 1 c21 ) 2 9，(5 分) 所以 1 a21 1 b21 1 c21 9 a2b2c23 9 13 9 4.(10 分) 22. (1) 记“ X是回文数”为事件A. 9 个不同的2 位“回文数”乘以4 的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352， 396，其中“回文数”有44，88. 20 所以事件A的概率 P(A) 2 9.(3 分) (2) 根据条件知，随机变量 的所有可能取值为0

20、，1，2. 由(1) 得 P(A) 2 9.(5 分) 设“ Y是回文数”为事件B，则事件A，B相互独立 . 根据已知条件得，P(B) 20 C2 9 5 9. P( 0) P(A)P(B) (1 2 9)(1 5 9) 28 81； P( 1) P(A)P(B) P(A)P(B) (1 2 9) 5 9 2 9 1 5 9 43 81； P( 2) P(A)P(B) 2 9 5 9 10 81(8 分) 所以，随机变量 的概率分布为 0 1 2 P 28 81 43 81 10 81 所以随机变量 的数学期望为E() 0 28 811 43 812 10 81 7 9.(10 分) 23.

21、(1) 集合A11，2，3 的子集有 ?，1 ，2 ， 3 ，1 ，2， 1 ，3 ，2 ， 3， 1 ，2，3 ， 其中所有元素和为3 的整数倍的集合有?， 3 ，1 ，2 ，1，2，3， 所以 A1的“和谐子集”的个数等于4.(3分) (2) 记 An的“和谐子集”的个数等于an，即 An有 an个所有元素和为3 的整数倍的子集； 另记 An有 bn个所有元素和为3 的整数倍余1的子集，有 cn个所有元素和为3 的整数倍余 2 的子集 . 由(1) 知， a1 4，b12，c12. 集合 An11 ，2，3， 3n2，3n1，3n，3n1，3n2，3(n 1) 的“和谐子集” 有以下四类

22、( 考察新增元素3n1，3n2， 3(n1) ： 21 第一类：集合An 1，2， 3， 3n2， 3n1，3n 的“和谐子集” ，共 an个； 第二类：仅含一个元素3(n 1) 的“和谐子集” ，共 an个； 同时含两个元素3n1，3n2 的“和谐子集” ，共 an个； 同时含三个元素3n1，3n2，3(n 1) 的“和谐子集” ，共 an个； 第三类：仅含一个元素3n1 的“和谐子集” ，共 cn个； 同时含两个元素3n1，3(n 1) 的“和谐子集” ，共 cn个； 第四类：仅含一个元素3n2 的“和谐子集” ，共 bn个； 同时含有两个元素3n2，3(n 1) 的“和谐子集” ，共 bn个， 所以集合An 1的“和谐子集”共有an14an2bn2cn个 . 同理得 bn14bn 2cn2an，cn14cn2an2bn.(7分) 所以 an1bn12(anbn) ，a1 b1 2， 所以数列 an bn 是以 2为首项， 2 为公比的等比数列. 所以 anbn2 n.同理得 a ncn2 n. 又 anbncn2 3n，所以 a n 2 32 n 2 3n(nN*).(10 分)