等比数列知识点总结与典型例题-(精华版).pdf

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1、. . 等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义： * 1 2, n n a q qnnN a 0且，q称为公比 2、通项公式： 1 1 11 0,0 nnn n a aa qqA BaqA B q ，首项：1a；公比：q 推广： n mn mnn nm nm mm aa aa qqq aa 3、等比中项： （1）如果,a A b成等比数列，那么A叫做a与 b的等差中项，即： 2 Aab或Aab 注意：同号的 两个数 才有等比中项，并且它们的等比中项有两个 （ （2）数列 n a是等比数列 2 11nnn aaa 4、等比数列的前n项和 n S公式： （1）当1q时， 1n Sna （

2、2）当1q时， 1 1 1 11 n n n aq aa q S qq 11 11 nnn aa qAA BA BA qq （,A B A B为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n，都有 1 1 (0) n nnnn n a aqaq qaa a 或为常数，为等比数 列 （2）等比中项： 2 1111 (0) nnnnnn aaaaaa为等比数列 （3）通项公式：0 n nnaA BA Ba 为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 * 1 2, n n a q qnnN a 0且或 1 nnn aqaa为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何 * ,m

3、nN，在等比数列 n a中，有 n m nm aa q。 . . （3）若 * (, , ,)mnst m n s tN，则 nmst aaaa。特别的，当2mnk 时，得 2 nmk aaa 注： 12132nnn aaaaa a 等差和等比数列比较： 经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 例 1等比数列 n a中， 19 64aa, 37 20aa, 求 11 a. 思路点拨： 由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于 1 a和q的二元方程组，解出 1 a和q，可 得 11 a；或注意到下标1 937，可以利用性质可求出 3 a、 7 a，再求 11 a. 解析： 法一： 设此数列

4、公比为q，则 8 1911 26 3711 64(1) 20(2) aaaa q aaa qa q 由(2) 得： 24 1 (1)20a qq(3) 1 0a. 由(1) 得： 42 1 ()64a q , 4 1 8a q (4) (3) (4) 得： 4 2 1205 82 q q ， 等差数列等比数列 定义 daa nn 1 )0( 1 qq a a n n 递推公 式 daa nn1 ；mdaa nmnqaann1； mn mn qaa 通项公 式 dnaan)1(1 1 1 n n qaa（0, 1qa） 中项 2 knkn aa A（0, * knNkn）)0( knknknkn

5、 aaaaG（0, * knNkn） 前n项和 )( 2 1nn aa n S d nn naSn 2 ) 1( 1 )2( 11 1 )1( 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 重要 性质 ),( * qpnmNqpnm aaaa qpnm ),( * qpnmNqpnm aaaa qpnm . . 42 2520qq, 解得 2 2q或 21 2 q 当 2 2q时， 1 2a， 10 111 64aaq； 当 2 1 2 q时， 1 32a， 10 111 1aaq. 法二： 1937 64aaaa, 又 37 20aa, 3 a、 7 a为方程 2 20640x

6、x的两实数根， 4 16 7 3 a a 或 16 4 7 3 a a 2 3117 aaa , 2 7 11 3 1 a a a 或 11 64a. 总结升华： 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； 解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除 式不为零） . 举一反三： 【变式 1】an 为等比数列， a1=3，a9=768，求 a6。 【答案】 96 法一： 设公比为q，则 768=a1q 8，q8=256， q=2， a 6= 96； 法二： a5 2=a 1a9a5=48q=2， a6=96。 【变式 2】an

7、为等比数列， an0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。 【答案】 64； 2 18945 16a aa ，又 an 0， a45=4 3 44454645 64a a aa。 【变式 3】已知等比数列 n a，若 123 7aaa， 123 8a a a，求 n a。 【答案】 1 2 n n a或 3 2 n n a； 法一： 2 132 a aa， 3 1232 8a a aa， 2 2a 从而 13 13 5, 4 aa a a 解之得 1 1a， 3 4a或 1 4a， 3 1a 当 1 1a时，2q；当 1 4a时， 1 2 q。 故 1 2 n n a或 3 2

8、n n a。 法二 ：由等比数列的定义知 21 aa q， 2 31 aa q 代入已知得 2 111 2 111 7 8 aa qa q aa q a q . . 2 1 33 1 (1)7, 8 aqq a q 2 1 1 (1)7,(1) 2(2) aqq a q 将 1 2 a q 代入（ 1）得 2 2520qq， 解得2q或 1 2 q 由（ 2）得 1 1 2 a q 或 1 4 1 2 a q ，以下同方法一。 类型二：等比数列的前n 项和公式 例 2设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比q. 解析： 若 q=1，则有 S3=3a1，S6=

9、6a1，S9=9a1. 因 a10，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，故q1. 由 369 2SSS得， 369 111 (1)(1)2(1) 111 aqaqaq qqq ， 整理得 q 3(2q6-q3-1)=0 ， 由 q0，得 2q 6-q3-1=0，从而 (2q3+1)(q3-1)=0 ， 因 q 31，故 31 2 q，所以 3 4 2 q。 举一反三： 【变式 1】求等比数列 1 1 1, 3 9 L的前 6项和。 【答案】 364 243 ； 1 1a， 1 3 q，6n 6 6 6 1 11 3 31364 1 1 23243 1 3 S 。 【变式 2】已知：

10、 an 为等比数列， a1a2a3=27，S3=13，求 S5. 【答案】 121 121 9 或； 3 22 273aa， 3 1(1 )1 133 13 aq qq q 或，则 a1=1 或 a1=9 55 55 1 91 131213 121S 1 1 39 1 3 S 或 . . . 【变式 3】在等比数列 n a中， 1 66 n aa， 21 128 n aa，126 n S，求n和q。 【答案】 1 2 q或 2，6n； 211nn aaaa， 1 128 n a a 解方程组 1 1 128 66 n n a a aa ，得 1 64 2 n a a 或 1 2 64 n a

11、a 将 1 64 2 n a a 代入 1 1 n n aa q S q ，得 1 2 q， 由 1 1 n n aa q，解得 6n； 将 1 2 64 n a a 代入 1 1 n n aa q S q ，得2q， 由 1 1 n n aa q，解得 6n。 1 2 q或 2，6n。 类型三：等比数列的性质 例 3. 等比数列 n a中，若 56 9aa, 求 3132310 loglog.logaaa. 解析： n a是等比数列， 11029384756 9aaaaaaaaaa 1032313 logloglogaaa 55 3123103563log ()log ()log 910aa

12、aaaaL 举一反三： 【变式 1】正项等比数列 n a中，若 a1a100=100; 则 lga 1+lga2+ +lga100=_. 【答案】 100； lga1+lga2+lga3+ +lga100=lg(a1a2a3 a100) 而 a1a100=a2a99=a3a98= =a50 a51 原式 =lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。 【变式 2】在 8 3 和 27 2 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_。 【答案】 216； 法一： 设这个等比数列为 n a，其公比为q， 1 8 3 a， 44 51 278 23

13、 aa qq， 4 81 16 q， 2 9 4 q 2336 2341111 aaaa q a qa qaq 33 3 89 6216 34 。 法二： 设这个等比数列为 n a，公比为q，则 1 8 3 a， 5 27 2 a， . . 加入的三项分别为 2 a， 3 a， 4 a， 由题意 1 a， 3 a， 5 a也成等比数列， 2 3 827 36 32 a，故 3 6a， 23 234333 216aaaaaa 。 类型四：等比数列前n 项和公式的性质 例 4在等比数列 n a中，已知48 n S， 2 60 n S，求 3n S。 思路点拨： 等差数列中也有类似的题目，我们仍然采

14、用等差数列的解决办法，即等比数列中前k 项和， 第 2 个 k 项和，第3 个 k 项和，第n 个 k 项和仍然成等比数列。 解析： 法一： 令 b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12 ，b3=S3n-S2n 观察 b1=a1+a2+ +an, b2=an+1+an+2+ +a2n=q n(a 1+a2+ +an)， b3=a2n+1+a2n+2+ +a3n=q 2n(a 1+a2+ +an) 易知 b1,b2,b3成等比数列， 22 2 3 1 12 3 48 b b b ， S3n=b3+S2n=3+60=63. 法二： 2 2 nn SS，1q， 由已知得 1 2 1

15、(1) 48 1 (1) 60 1 n n aq q aq q 得 5 1 4 n q，即 1 4 n q 代入得 1 64 1 a q ， 3 1 33 (1)1 64(1)63 14 n n aq S q 。 法三： n a为等比数列， n S， 2nn SS， 32nn SS也成等比数列， 2 232 ()() nnnnn SSSSS， 22 2 32 ()(6048) 6063 48 nn nn n SS SS S 。 举一反三： 【变式 1】等比数列 n a中，公比q=2, S 4=1, 则 S8=_. 【答案】 17； S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q 4 +a2q

16、 4+a 3q 4+a 4q 4=S 4+q 4(a 1+a2+a3+a4)=S4+q 4S 4=S4(1+q 4)=1(1+24)=17 【变式 2】已知等比数列 n a的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求： S30=？ . . 【答案】 130； 法一： S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，(S20-S10) 2=S 10(S30-S20) 即 30 2=10(S 30-40), S30=130. 法二： 2S10S20，1q, 10 1 )1( 10 1 10 q qa S, 20 1 20 (1) 40 1 aq S q , 10 20 11

17、, 14 q q 10 3q, 5 1 1 q a 130)31)(5( 1 )1( 3 30 1 30 q qa S. 【变式 3】等比数列 n a的项都是正数，若Sn=80, S 2n=6560，前 n 项中最大的一项为 54，求 n. 【答案】 6560 80 2n n S S ，1q( 否则 2 1 2n n S S ) 1(1 ) 1 n n aq S q =80 (1) 2 1 2 (1) 1 n n aq S q =6560.(2)， (2) (1) 得： 1+q n=82, qn=81(3) 该数列各项为正数，由(3) 知 q1 an 为递增数列，an为最大项54. an=a1

18、q n-1=54, a 1q n =54q, 81a1=54q(4) 1 542 813 aqq代入 (1) 得 2 (181)80(1) 3 qq， q=3, n=4. 【变式 4】等比数列 n a中，若 a1+a2=324, a 3+a4=36, 则 a5+a6=_. 【答案】 4； 令 b1=a1+a2=a1(1+q) ，b2=a3+a4=a1q 2(1+q),b 3=a5+a6=a1q 4(1+q), 易知： b1, b 2, b3成等比数列，b3= 1 2 2 b b = 324 36 2 =4,即 a5+a6=4. 【变式 5】等比数列 n a中，若 a1+a2+a3=7,a 4+

19、a5+a6=56, 求 a7+a8+a9的值。 【答案】 448； an是等比数列， (a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q3=8, a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q 3=568=448. 类型五：等差等比数列的综合应用 例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列. 若再将此等差数列的第 二项减去4，则又成等比数列. 求原来的三个数. 思路点拨： 恰当地设元是顺利解方程组的前提. 考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为 整式形式 . 解析： 法一： 设成等差数列的三数为a-d, a,a+d. 则 a-d, a, a+d+32成等比数列，

20、a-d, a-4, a+d成等比数列 . . . )2.().)()4( )1.().32)( 2 2 dadaa dadaa 由(2) 得 a= 8 16 2 d .(3) 由(1) 得 32a=d 2+32d (4) (3) 代(4) 消 a，解得 8 3 d或 d=8. 当 8 3 d时, 26 9 a；当 d=8 时,a=10 原来三个数为 9 2 , 9 26 , 9 338 或 2,10,50. 法二： 设原来三个数为a, aq, aq 2，则 a, aq,aq2-32 成等差数列， a, aq-4, aq 2-32 成等比数列 )2)(32()4( )1(322 22 2 aqa

21、aq aqaaq 由(2) 得 2 4 a q ，代入 (1) 解得 q=5 或 q=13 当 q=5 时 a=2；当 q=13 时 2 9 a. 原来三个数为2，10，50 或 9 2 ， 9 26 , 9 338 . 总结升华： 选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d； 若三数成等比数列，可设此三数为 y x ，x, xy 。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比 q 来解 决问题反而简便。 举一反三： 【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4， ，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把 这个等差数列的第三项加上32，那么

22、所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列. 【答案】 为 2，6，18 或 210 50 , 999 ； 设所求的等比数列为a，aq，aq 2； 则 2(aq+4)=a+aq 2，且 (aq+4)2=a(aq2+32) ； 解得 a=2，q=3 或 2 9 a， q=-5 ； 故所求的等比数列为2，6， 18 或 210 50 , 999 . 【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。 【答案】 1、3、 9 或 1、 3、 9 或 9、3、1 或 9、3、 1 设这三个数分别为, , a a aq q ， 由已知得 2 222 2 27 91 a a

23、 aq q a aa q q 22 2 3 1 (1)91 a aq q . . 得 42 98290qq，所以 2 9q或 21 9 q， 即3q或 1 3 q 故所求三个数为：1、 3、9 或 1、3、 9 或 9、3、1 或 9、 3、 1。 【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和 是 16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数 . 【答案】 0，4， 8，16 或 15， 9，3，1； 设四个数分别是x,y,12-y,16-x )2).(16()12( )1.(122 2 xyy yxy 由(1) 得 x=3y-12 ，代入 (

24、2) 得 144-24y+y 2=y(16-3y+12) 144-24y+y 2=-3y2+28y, 4y2-52y+144=0, y 2-13y+36=0, y=4 或 9， x=0 或 15， 四个数为0，4，8，16 或 15，9，3，1. 类型六：等比数列的判断与证明 例 6已知数列 an的前 n 项和 Sn满足： log5(Sn+1)=n(n N+), 求出数列 an 的通项公式，并判断an是 何种数列？ 思路点拨： 由数列 an的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an 类型 . 解析： log5(Sn+1)=n, Sn+1=5 n, S n=5 n-1 (n N

25、+), a1=S1=5 1-1=4, 当 n2 时， an=Sn-Sn-1=(5 n-1)-(5n-1 -1)=5 n-5n-1 =5 n-1 (5-1)=4 5 n-1 而 n=1 时， 45 n-1 =45 1-1 =4=a1, nN+时， an=45 n-1 由上述通项公式，可知an为首项为4，公比为 5 的等比数列 . 举一反三： 【变式 1】已知数列 Cn ，其中 Cn=2 n+3n，且数列 C n+1-pCn为等比数列，求常数p。 【答案】 p=2 或 p=3； Cn+1-pCn是等比数列， 对任意 nN且 n2，有 (Cn+1-pCn) 2=(C n+2-pCn+1)(Cn-pC

26、n-1) Cn=2 n+3n, (2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1) (2n+3n)-p(2n-1 +3 n-1 ) 即(2-p)2 n+(3-p) 3n2=(2-p) 2 n+1+(3-p) 3n+1 (2-p) 2 n-1 +(3-p) 3 n-1 整理得： 1 (2)(3) 230 6 nn pp, 解得： p=2 或 p=3, 显然 Cn+1-pCn0，故 p=2 或 p=3 为所求 . 【变式 2】设 an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn, 证明数列 Cn不是等比数列. 【证明】 设数列 an 、bn 的公比分

27、别为p, q ，且 p q 为证 Cn 不是等比数列，只需证 2 132CCC . 222222 211111 1 ()2Ca pb qa pb qa b pq, 22222222 131111111 1 ()()()CCaba pb qa pb qa bpq 22 1321 1( )CCCa bpq, 又 p q, a10, b10, 2 132 0CCC即 2 132 CCC 数列 Cn不是等比数列. 【变式 3】判断正误： . . (1)an为等比数列a7=a3a4； (2) 若 b 2=ac，则 a，b，c 为等比数列； (3)an， bn均为等比数列，则anbn 为等比数列； (4)

28、a n是公比为q 的等比数列，则 2 n a、 1 n a 仍为等比数列； (5) 若 a，b，c 成等比，则logma，logmb，logmc 成等差 . 【答案】 (1) 错； a7=a1q 6，a 3a4=a1q 2a 1q 3=a 1 2q5，等比数列的下标和性质要求项数相同； (2) 错；反例： 0 2=00，不能说 0，0，0 成等比； (3) 对； anbn首项为 a1b1，公比为q1q2； (4) 对； 2 211 2 1 1 , 1 nn n n aa q aq a ； (5) 错；反例： -2 ，-4 ，-8 成等比，但logm(-2) 无意义 . 类型七： Sn与 an的

29、关系 例 7已知正项数列 an ，其前 n 项和 Sn满足 2 1056 nnn Saa，且 a1，a3，a15成等比数列，求数列 an 的通项 an. 解析： 2 1056 nnn Saa ， 2 111 1056aaa，解之得 a1=2 或 a1=3. 又 2 111 1056 (2) nnn Saan， 由 - 得 22 11 10()5() nnnnn aaaaa，即 11 ()(5)0 nnnn aaaa an+an-10， an-an-1=5(n2). 当 a1=3 时， a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列 a13； 当 a1=2 时， a3=12，a15=7

30、2，有 a3 2=a 1a15， a1=2， an=5n-3. 总结升华： 等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是 1 1 (1) (2) n nn an a SSn ，尤其注意 首项与其他各项的关系. 举一反三： 【变式】命题1：若数列 an 的前 n 项和 Sn=a n +b(a1) ，则数列 an 是等比数列；命题2：若数列 an 的前 n 项和 Sn=na-n ，则数列 an既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为个. 【答案】 0； 由命题 1 得， a1=a+b，当 n2 时， an=Sn-Sn-1=(a-1) a n-1 . 若an 是等比数列，则 2 1 a a a ，即 (1)a a a ab ， . . 所以只有当b=-1 且 a0 时，此数列才是等比数列. 由命题 2 得， a1=a-1 ，当 n2 时， an=Sn-Sn-1=a-1 ， 显然 an 是一个常数列，即公差为0 的等差数列， 因此只有当a-1 0，即 a1 时数列 an才又是等比数列.