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1、第十三章轴对称 13.4 课题学习最短路径问题 【教材分析】 教 学 目 标 知识 技能 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用. 过程 方法 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化 思想 . 情感 态度 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性. 重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 难点 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 【教学流程】 环节导 学 问 题师 生 活 动二次备课 情 境 引 入 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择， 走哪条
2、路最近？你的理由是什么？ 前面我们研究过一些关于“两点的所有连 线中，线段最短”、 “连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题， 我们称它们为最短路径问题现实生活中经常 涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学 知识探究数学史中著名的“将军饮马问题” 教师出示问题，引导学生思 考、回答，引入课题。 自 主 探 究 探究点一 探索最短路径问题 活动一： 相传，古希腊亚历山大里亚城里 有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天， 一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其 解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可 使他所走的路线全程最
3、短？ 精通数学、 物理学的海伦稍加思索，利用 教师出示问题情境，激发学生 学习兴趣和探究欲望. 合 作 交 流 自 主 探 究 合 作 交 流 轴对称的知识回答了这个问题这个问题后 来被称为 “ 将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问 1这是一个实际问题，你打算首先 做什么？ 答： 将 A， B 两地抽象为两个点， 将河 l 抽 象为一条直线 追问2你能用自己的语言说明这个问 题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 答： (1)从 A 地出发，到河边l 饮马，然 后到B 地；(2)在河边饮马的地点有无穷多 处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段 的长度之和，就是从A 地到饮马地
4、，再回到 B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出 使两条线段长度之和为最短的直线l 上的 点设C 为直线上的一个动点，上面的问题 就转化为： 当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小 (如图 ) 问题 2： 如图， 点 A，B 在直线 l 的同侧， 点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什 么位置时， AC 与 CB 的和最小？ 追问 3：对于问题 2，如何将点 B“ 移” 到 l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C， 都保持 CB 与 CB 的长度相等？ 追问 4：你能利用轴对称的有关知识，找 到上问中符合条件的点B吗？ 展示点评： 作法： (1)作点
5、 B 关于直线 l 的对称点 B； (2)连接 AB，与直线l 交于点 C. 则点 C 即为所求 追问 5、你能用所学的知识证明AC BC 最短吗？ 让 学生将实际问题抽象为数 学问题， 即将最短路径问题抽 象为“线段和最小问题” 学生尝试回答, 并互相补 充, 最后达成共识 : 教师引导学生， 联想轴对 称知识解决，尝试作法，师生 共同矫正， 教师引导学生通过合作 交流完成证明； 证明：如图，在直线l 上任取一点C(与 点 C 不重合 )，连接 AC，BC ，B C.由轴对称 的性质知，BC B C，BC BC. AC BC AC BC AB ， ACBC AC B C. 在 AB C 中，
6、ABAC BC， AC BCACBC. 即 AC BC 最短 . 探究点二 选址造桥问题 如图， A 和 B 两地在一条河的两岸，现要 在河上造一座桥MN， 桥造在何处可使从A 到 B 的路径 AMNB 最短？ (假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直) 展示点评：从 A 到B 要走的路线是 AMNB，如图所示，而MN 是定值，于 是要使路程最短，只要AMBN 最短即可 解： 在直线 a上取任意一点M ， 作 M Nb 于点 N ，平移 AM，使点 M移动到点N的位 置，点A 移动到点A的位置，连接A B 交直 线 b 于点 N，过点 N 作 MNa 于点 M，则路 径 AMNB 最短 理由
7、如下：如图，点M为直线a 上任意 一点 (不与点 M 重合 )， 线段 AN是线段 AM 平移得到的 AAMN，AN AM AM MN BN A N AABN MN 平行 AA且 MNAA 学生证明后， 教师提出下 面问题， 引导学生小组讨论解 决： 证明ACBC最短时，为 什么要在直线l上任取一点 C( 与点C不重合 ) ， 师生共总结方法： 运用轴对称变换及性质将不 在一条直线上的两条线段转 化到一条直线上，然后用“两 点 之 间 线 段 最 短 ” 解 决 问 题利用三角形的三边关系， 若直线l上任意一点 ( 与点C 不重合 ) 与A，B两点的距离和 都大于ACBC， 就说明AC BC最
8、小 . C的代表的是除点 C以外直线l上的任意一点 教师引导学生自主、合作探寻 解题思路，展示； 方法总结： 解决连接河两岸的 两个点的最短路径问题时，可 以通过平移河岸的方法将河 的宽度为零， 转化为求直线异 侧的两点到直线上一点所连 线段的和最小的问题由两点 之间线段最短( 或三角形两边 之和大于第三边) 可知，求距 MN 可以看作是AA 经过平移得到的 A NAM AMNBANNB 根据两点之间线段最短，得ANNB ABA N BN AMNBANNB 根据两点之间线段最短，得ANNB ABA N BN AMNBAMBN MNMN AMMNNBAM M N N B， 即路 径 AMNB 最
9、短 离之和最小问题，就是运用等 量代换的方式， 把几条线段的 和想办法 ( 如利用轴对称或平 移等 ) 转化在一条线段上，从 而解决这个问题 尝 试 应 用 1. 如图，直线l 是一条河， P、Q是两个村庄 . 欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向P、Q两 地供水， 现有如下四种铺设方案，图中实线表 示铺设的管道， 则所需要管道最短的是（） 2.如图，牧童在A 处放马，其家在B 处， A、 B 到河岸的距离分别为AC 和 BD， 且 AC=BD, 若点 A 到河岸CD 的中点的距离为500 米， 则牧童从A 处把马牵到河边饮水再回家，所 走的最短距离是米. 4、如图所示，M 、N是 ABC边
10、AB与 AC上两 点，在 BC边上求作一点P，使 PMN 的周长最 小。 教师出示问题 学生先自主思考，后小组交流 ，最后展示答案，师生共同评 价： 答案： 1、D； 2、1000； 3、A 4、答案如图所示： P点就是所求做的点 成 果 展 示 本节课你有什么收获？ 学习了利用轴对称解决最短路径问题 感悟和体会转化的思想 师引导学生归纳总结. 梳理知识， 并建立知识体 系. 补 偿 提 高 5、如图，一个旅游船从大桥AB 的 P 处前往 山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路 径 思路分析： 由于两点之间线段最短， 所以首先可连接PQ ，线 段 PQ 为旅游船最短路径中的 必经线路将河岸抽象为 一条直线BC ， 这样问题就转化 为“点 P，Q 在直线 BC 的同侧，如何在BC上找到 一点 R，使 PR与 QR 的和最 小” 作 业 设 计 作业： 教材第 91 页复习题13 第 15 题. 学生认定作业，独立完成